Operacja podstawowa – Wikipedia

Posted on by
before-content-x4

W algebrze liniowej, Operacje podstawowe W rodzinie wektorów znajdują się manipulacje algebraiczne, które nie modyfikują liniowych właściwości niezależności, ani nie wygenerowane podprzestanie wektorowe. Są łatwe do opisania w postaci kodu i umożliwiają pisanie algorytmów, na przykład dla obliczenia rangi. Operacje elementarne mają trzy liczby: wymiana (transpozycja), mnożenie jednego z wektorów przez niezerowy skalar (rozszerzenie) i dodanie jednego z wektorów do innego (transsyptencja).

after-content-x4

Matrian Pisma znacznie ułatwia użycie algorytmów. Zapewnia również możliwość pracy w systemach wektora kolumn lub wektorów liniowych. Operacje elementarne interpretują się jako mnożenie przez matryce elementarne. Dzięki systematycznemu zastosowaniu działań elementarnych w dobrej sytuacji, możliwe jest przekształcenie macierzy w inną prostszą (na przykład macierz kształtu zatoczonego). W zależności od przyjętych operacji istnieje kilka twierdzeń redukcyjnych przy użyciu operacji elementarnych, które są interpretowane matrycznie jako właściwości faktoryzacji.

Operacje podstawowe w rodzinie wektorów [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Albo

( X I ) I ∈ I {displayStyle (x_ {i}) _ {iin i}}

Rodzina wektorów przestrzeni wektorowej I . Operacje podstawowe w tej rodzinie wektorów to:

  • mnożenie jednego z wektorów przez niezerowy skalar;
  • Dodanie jednej wielokrotności jednego z wektorów rodziny do drugiej;
  • wymiana dwóch wektorów.

Ranga rodziny i wygenerowanej podprzestrzeni wektorowej są niezmienne przez operacje podstawowe.

Przykład

Kodowanie [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Matryca przy N linie i P kolumny można postrzegać jako system N wektory liniowe lub system P Wektory kolumnowe. Operacje podstawowe na jednym lub drugim systemach można opisać za pomocą liter L Dla linii, C Dla kolumn, a następnie indeks.

Więc,

L 2 ← 3 L 2 {DisplayStyle L_ {2} Leftarrow 3l_ {2}}

jest operacją „Wymień linię 2 na 3 razy linię 2”, to znaczy pomnóż drugą linię przez 3.

Podobnie,

C 2 ← C 2 – 3 C Pierwszy {DisplayStyle C_ {2} Leftarrow C_ {2} -3c_ {1}}

to operacja „Dodaj – 3 -razy kolumna 1 do kolumny 2”.

Wreszcie wymiana pierwszej linii z trzecim jest pisana

L Pierwszy ↔ L 3 {DisplayStyle L_ {1} Leftrightarrow L_ {3}}

.

Efekt [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Działanie na liniach lub kolumnach prowadzi do dość bliskich wyników, ponieważ każda operacja na liniach macierzy A Można uznać za operację w kolumnach jej transponowanej matrycy.

Operacje podstawowe w kolumnach nie zmieniają rangi matrycy. Nie zmieniają również przestrzeni obrazu A .

Operacje podstawowe na liniach również nie modyfikują rangi i zachowują rdzeń A .

I A jest macierzą kwadratową, determinant jest modyfikowany przez wymianę linii lub kolumn (która przekształca determinant w jego przeciwieństwo) lub przez pomnożenie linii lub kolumny przez skalar (który mnoży determinowanie przez ten sam skalar).

Interpretacja multiplikatywna [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Każda podstawowa operacja jest powiązana z matrycą elementarną, taką jak mnożenie A Po lewej przez tę matrycę daje taki sam efekt co operacja.

Działać na liniach matrycy A Więc wraca, aby go pomnożyć w lewo za pomocą macierzy odwróconej, wytwarzanej przez matryce elementarne.

Podobnie działaj na kolumnach A wraca, aby go pomnożyć w prawo przez odwracalną matrycę.

Zachwycanie to proces operacji na liniach macierzy, który prowadzi do rozłożonej matrycy. Jest przydatny do obliczania szeregów lub determinantów i rozwiązywania układów liniowych.

Oszałamiający – Według podstawowych operacji na liniach dowolna macierz można przekształcić w rozłożoną matrycę. Dlatego każda macierz A można napisać w formie A = pe , Lub P jest odwracalną matrycą i I Zatoczona matryca.

Działanie po lewej stronie grupy liniowej [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Metodę można kontynuować, aby uzyskać wynik istnienia i wyjątkowości. Według podstawowych operacji dowolna macierz można przekształcić w rozłożoną matrycę Przeskalowane , to znaczy rozłożona matryca, w której Outhots są warte 1 i są zwieńczone przez 0. Taki rozkład jest wówczas wyjątkowy.

Słownictwo działań grupowych opisuje sytuację. Grupa liniowa

G L P ( K ) {DisplayStyle Mathrm {gl} _ {p} (k)}

Zaangażowane macierze zamówienia P Dzieje się po lewej przez tłumaczenie

M P W Q ( K ) {DisplayStyle Mathrm {M} _ {p, q} (k)}

. Każda orbita dla tej akcji zawiera pojedynczą zmniejszoną matrycę.

Powiązane artykuły [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Bibliografia [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Q. Gabriel, Gabriel, Macierze, geometria, algebra liniowa , Cassini

after-content-x4