Potencjalny kwadwar – Wikipedia

W fizyce, potencjalny kwadwar Lub Czteropotentiel Lub pole miernikowe , ogólnie zauważony

${DisplayStyle A^{Mu}}$

z

${DisplayStyle MU = 0,1,2,3}$

cichy wskaźnik, jest wektorem z czterema komponentami zdefiniowanymi przez

${DisplayStyle a^{mu} = {begin {pmatrix} {frac {phi} {c}}} {vec {a}} end {pmatrix}}}}}$

Lub

${DisplayStyle Phi}$

wyznacza potencjał skalarny (zauważono również W ), C prędkość światła w pustce i

${DisplayStyle {vec {a}}}$

Potencjał wektorowy, który zależy od wyboru układu współrzędnych. Na przykład we współrzędnych kartezjańskich ten ostatni jest reprezentowany przez

${displayStyle {start {pmatrix} a_ {x} \ a_ {y} \ a_ {z} end {pmatrix}}}$

, co tworzy w sumie dla kwadratu

${displayStyle a^{mu} = {begin {pmatrix} a^{0} \ a^{1} \ a^{2} \ a^{3} end {pmatrix}} = {begin {pmatrix} {frac {frac {frac {frac {frac {frac {frac {frac {frac {frac { phi} {c}} \ a_ {x} \ a_ {y} \ a_ {z} end {pmatrix}}}$

.

Jest stosowany w szczególności w ograniczonej względności i relatywistycznej mechanice kwantowej.

Często-punktowe zależy od współrzędnych czasoprzestrzeni lub

${DisplayStyle a^{mu} = a^{mu} (x^{nu})}$

Lub

${displayStyle x^{nu} = {begin {pmatrix} ct \ {vec {r}} end {pmatrix}}}$

jest czterokrotnierem czasoprzestrzennym, albo we współrzędnych kartezjańskich

${displayStyle x^{nu} = {begin {pmatrix} ct \ x \ y \ zend {pmatrix}}}$

. Wreszcie, pole miernikowe jest napisane

${displayStyle a^{mu} (x^{nu}) = {begin {pmatrix} phi ({vec {r}}, t)/c \ {vec {a}} ({vec {r}}, t) end {pmatrix}}}$

. W języku kartezjańskim uzyskuje całkowite rozszerzenie

${displayStyle a^{mu} (x^{nu}) = {begin {pmatrix} phi (x, y, z, t)/c \ a_ {x} (x, y, z, t) \ a_ {y, } (x, y, z, t) \ a_ {z} (x, y, z, t) end {pmatrix}}}$

Potencjał skalarny jest zdefiniowany przez

${DisplayStyle phi (x^{nu}) = phi ({rzecz {r}}, t) = {frac {1} {4pi epsilon _}} int _ _ {v ‘{frac {rho ({rzecz ‘}}, t’) | _ {t ‘= t- | {rzecz {r}}-{rzecz {r’} |/c}} {| {rzecz {r}}-{rzecz {r r ‘}} |}} dv ‘}$

Potencjał wektorowy jest zdefiniowany przez

${DisplayStyle {rzecz {a}} (x^{nu}) = {rzecz {a}} ({rzecz {r}}}, t) = {frac {hu {0}} {4pi}} ‘} {frac {frac {{rzecz {j}} ({rzecz {r ‘}}, t’) | _ {t ‘= t- | {rzecz {r}}- {rzecz {r’} |/c}} {| {rzecz {r}}-{rzecz {r ‘} |}} dv’}$

Lub

${DisplayStyle Rho ({vec {r ‘}}, t’)}$

wyznacza gęstość obciążenia i

${DisplayStyle {rzecz {j}} ({rzecz {r ‘}}’)}}$

Gęstość prądu w objętości W’ uważany za. Pogoda T’ wyznacza opóźniony czas lub czas u źródła, ponieważ pole rozprzestrzenia się do prędkości C , dlatego pole wydane przez źródło w

${DisplayStyle {vec {r ‘}}}$

wtedy T’ będzie odczuwalne

${displayStyle {vec {r}}}$

wtedy

${DisplayStyle t = t ‘+| {vec {r}}-{vec {r’}} |/c}$

.

Z relatywistycznych równań Maxwella, jeśli wybierzesz miernik Lorenz, który może być zdefiniowany przez

${wyświetlanie prześwitu _ {mu} a ^ {mu} (x}) = 0}$

, albo

${displayStyle {frac {1} {c^{2}}} {frac {częściowe phi} {parial t}}+{text {div}} {vec {a}} = 0}$

Prowadzimy do następujących 4 równań:

${Wyświetl Clear _ {alpha} częściowy ^ {} (x} (x} (x} (x} (x} (x})}$

Lub

• 
  ${DisplayStyle Partial _ {alpha} = {frac {parial} {parial x^{alpha}}} = left ({frac {1} {c}} {frac {parial} {parial t}}, {vec {nabla}}}}}}} }Prawidłowy)}$

  wyznacza kwadratowy gradient kowarujący i

  ${DisplayStyle Partial ^{alpha} = {begin {pmatrix} {frac {1} {c}} {frac {parial} {parial t}} \-{vec {nabla}} end {pmatrix}}}$

  Jego odpowiednik zawierający. Rzeczywiście,

  ${DisplayStyle Partial ^{alpha} = sum _ {beta = 0} ^{3} eta ^{alpha beta} częściowy _ {beta}}$

  z

  ${DisplayStyle eta ^{alpha beta}}$

  Minkowski metryka w podpisie (+,-,-,-).

• Powtórzenie indeksów implikuje sumę warunków zgodnie z umową Einsteina
  ${DisplayStyle x_ {in} y ^ {in} = sum _ {in = 0} ^ {3} x_ {in} y ^ {in}}}}$

  . To prowadzi do

  ${DisplayStyle Partial _ {alpha} częściowe ^{alpha} = box = {frac {1} {c ^{2}}} {frac {częściowe ^{2}} {częściowe t ^{2}}}-delta}}$

  który jest niczym innym jak operatorem Alembertien.

• 
  ${DisplayStyle MU _ {0} = {frac {1} {epsilon _ {0} c^{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} }}}}$

  wyznacza przepuszczalność próżni

• 
  ${DisplayStyle J^{hu} (x^{nu}) = rho _ {0} v^{hu} (x^{nu}) = rho _ {0} gamma (c, {v}}) = = Gamma (crho _ {0}, {rzecz {j_ {0}}}) = (crho, {rzecz {j}})}}$

  Reprezentuje kwadwar gęstości prądu.

Dla

${DisplayStyle MU = 0}$

Znajdujemy równanie

${DisplayStyle Square phi = {frac {rho} {epsilon _ {0}}}}$

co odpowiada równaniu Maxwella w pustce

${DisplayStyle {text {div}} {rzecz {e}} = {frac {rho} {epsilon _ {0}}}}}$

.

Rzeczywiście,

${DisplayStyle Square phi = {frac {1} {c^{2}}} {frac {parial^{2} phi} {parial t^{2}}}-delta phi = {frac {1} {c^{ 2}}} {frac {częściowe ^{2} phi} {częściowe t ^{2}}}-{text {div}} ({vec {grad}}} phi) =-{frac {partia}} { częściowo t}} ({text {div}} {vec {a}})-{text {div}} ({vec {text {grad}}} phi) = {text {div}} lewy (-{vec {{vec {{vec { Text {grad}}} phi -{frac {parial {vec {a}}} {parial t}} right) = {text {div}} {vec {e}}}$

Dla

${DisplayStyle MU = 1,2,3}$

Znajdujemy równanie

${DisplayStyle Square {rzecz {a}} = m u _ {0} {rzecz {j}}}$

co odpowiada równaniu Maxwella w pustce

${DisplayStyle {rzecz {text {tot}}} {rzecz {h}} = {rzecz {j}}+{frac {parial {d {d}}} {Partial t}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

.

Rzeczywiście,

${DisplayStyle Square {rzecz {a}} = {frac {1} {c {2}}} {parial {parial {2} {a rzecz {a}} {parial t {2}}-delta {delta {rzecz { a}} = {frac {1} {c {2}}} {frac {parial {2} {a rzecz {a}}} {parial t^{2}}}+{ ({rzecz {text {tot}}} {rzecz {a}})-rzecz {text {grad}}}} ({text {nive} {a rzecz {a}}) = {frac {1} {c c c. {2}}} {frac {częściowe {2} {rzecz {a}}} {parial t^{2}}}+{rzecz {text {tot}}} {b}}+}+{{{{{{{{{{{{{{{{{{{ frac {1} {c {2}}} {rzecz {text {grad}}} ({frac {parial phi} {parial t}}) = {text {rot}}} {rzecz {b}} +{frac {1} {C {2}}} {frac {częściowe} {częściowe t}} lewy ({rzecz {text {grad}}} t}} right) = {thing {thot}}}} {Thing {b }}-epsilon _ {0} mo _ {0} {partia {parial {rzecz {e}} {parial t}} = _ {0} left ({Thing {thot}}} {Thing {h}}} -{frac {parial {d {d}}} {parial t}}}}}}}}}}$

Każdy wektor czterech komponentów niekoniecznie definiuje kwadwar w fizyce relatywistycznej. Podstawą jest zasada względności w połączeniu ze stałą prędkości światła w pustce, co powoduje fakt, że każdy kwadwarca musi się przekształcić zgodnie z transformacją Lorentza (symbolizowaną przez tensor Lorentza

${DisplayStyle {Lambda {} {mamush} _ {ni}}$

) przez zmianę repozytorium Galilean. Zatem podczas zmiany repozytorium albo współrzędne są przekształcane przez transformację Lorentza, a kwadwarca pozostaje niezmieniony, lub współrzędne pozostają niezmienione, ale wtedy jest to kwadwar, który jest transformowany, dwie operacje prowadzące do tego samego wyniku:

${DisplayStyle p^{mu} (x^{nu}) = p^{mu} (Lambda _ {xi}^{nu} x^{xi}) = Lambda _ {xi}^} p^{xi} ( x^{nu})}$

. Podobnie, jeśli

${DisplayStyle p^{xi} (x^{nu})}$

jest zatem kwadratowy

${DisplayStyle Lambda _ {xi}^{mu} p^{xi} (x^{nu})}$

jest nadal kwadratowym, ponieważ fizyka pozostaje niezmieniona przez zmianę repozytorium (niezależnie od obserwatora). Aby uzyskać przykłady obliczeń, patrz obliczenia relatywistyczne artykułu.

D’Alembertien jest różnicowym operatorem, który ma własność niezmienionego, gdy zmienisz repozytorium w ograniczonej terenie względności. Bardziej matematyczne jest niezmienne przez transformację Lorentza. Rzeczywiście, z definicji,

${DisplayAway Square = częściowy _} częściowy ^} = eta _} częściowy ^} częściowy ^} częściowy ^}$

, ale skoro gradient kwadrivector jest zgodny z powyższą właściwością kwadratu, zmieniając współrzędne,

${DisplayStyle {Lambda ^{nu}} _ {rho} częściowe ^{rho}}$

jest nadal gradientowym kwadwarkowcem lub ilością

${DisplayStyle eta _ {mu nu} ({Lambda ^{nu}} _ {rho} częściowo ^{rho}) ({lambda ^{Mu}} _ {sigma} częściowo ^{sigma}) = (eta _ {Mu} nu} {Lambda ^{nu}} _ {rho} {Lambda ^{mu}} _ {sigma}) częściowo ^{rho} częściowo ^{sigma} = eta _ {sigma rho} częściowo ^{rho} częściowo ^{{rho} sigma} = częściowe _ {sigma} częściowe ^{sigma} = kwadrat}$

Przywróć dokładnie to samo wyraz d’Alembertien. Dzięki tej właściwości pokazujemy również, że równania Maxwella pozostają niezmienne przez transformację Lorentza.