[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/nazwa-bernoulli-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/nazwa-bernoulli-wikipedia\/","headline":"Nazwa Bernoulli – Wikipedia","name":"Nazwa Bernoulli – Wikipedia","description":"before-content-x4 W matematyce, Nazwy Bernoulli , odnotowany B N (lub czasami B N Aby nie myli\u0107 ich z wielomianami Bernoulli","datePublished":"2019-05-17","dateModified":"2019-05-17","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/d79ec6de0ba7686e7d1ac9005a1b8ea23f62bb10","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/d79ec6de0ba7686e7d1ac9005a1b8ea23f62bb10","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/nazwa-bernoulli-wikipedia\/","wordCount":37840,"articleBody":" (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4W matematyce, Nazwy Bernoulli , odnotowany B N (lub czasami B N Aby nie myli\u0107 ich z wielomianami Bernoulli lub z liczb\u0105 Bell), stanowi\u0107 seri\u0119 racjonalnych liczb. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Liczby te zosta\u0142y po raz pierwszy zbadane przez Jacquesa Bernoulli (kt\u00f3ry doprowadzi\u0142 Abrahama de Moivre’a, aby nada\u0107 im nazw\u0119, kt\u00f3r\u0105 znamy dzisiaj), szukaj\u0105c formu\u0142, kt\u00f3re wyra\u017caj\u0105 sumy tego typu \u2211 k = 0 N – Pierwszy k M = 0 M + Pierwszy M + 2 M + \u22ef + ( N – Pierwszy ) M . {DisplayStyle sum _ {k = 0}^{n-1} k^{m} = 0^{m}+1^{m}+2^{m}+cdots+{(n-1)}^{ M}.} (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Dla ca\u0142ych warto\u015bci M , ta suma jest zapisywana jako wielomian zmiennej N kt\u00f3rego pierwsze terminy s\u0105: \u2211 k = 0 N – Pierwszy k M = Pierwszy m+1( nm+1– 12(m+11)nm+ 16(m+12)nm\u22121– 130(m+14)nm\u22123+ 142(m+16)nm\u22125+ … ) . {DisplayStyle sum _ {k = 0}^{n-1} k^{m} = {frac {1} {m+1}} lewy (n^{m+1}-{frac {1} {2} } {m+1 wybierz 1} {n^{m}}+{frac {1} {6}} {m+1 Wybierz 2} {n^{m-1}}-{frac {1} {30}} } {M+1 Wybierz 4} {n^{m-3}}+{frac {1} {42}} {m+1 wybierz 6} {n^{m-5}}+ldots right).}}} Pierwsze liczby Bernoulliego s\u0105 podane w poni\u017cszej tabeli: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4N 0 Pierwszy 2 3 4 5 6 7 8 9 dziesi\u0119\u0107 11 dwunasty 13 14 B N Pierwszy – Pierwszy \/ 2 Pierwszy \/ 6 0 – Pierwszy \/ 30 0 Pierwszy \/ 42 0 – Pierwszy \/ 30 0 5 \/ 66 0 – 691 \/ 2730 0 7 \/ 6 Mo\u017cna je zdefiniowa\u0107 poprzez rozw\u00f3j ca\u0142ej serii (zbie\u017c si\u0119, je\u015bli |. X |. k = 0 \u221e B k xkk!= Pierwszy – Pierwszy 2 X + Pierwszy 6 x22!– Pierwszy 30 x44!+ Pierwszy 42 x66!– Pierwszy 30 x88!+ 5 66 x1010!– 691 2730x1212!+ 7 6 x1414!+ … {DisplayStyle {frac {x} {{rm {e}}^{x} -1}} = sum _ {k = 0}^{infty} b_ {k}, {frac {x^{k}} {k !}} = 1- {frac {1} {2}}, x+{frac {1} {6}}, {frac {x^{2}} {2!}}-{frac {1} {30} }, {frac {x^{4}} {4!}}+{frac {1} {42}}, {frac {x^{6}} {6!}}-{frac {1} {30}} }, {frac {x^{8}} {8!}}+{frac {5} {66}}, {frac {x^{10}} {10!}}-{frac {691} {2; 730}}, {frac {x^{12}} {12!}}+{Frac {7} {6}}, {frac {x^{14}} {14!}}+Ldots}+ldots}+ldots}+ldots}} Liczby Bernoulliego pojawiaj\u0105 si\u0119 w wielu aplikacjach, poniewa\u017c formu\u0142a Eulera-Maclaurina: \u2211 k = 0 N – Pierwszy F ( k ) \u2248 \u222b 0 N F ( X ) D X – Pierwszy 2 ( F ( N ) – F ( 0 ) ) + Pierwszy 6 f\u2032(n)\u2212f\u2032(0)2!– Pierwszy 30 f(3)(n)\u2212f(3)(0)4!+ Pierwszy 42 f(5)(n)\u2212f(5)(0)6!+ … {DisplayStyle sum _ {k = 0}^{n-1} f (k) ok. Int _ {0}^{n} f (x), {rm {d}} x- {frac {1} {2} } (f (n) -f (0))+{frac {1} {6}} {frac {f ‘(n) -f’ (0)} {2!}}-{frac {1} {30 30 }} {frac {f^{(3)} (n) -f^{(3)} (0)} {4!}}+{frac {1} {42}} {frac {f^{(5 )} (n) -f^{(5)} (0)} {6!}}+ldots} W Lub sumy definiuj\u0105ce funkcj\u0119 Z\u00eata Riemanna, z powodu Leonharda Eulera: Z ( 2 P ) = Pierwszy + Pierwszy 22p+ Pierwszy 32p+ Pierwszy 42p+ \u22ef + Pierwszy n2p+ \u22ef = |. B 2 P |. 22p\u22121(2p)!Liczba Pi 2 P W {DisplayStyle Zeta (2p) = 1+{frac {1} {2^{2p}}}+{frac {1} {3^{2p}}}+{frac {1} {4^{2p}}}}}} +cdots +{frac {1} {n^{2p}}} +cdots = | b_ {2p} | {frac {2^{2p-1}} {(2p)!}} pi^{2p},}} A\u017c do podej\u015bcia Kummera do najnowszego twierdzenia Fermat. Jakob Bernoulli, Najwy\u017csze moce , ekstrakt Informacje techniczne , 1713. Nazwy A = Pierwszy \/ 6 W B = – Pierwszy \/ 30 W C = Pierwszy \/ 42 W D = – Pierwszy \/ 30 , … pojawi\u0107 si\u0119 w Informacje techniczne Bernoulli, 1713, Strona 97 . Liczby Bernoulliego z B Pierwszy = Pierwszy \/ 2 {DisplayStyle B_ {1} = 1\/2} zamiast – Pierwszy \/ 2 {DisplayStyle -1\/2} s\u0105 dwumianow\u0105 transformacj\u0105 tego pierwszego i s\u0105 uzyskiwane z liczby \u015bwiatowych lub, co jest r\u00f3wnowa\u017cne, poprzez zastosowanie algorytmu Akiyama-Tanigawa [[[ Pierwszy ] ma Pierwszy\/( N +1) .Po artykule \u00abManifest Bernoulli\u00bb Od Petera Luschny’ego Donald Knuth przyj\u0105\u0142 warto\u015b\u0107 B Pierwszy = Pierwszy \/ 2 {DisplayStyle B_ {1} = 1\/2} , tak\u017ce w ostatnich przedrukach ksi\u0105\u017cki Betonowa matematyka [[[ 2 ] W [[[ 3 ] ; Knuth przedstawia nowe wersje w oddzielnym tek\u015bcie [[[ 4 ] . Liczba Bernoulli zosta\u0142a odkryta prawie w tym samym czasie i niezale\u017cnie przez szwajcarskiego matematyka Jacquesa Bernoulli, kt\u00f3rego imi\u0119 nosz\u0105, oraz przez japo\u0144skiego matematyka Seki Takakazu. Odkrycie Seki zosta\u0142o opublikowane po\u015bmiertnie w 1712 roku [[[ 5 ] w jego pracy Katsuy\u014d Sanp\u014d ; Bernoulli, r\u00f3wnie\u017c po\u015bmiertnie, w swoim Informacje techniczne Opublikowane w 1713 r. Ada Lovelace, w 1842 r., T\u0142umaczenie i adnotowanie opisu maszyny analitycznej Babbage opublikowanej przez w\u0142oskiego matematyka Louis-Fr\u00e9d\u00e9rica M\u00e9nabr\u00e9a w j\u0119zyku francuskim w szwajcarskiej gazecie [[[ 6 ] , opisuje w nucie g algorytmu umo\u017cliwiaj\u0105cym generowanie liczb Bernoulli za pomoc\u0105 tego urz\u0105dzenia [[[ 7 ] . W konsekwencji liczba Bernoulli ma szczeg\u00f3ln\u0105 szczeg\u00f3lno\u015b\u0107 bycia przedmiotem pierwszego opublikowanego z\u0142o\u017conego programu komputerowego [[[ 8 ] . \u201eProgram\u201d do obliczania liczb Bernoulli w nucie G Ada Lovelace (1843). Jacques Bernoulli zna\u0142 jakie\u015b formu\u0142y [[[ 9 ] W [[[ dziesi\u0119\u0107 ] W [[[ 11 ] : 1+2+3+\u22ef+(n\u22121)=12n2\u2212n2=n(n\u22121)2;12+22+32+\u22ef+(n\u22121)2=13n3\u221212n2+n6=n(n\u22121)(2n\u22121)6;13+23+33+\u22ef+(n\u22121)3=14n4\u221212n3+14n2=n2(n\u22121)24;14+24+34+\u22ef+(n\u22121)4=15n5\u221212n4+13n3\u2212n30=n(n\u22121)(2n\u22121)(3n2\u22123n\u22121)30;15+25+35+\u22ef+(n\u22121)5=16n6\u221212n5+512n4\u2212112n2=n2(n\u22121)2(2n2\u22122n\u22121)12.{displayStyle {start {wyr\u00f3wnany} 1+2+3+cdots+(n-1) & = {frac {1} {2}} n^{2}-{frac {n} {2}} && = {frac {n (n-1)} {2}},; \\ 1^{2}+2^{2}+3^{2}+cdots+{(n-1)}^{2} & = {frac {1} {3}} n^{3}-{frac {1} {2}} n^{2}+{frac {n} {6}} && = {frac {n (n-1) (2n) -1)} {6}},; \\ 1^{3}+2^{3}+3^{3}+cdots+{(n-1)}^{3} & = {frac {1} { 4}} n^{4}-{frac {1} {2}} n^{3}+{frac {1} {4}} n^{2} && = {frac {n^{2} (n -1)^{2}} {4}},; \\ 1^{4}+2^{4}+3^{4}+cdots+{(n-1)}^{4} & = {frac {1} {5}} n^{5}-{frac {1} {2}} n^{4}+{frac {1} {3}} n^{3}-{frac {n} {30 30 }} && = {frac {n (n-1) (2n-1) (3n^{2} -3n-1)} {30}},; \\ 1^{5}+2^{5} +3 ^{5}+cdots+{(n-1)}^{5} & = {frac {1} {6}} n^{6}-{frac {1} {2}} n^{5}++++ {frac {5} {12}} n^{4}-{frac {1} {12}} n^{2} && = {n^{2} (n-1)^{2} (2n^{2n^{2n^{ 2} -2n-1) ponad 12} .end {wyr\u00f3wnany}}} Bernoulli zauwa\u017ca, \u017ce \u200b\u200bL’Emion S M ( N ) = \u2211 k = 0 N – Pierwszy k M = 0 M + Pierwszy M + 2 M + \u22ef + ( N – Pierwszy ) M {DisplayStyle S_ {m} (n) = sum _ {k = 0}^{n-1} k^{m} = 0^{m}+1^{m}+2^{m}+cdots+{ (n-1)}^{m}} jest zawsze wielomianem w N , stopnia M + 1 , o sta\u0142ym zerowym terminu, kt\u00f3rego dominuj\u0105ca monom N M +1 \/ M +1 i monom stopnia M Wsch\u00f3d [[[ dwunasty ] (I M > 0 ) – N M \/ 2 . Pokazujemy (patrz poni\u017cej akapit \u201eFormu\u0142y nawrot\u00f3w\u201d) ni\u017c og\u00f3lnie, dla 0 \u2264 k \u2264 M , wsp\u00f3\u0142czynnik N M +1\u2013 k jest produktem M !\/( M + 1 – k )! przez liczb\u0119 racjonaln\u0105 B k To zale\u017cy od k i nie M . Mo\u017cemy zatem zdefiniowa\u0107 liczb\u0119 Bernoulli B k o : S M ( N ) = \u2211 k = 0 M m!(m+1\u2212k)!Bkk!N M + Pierwszy – k = Pierwszy m+1\u2211 k = 0 M (m+1k)B k N M + Pierwszy – k = \u2211 k = 0 M (mk)B k nm+1\u2212km+1\u2212k. {DisplayStyle S_ {m} (n) = sum _ {k = 0}^{m} {frac {m!} {(m+1-k)!}} {b_ {k}} {k!} }, n^{m+1-k} = {1 over {m+1}} sum {k = 0}^{m} {m+1 wybierz k} b_ {k}, n^{m+1 -k} = sum _ {k = 0}^{m} {m wybierz k} b_ {k}, {frac {n^{m+1-k}} {m+1-k}}.} W szczeg\u00f3lno\u015bci wsp\u00f3\u0142czynnik N w wielomianowym S M ( N ) to liczba B M . Daj\u0105c M Warto\u015b\u0107 0, otrzymujemy (z 0 0 = 1): dla ka\u017cdej liczby ca\u0142kowitej N > 0 W B 0N = S 0( N ) = 0 0+ Pierwszy 0+ \u22ef + ( N – Pierwszy ) 0= N W {DisplayStyle B_ {0} n = s_ {0} (n) = 0^{0}+1^{0}+cdots+(n-1)^{0} = n,} co to pokazuje B 0 = 1 . Daj\u0105c M Warto\u015b\u0107 1, otrzymujemy: 12( B 0N 2+ 2 B 1N ) = S 1( N ) = 0 + Pierwszy + 2 + … + ( N – Pierwszy ) = 12( N 2– N ) W {displayStyle {frac {1} {2}} (b_ {0} n^{2}+2b_ {1} n) = s_ {1} (n) = 0+1+2+ldots+(n-1) = {frac {1} {2}} (n^{2} -n),} co to potwierdza B 0 = 1 i pokazuje to B Pierwszy = \u20131\/2 . Daj\u0105c M Warto\u015b\u0107 2, otrzymujemy: 13( B 0N 3+ 3 B 1N 2+ 3 B 2N ) = S 2( N ) = 0 2+ Pierwszy 2+ 2 2+ … + ( N – Pierwszy ) 2= 13( n3\u221232n2+n2) W {DisplayStyle {frac {1} {3}} (b_ {0} n^{3}+3b_ {1} n^{2}+3b_ {2} n) = S_ {2} (n) = 0^{ 2}+1^{2}+2^{2}+ldots+(n-1)^{2} = {frac {1} {3}} lewy (n^{3}-{frac {3} { 2}} n^{2}+{frac {n} {2}} right),} kt\u00f3ry pokazuje wi\u0119cej ni\u017c B 2 = 1\/6 . Daj\u0105c M Warto\u015b\u0107 3, otrzymujemy: 14( B 0N 4+ 4 B 1N 3+ 6 B 2N 2+ 4 B 3N ) = S 3( N ) = 0 3+ Pierwszy 3+ 2 3+ … + ( N – Pierwszy ) 3= 14( N 4– 2 N 3+ N 2) W {displayStyle {frac {1} {4}} (b_ {0} n^{4}+4b_ {1} n^{3}+6b_ {2} n^{2}+4b_ {3} n) = s_ {3} (n) = 0^{3}+1^{3}+2^{3}+ldots+(n-1)^{3} = {frac {1} {4}} (n^{ 4} -2n^{3}+n^{2}),} co r\u00f3wnie\u017c to pokazuje B 3 = 0 . Table of ContentsObliczanie liczb Bernoulli wed\u0142ug nawrotu [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Inne konwencje i notacje u\u017cywane do zdefiniowania liczby Bernoulli [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Liczby Bernoulli i funkcja Riemanna [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Formula d’Euler-Maclaurin [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Rozw\u00f3j serii Taylor [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Liczby Bernoulli w szeregu [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Liczby i grupy klasowe Bernoulli [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Linki z algebraic K-Th\u00e9oria [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Von Staud-Clausen Twierdzenie [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Ci\u0105g\u0142o\u015b\u0107 P -Adique [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Relacje Ramanujan [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] To\u017csamo\u015b\u0107 Carlitz [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Bibliografia [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Powi\u0105zane artyku\u0142y [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Linki zewn\u0119trzne [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Obliczanie liczb Bernoulli wed\u0142ug nawrotu [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Od warunk\u00f3w pocz\u0105tkowego B 0 = 1 , mo\u017cemy obliczy\u0107 liczb\u0119 Bernoulli przez nawr\u00f3t za pomoc\u0105 faktu, \u017ce \u2200 M \u2208 N \u2217 Pierwszy m+1\u2211 k = 0 M (m+1k)B k = S M ( Pierwszy ) = \u2211 k = 0 0 k M = 0 M = 0 W {DisplayStyle forall Min Mathbb {n} ^{*} quad {frac {1} {m+1}} sum {k = 0} ^{m} {m+1 wybierz k} b_ {k} = s_ {m } (1) = sum _ {k = 0}^{0} k^{m} = 0^{m} = 0,} Co mo\u017cna postrzega\u0107 jako zwi\u0105zek nawrotu [[[ dwunasty ] : ( M + Pierwszy ) B M = – \u2211 k = 0 M – Pierwszy (m+1k)B k . {displayStyle (m+1) b_ {m} =-sum _ {k = 0}^{m-1} {m+1 wybierz k} b_ {k}.} Ta seria r\u00f3wna\u0144 liniowych [[[ 13 ] Pierwszy + 2 B 1= 0 W {DisplayStyle 1+2B_ {1} = 0,} Pierwszy + 3 B 1+ 3 B 2= 0 W {DisplayStyle 1+3B_ {1}+3B_ {2} = 0,} Pierwszy + 4 B 1+ 6 B 2+ 4 B 3= 0 W {DisplayStyle 1+4b_ {1}+6b_ {2}+4b_ {3} = 0,} Pierwszy + 5 B 1+ dziesi\u0119\u0107 B 2+ dziesi\u0119\u0107 B 3+ 5 B 4= 0 W {DisplayStyle 1+5B_ {1}+10b_ {2}+10b_ {3}+5b_ {4} = 0,} itp. Dawa\u0107 sukcesywnie B Pierwszy = \u20131\/2, B 2 = 1\/6, B 3 = 0, B 4 = \u20131\/30 W itp. Na przyk\u0142ad szczeg\u00f3\u0142y obliczenia B 4 Wsch\u00f3d : 5 B 4= – ( Pierwszy + 5 B 1+ dziesi\u0119\u0107 B 2+ dziesi\u0119\u0107 B 3) = – ( 1\u221252+106) = – 16. {DisplayStyle 5b_ {4} =-(1+5B_ {1}+10b_ {2}+10b_ {3}) =-lewy (1- {frac {5} {2}}+{frac {10} {6} } right) =-{frac {1} {6}}.} Wielomiany Bernoulli B M ( X ) s\u0105 po\u0142\u0105czone z liczb\u0105 Bernoulli przez B M ( X ) = \u2211 k = 0 M (mk)B k X M – k . {DisplayStyle B_ {m} (x) = sum _ {k = 0}^{m} {m wybierz k} b_ {k}, x^{m-k}.} Sprawdzaj\u0105 relacje: B 0( X ) = Pierwszy {DisplayStyle B_ {0} (x) = 1} ; \u2200 N \u2208 N B n+1\u2032 ( X ) = ( N + Pierwszy ) B n( X ) {DisplayStyle Forall Nin Mathbb {N} Quad B ‘_ {n+1} (x) = (n+1) b_ {n} (x)} ; \u2200 N \u2208 N\u2217\u222b 01B n( X ) dX = 0 {DisplayStyle forall nin mathbb {n} ^{*} quad int _ {0} ^{1} b_ {n} (x) {rm {d}} x = 0} ; B M (0) = B M I M \u2265 0 (Sta\u0142y termin wielomianu Bernoulli jest r\u00f3wny liczbie Bernoulli tego samego wska\u017anika); B M (1) = B M I M \u2260 1 . Wielomiany S M ( N ) s\u0105 r\u00f3wnie\u017c powi\u0105zane z wielomianami Bernoulli: \u2200 M W N \u2208 N S M ( N ) = Bm+1(n)\u2212Bm+1(0)m+1. {DisplayStyle forall M, nin Mathbb {n} quad s_ {m} (n) = {frac {b_ {m+1} (n) -B_ {m+1} (0)} {m+1}}.} Z B n+1\u2032 = ( N + Pierwszy ) B nW {DisplayStyle B ‘_ {n+1} = (n+1) B_ {n},} Duukujemy to S m\u2032 ( X ) = Bm+1\u2032(X)m+1= B m( X ) . {DisplayStyle s ‘_ {m} (x) = {frac {b’ _ {m+1} (x)} {m+1}} = b_ {m} (x).} Dlatego wielomiany S M s\u0105 prymitywami wielomian\u00f3w Bernoulli, kt\u00f3re s\u0105 anulowane w zero: S M ( X ) = \u222b 0 X B M ( T ) D T = \u2211 k = 0 M (mk)B k xm+1\u2212km+1\u2212k. {DisplayStyle S_ {m} (x) = int _ {0}^{x} b_ {m} (t) {rm {d}} t = sum _ {k = 0}^{m} {m Wybierz k} B_ {k}, {frac {x^{m+1-k}} {m+1-k}}.} Inne konwencje i notacje u\u017cywane do zdefiniowania liczby Bernoulli [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Czasami u\u017cywamy notacji B N Aby odr\u00f3\u017cni\u0107 liczby od Bernoulli od liczb dzwon\u00f3w. Definicja zastosowana w tym artykule sprawdza B M = B M (0) Lub B M ( X ) wyznacza wielomian Bernoulli. Spe\u0142niamy r\u00f3wnie\u017c umow\u0119 B M = B M (Pierwszy) , Lub B M ( X ) wyznacza wielomian Bernoulli. Dwie konwencje r\u00f3\u017cni\u0105 si\u0119 tylko dla znaku B Pierwszy ; na : B Pierwszy ( 0 ) = – Pierwszy 2 ; B Pierwszy ( Pierwszy ) = + Pierwszy 2 . {DisplayStyle B_ {1} (0) =-{frac {1} {2}}}}} qquad,; qquad b_ {1} (1) =+{frac {1}}}}}.} Kolejna ocena, u\u017cywana w topologii [[[ 14 ] , oznacza rozwa\u017cenie r\u00f3wie\u015bnik\u00f3w bez ich znaku (mamy B 2 k = (\u20131) k -Pierwszy |. B 2 k |. ): B M = B M ( 0 ) ; B M = |. B 2 M |. . {DisplayStyle B_ {M} = B_ {M} (0) Qquad,;, Qquad B_ {M} = | B_ {2M} |.} Liczby Bernoulliego mo\u017cna r\u00f3wnie\u017c zdefiniowa\u0107 za pomoc\u0105 funkcji generuj\u0105cej. Seria generatora wyk\u0142adniczego powi\u0105zana z apartamentem jest X \/ (To jest X – Pierwszy) , w taki spos\u00f3b, \u017ce X ex\u22121= \u2211 N = 0 \u221e B N xnn!{DisplayStyle {frac {x} {{rm {e}}^{x} -1}} = sum _ {n = 0}^{infty} b_ {n} {frac {x^{n}}} {n n. !}}} za wszystko X o warto\u015bci bezwzgl\u0119dnej ni\u017cszej ni\u017c 2p (Promie\u0144 konwergencji tej ca\u0142ej serii). Ta definicja mo\u017ce by\u0107 pokazana r\u00f3wnowa\u017cna z poprzednim za pomoc\u0105 rozumowania nawrotu: Pierwszy termin serii jest wyra\u017anie B 0 (przez rozszerzenie przez ci\u0105g\u0142o\u015b\u0107). Aby uzyska\u0107 zwi\u0105zek nawrotu, pomno\u017camy dwie strony r\u00f3wnania przez To jest X – Pierwszy . Tak wi\u0119c za pomoc\u0105 serii Taylor dla funkcji wyk\u0142adniczych, X = ( \u2211j=1\u221exjj!) ( \u2211k=0\u221eBkxkk!) . {displayStyle x = lewy (sum _ {j = 1}^{infty} {frac {x^{j}} {j!}} prawy) lewy (sum _ {k = 0}^{infty} {frac {b_ {k} x^{k}} {k!}} right).} Opracowuj\u0105c to w produkcie Cauchy i nieznacznie rearanging, otrzymujemy X = \u2211 M = 0 \u221e ( \u2211j=0m(m+1j)Bj) xm+1(m+1)!. {displayStyle x = sum _ {m = 0}^{infty} lewy (sum _ {j = 0}^{m} {m+1 wybierz j} b_ {j} right) {frac {x^{m+1 }} {(M+1)!}}.} Z tej ostatniej r\u00f3wno\u015bci jasne jest, \u017ce wsp\u00f3\u0142czynniki w ca\u0142ej serii spe\u0142niaj\u0105 ten sam zwi\u0105zek nawrot\u00f3w, co liczba Bernoulli (patrz akapit: \u201eObliczenie liczb Bernoulli przez nawr\u00f3t\u201d). Pierwsze liczby Bernoulliego to: Nazwy Bernoulli N B N Warto\u015b\u0107 dziesi\u0119tna 0 Pierwszy Pierwszy \u22121 \/ 2 = \u22120,5 2 1\/6 \u2248 0,166 7 3 0 4 \u22121 \/ 30 \u2248 -0,033 3 5 0 6 1\/42 \u2248 0,023 81 7 0 8 \u22121 \/ 30 \u2248 -0,033 3 9 0 dziesi\u0119\u0107 5\/66 \u2248 0,075 76 11 0 dwunasty \u2212691 \/ 2 730 \u2248 \u22120,253 1 13 0 14 7\/6 \u2248 1166 7 15 0 16 \u22123 617 \/510 \u2248 \u22127,092 2 N B N Warto\u015b\u0107 dziesi\u0119tna 17 0 18 43 867\/798 \u2248 54 971 2 19 0 20 \u2212174 611 \/330 \u2248 -529,124 21 0 22 854 513 \/138 \u2248 6 192,12 23 0 24 \u2212236 364 091\/2 730 \u2248 \u221286 580,3 25 0 26 8 553 103\/6 \u2248 1 425 517 27 0 28 \u221223 749 461 029\/870 \u2248 \u221227 298 231 29 0 30 8 615 841 276 005 \/14 322 \u2248 601 580 874 trzydziesty pierwszy 0 32 \u22127 709 321 041 217\/510 \u2248 -15 116 315 767 33 0 Korzystaj\u0105c z funkcji generuj\u0105cej, mo\u017cemy to wykaza\u0107 B N = 0 Kiedy N jest dziwne i r\u00f3\u017cni si\u0119 od 1 i \u017ce oznaki B N alternatywne dla N r\u00f3wie\u015bnik. Wi\u0119c mamy : B 2 k = ( – Pierwszy ) k – Pierwszy |. B 2 k |. . {DisplayStyle B_ {2K} = (-1)^{K-1} | B_ {2K} |.} Uzasadniamy tutaj definicj\u0119 liczb Bernoulli og\u0142oszonych we wst\u0119pie. Zostawmy sum\u0119 S M ( N ) = \u2211 k = 0 N – Pierwszy k M {DisplayStyle S_ {m} (n) = sum _ {k = 0}^{n-1} k^{m}} Dla wszystkich naturalnych ca\u0142o\u015bci M I N (zw\u0142aszcza, S M (0) = 0 ). Zauwa\u017camy, \u017ce (zgodnie z formu\u0142\u0105 dwumianow\u0105 po ponownej indeksacji): S m+1( N + Pierwszy ) = \u2211 k=1nk m+1= \u2211 k=0n\u22121( k + Pierwszy ) m+1= \u2211 k=0n\u22121\u2211 j=0m+1(m+1j)k j= \u2211 j=0m+1(m+1j)S j( N ) = S m+1( N ) + \u2211 j=0m(m+1j)S j( N ) W {DisplayStyle S_ {m+1} (n+1) = sum _ {k = 1 ^^ {n} k^{m+1})^{m+1} = sum _ _ _ _ = sum _ {j {j j = 0} ^{M+1 {binom {m+1} {j} s_ {j} (n) = s_ {m+1} ()+sum {j = 0} ^{m} {m binom {m {m {m {m {m +1} {j}} s_ {j} (n),} N m+1= S m+1( N + Pierwszy ) – S m+1( N ) = \u2211 j=0m(m+1j)S j( N ) = ( M + Pierwszy ) S m( N ) + \u2211 j=0m\u22121(m+1j)S j( N ) {DisplayStyle n^{m+1} = s_ {m+1} (n+1) -s_ {m+1} (n) = sum _ {j = 0}^{m} {binom {m+1} {j}} s_ {j} (n) = (m+1) s_ {m} (n)+sum _ {j = 0}^{m-1} {binom {m+1}}}} s_ { J} (n)} I w ko\u0144cu dostajemy: \u2200 M W N \u2208 N S M ( N ) = nm+1m+1– M ! \u2211 J = 0 M – Pierwszy Sj(n)j!(m+1\u2212j)!W {DisplayStyle forall M, nin Mathbb {n} quad s_ {m} (n) = {frac {n^{m+1}} {m+1}}-m! sum _ {j = 0}^{m- 1} {frac {s_ {j} (n)} {j! (M+1-j)!}},} Co mo\u017cemy postrzega\u0107 jako definicj\u0119 S M ( N ) przez nawr\u00f3t M (W tym inicjalizacja S 0 ( N ) = N ). W\u0142a\u015bnie to podej\u015bcie umo\u017cliwia wykazanie si\u0119 nawrotem, \u017ce wsp\u00f3\u0142czynniki S M ( N ) s\u0105 rzeczywi\u015bcie form\u0105 podan\u0105 we wst\u0119pie: S M ( N ) = \u2211 I = 0 M m!(m+1\u2212i)!Bii!N M + Pierwszy – I {DisplayStyle S_ {m} (n) = sum _ {i = 0}^{m} {frac {m!} {(m+1-i)!}} {b_ {i}} {i!} }, n^{m+1-i}} . Za wszystko J \u2265 0 , notatka B J Wsp\u00f3\u0142czynnik N W S J ( N ) W S J ( N ) = B J N + \u2211 k < J C k W J N J + Pierwszy – k {DisplayStyle S_ {j} (n) = b_ {j} n+sum _ {k i wywnioskowa\u0107 z formu\u0142y nawrot\u00f3w S M ( N ) powy\u017cej, przez nawr\u00f3t J , \u017ce wsp\u00f3\u0142czynnik C k W J z N J +1\u2013 k W S J ( N ) jest produktem J !\/( J + 1 – k )! o B k \/ k ! nie tylko dla k = J , ale tak\u017ce dla ka\u017cdej naturalnej ca\u0142o\u015bci k < J (co jest natychmiastowe k = 0 ). Zak\u0142adaj\u0105c nieruchomo\u015b\u0107 dla wszystkiego J < M , uwa\u017camy za wsp\u00f3\u0142czynnik C M W I z N M +1\u2013 I W S M ( N ) , Dla 0 < I < M : C M W I = – M ! \u2211 jk=m+1\u2212iPierwszy j!(m+1\u2212j)!j!(j+1\u2212k)!Bkk!= m!(m+1\u2212i)!\u2211 k = 0 I – Pierwszy \u2212Bk(i+1\u2212k)!k!= m!(m+1\u2212i)!Bii!W {DisplayStyle C_ {m, i} =-m! sum _ {{j k = 0 I – Pierwszy (i+1k)B k = – \u2211 k = 0 I – Pierwszy i!(i+1\u2212k)!k!B k . {displaystyle B_{i}=-{frac {1}{i+1}}sum _{k=0}^{i-1}{i+1 choose k}B_{k}=-sum _{k= 0}^{i-1} {frac {i!} {(I+1-k)! K!}} B_ {k}.} Liczby Bernoulli i funkcja Riemanna [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Pierwszy zwi\u0105zek uzyska\u0142 Leonhard Euler [[[ 15 ] W [[[ 16 ] W nast\u0119puj\u0105cym formie B 2 N = ( – Pierwszy ) N + Pierwszy 2(2n)!(2\u03c0)2n[[[ Pierwszy + 122n+ 132n+ 142n+ \u22ef ] . {DisplayStyle B_ {2n} = (-1)^{n+1} {frac {2 (2n)!} {(2pi)^{2n}}} lewy [1+ {frac {1} {2^{2n }}}+{frac {1} {3^{2n}}}+{frac {1} {4^{2n}}}+cdots; right].}} (Mo\u017cna go uzyska\u0107 jako nast\u0119pstwo z obliczania serii wielomian\u00f3w Fouriera Bernoulli.) Zwi\u0105zek jest napisany przy u\u017cyciu funkcji Z\u00eata Riemann: B 2 N = ( – Pierwszy ) N – Pierwszy 2(2n)!(2\u03c0)2nZ ( 2 N ) W {DisplayStyle B_ {2n} = (-1)^{n-1} {frac {2, (2n)!} {(2pi)^{2n}}}; zeta (2n),} zwi\u0105zek, kt\u00f3ry trenuje (dla N > 0 ): 2 Z ( 2 N ) = (2\u03c0)2n(2n)!|. B 2 N |. . {DisplayStyle 2, Zeta (2n) = {frak {(2pi)^{2n} {(2n)!}}} | B_ {2n} |.} Pierwsze liczby Bernoulliego B N (Pierwszy) (Czerwone punkty) s\u0105 podawane przez funkcj\u0119 – X Z (1- X ) (Niebieska krzywa). Wygl\u0105d B dwunasty = – 691 \/ 2730 wydaje si\u0119 pokazywa\u0107, \u017ce warto\u015bci liczb Bernoulli nie mo\u017cna po prostu opisa\u0107; W rzeczywisto\u015bci s\u0105 to zasadniczo warto\u015bci funkcji Z Riemann dla ca\u0142ej warto\u015bci ujemnej zmiennej, poniewa\u017c Z ( – N ) = ( – Pierwszy ) N Bn+1n+1{DisplayStyle zeeta (-n) = (-1)^{n} {frac {b_ {n+1}}} {n+1}}}}} I wiemy, \u017ce ten ostatni jest trudny do zbadania (patrz hipoteza Riemanna). Mo\u017cliwe jest wyra\u017cenie liczby Bernoulli dzi\u0119ki funkcji Z\u00eata Riemann w nast\u0119puj\u0105cy spos\u00f3b: "},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/nazwa-bernoulli-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Nazwa Bernoulli – Wikipedia"}}]}]