Teoria Cauchy-Kowalevskiego-Wikipedia

Posted on May 16, 2023 by lordneo

before-content-x4

. Twierdzenie Cauchy-Kowalevski jest twierdzeniem analizy z kilkoma zmiennymi zastanawiającymi się, że dobrze wyposażone równanie pochodne częściowe przyznaje unikalne rozwiązanie dla pełnego zestawu warunków początkowych. Twierdzenie to wynika z francuskiego matematyka Augustina Cauchy’ego dla konkretnego przypadku, a także rosyjskiej matematyka Sofia Kovalevskaïa (który w publikacjach w czasopismach w języku niemieckim lub francuskim podpisał podpisanie Sophie Kowalevski ) W przypadku ogólnego. Twierdzenie Cauchy-Kowalevskiego ma istotne różnice w porównaniu z twierdzeniem Cauchy-Lipschitz dla zwykłych równań różniczkowych: w tym ostatnim funkcję drugiego członka ma klasę

{DisplayStyle C^{1}}

$C^{1}$ (lub nawet lokalnie lipschitzienne), a roztwór zależy stale od początkowych warunków; W pierwszym funkcje drugiego elementu są rzekomo analityczne i nie ma wyniku ciągłej zależności od warunków początkowych ^{[[[ Pierwszy ]}. W fizyce równanie Klein-Gordon równanie fali i równanie Laplace’a są przykładami, w których dotyczy to twierdzenie Cauchy-Kowalevskiego. To nie jest tak samo z równaniem cieplnym lub równaniem Schrödingera.

W ogólnym przypadku mamy następujący wynik ^{[[[ 2 ]}:

Twierdzenie – Albo układ równań pochodnych

{displayStyle {frac {częściowe ^{n_ {i}} u_ {i}} {parial t ^{n_ {i}}}} = f_ {i} left (t, x_ {1}, …, x_ { n}, u_ {1}, …, u_ {n}, …, {frac {częściowe^{k} u_ {j}} {parial t^{k_ {0}} częściowy x_ {1}^ {k_ {1}} … częściowo x_ {n}^{k_ {n}}}}, … right)}

{DisplayStyle po lewej (i, j = 1,2, …, n; quad k_ {0}+k_ {1}+…+k_ {n} = kleq n_ {i}; quad k_ {0}

i warunki początkowe

{displayStyle {frac {częściowe ^{k} u_ {i}} {częściowe t ^{k}}} = phi _ {i, k} lewy (x_ {1}, …, x_ {n} right) quad) quad) po lewej (k = 0,1, …, n_ {i} -1; quad t = t^{0} right)}

i uwaga

{DisplayStyle po lewej ({frac {parial^{k-k_ {0}} phi _ {i, k_ {0}}} {częściowe x_ {1}^{k_ {1}} … częściowo x_ {n}^^ {k_ {n}}}} right) _ {x_ {i} = x_ {i}^{0}} = phi _ {i, k_ {0}, k_ {1}, …, k_ {n} }^{0} quad lewy (i = 1,2, … n; quad k_ {0}+k_ {1}+…+k_ {n} = kleq n_ {i} racja).}

Załóżmy, że funkcje

{DisplayStyle f_ {i}}

$F_i$ I

{DisplayStyle phi _ {i, k}}

${displaystyle phi _{i,k}}$ analityka w sąsiedztwie punktu

{DisplayStyle po lewej (t^{0}, x_ {1}^{0}, x_ {2}^{0}, …, phi _ {j, k_ {0}, k_ {1}, … , k_ {n}}^{0}, … right)}

${displaystyle left(t^{0},x_{1}^{0},x_{2}^{0},...,phi _{j,k_{0},k_{1},...,k_{n}}^{0},...right)}$ . Z punktu

{displayStyle lewy (t^{0}, x_ {1}^{0}, …, x_ {n}^{0} right)}

${displaystyle left(t^{0},x_{1}^{0},...,x_{n}^{0}right)}$ w którym rozważany system częściowych równań pochodnych przyjmuje jedno rozwiązanie weryfikujące warunki początkowe.

Table of Contents

Przypadek zastosowania twierdzenia [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Twierdzenie to dotyczy równania Kleina-Gordona (lub równania fal, które jest konkretnym przypadkiem, i równanie Laplace’a, które ma tę samą formę z najbliższym znakiem)

{displayStyle {frac {1} {c^{2}}} {frac {parial^{2} u} {parial t^{2}}} = {frac {parial^{2} u} {parial x^{{ 2}}}+bu}

z początkowymi warunkami

{displayStyle uleft (t^{0}, xright) = phi _ {0} lewy (t^{0}, xright), quad {frac {częściowe u} {częściowe t}}} lewy (t^{0}, xright, xright ) = phi _ {1} po lewej (t^{0}, xright).}

Twierdzenie Cauchy-Kowalevski nie określa, czy równanie typu Klein-Gordon zachowuje się przyczynowo. Na przykład, jeśli pole W wynosi zero w odstępie wewnętrznego bez opieki

{DisplayStyle [-x^{1}, x^{1}]}

${displaystyle [-x^{1},x^{1}]}$ właśnie

{DisplayStyle t^{0}}

${displaystyle t^{0}}$ , oczekujemy, że pole pozostanie zerowe w 0 do czasu

{DisplayStyle t^{0}+x^{1}/c}

${displaystyle t^{0}+x^{1}/c}$ , co nie określa twierdzenia Cauchy-Kowalevskiego (choć tylko dlatego, że taki stan początkowy byłby nieanalityczny i nie można go leczyć przez to twierdzenie). Dlatego inną metodą ustalono ten wynik ^{[[[ 3 ]}

Przypadek, w którym twierdzenie nie ma zastosowania [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Twierdzenie nie dotyczy równania cieplnego

after-content-x4

{displayStyle {frac {częściowe u} {częściowe t}} = kappa {frac {częściowe ^{2} u} {częściowe x ^{2}}}+fleft (t, xright)}

Nie więcej niż w równaniu Schrödingera, które ma taką samą formę, jak mnożenie w pobliżu

{DisplayStyle {sqrt {-1}}}

$sqrt{-1}$ .

Przykład Lewy’ego pokazuje, że twierdzenie nie dotyczy funkcji, które nie są analityczne.

Przypadek częściowych równań pochodnych pierwszego rzędu [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Sposób na zademonstrowanie twierdzenia Cauchy-Kowalevskiego jest zmniejszenie układu częściowych równań pochodnych pierwszego rzędu ^{[[[ 4 ]}. Pokażmy, jak postępować w przypadku równania Klein-Gordon:

Zapytajmy

{DisplayStyle u_ {0} = u, u_ {1} = {frac {częściowe u} {parial x}}, u_ {2} = {frac {parial u} {parial t}}}}}}}}}

${displaystyle u_{0}=u,u_{1}={frac {partial u}{partial x}},u_{2}={frac {partial u}{partial t}}}$ . Następnie uzyskujemy układ częściowych równań pochodnych

{displayStyle lewy {{start {array} {c} {frac {częściowe u_ {0}} {parial t}} = u_ {2} \ {frac {częściowe u_ {1}} {partia t}} = {frac { Partial U_ {2}} {Partial X}} \ {frac {częściowe u_ {2}} {parial t}} = {frac {parial u_ {1}} {częściowe x}}+bu_ {0} end {tablica} }Prawidłowy.}

i warunki początkowe

{displayStyle u_ {0} lewy (t^{0}, xright) = phi _ {0} lewy (t^{0}, xright), u_ {1} lewy (t^{0}, xright) = {frac {częściowe phi _ {0}} {częściowe x}}, u_ {2} lewy (t^{0}, xright) = phi _ {1} lewy (t^{0}, xright)}

${displaystyle u_{0}left(t^{0},xright)=phi _{0}left(t^{0},xright),u_{1}left(t^{0},xright)={frac {partial phi _{0}}{partial x}},u_{2}left(t^{0},xright)=phi _{1}left(t^{0},xright)}$ .

Nadal możemy, jeśli chcemy, „uproś” te początkowe warunki, pozując

{DisplayStyle v_ {1} = u_ {0} -phi _ {0}, v_ {2} = u_ {1}-{frac {częściowe phi _ {0}} {częściowe x}}, v_ {3} = u_ {2} -phi _ {1}}

Aby zademonstrować ogólne twierdzenie Cauchy-Kowalewskiego, wystarczy zastosować następujący wynik ^{[[[ 5 ]}:

Lemme – Albo układ równań pochodnych

{DisplayStyle {frac {częściowe v_ {j}} {częściowe x^{p+1}}} = h_ {j} lewy (x^{1}, …, x^{p}, v_ {1}, …, v_ {r}, {frac {częściowe v_ {1}} {częściowe x^{1}}}, …, {frac {częściowe v_ {r}} {częściowe x^{p}}}}}}}}}}}} po prawej) quad lewy (1LEQ jleq rright)}

i warunki początkowe

{DisplayStyle v_ {j} po lewej (x^{1}, …, x^{p}, 0right) = 0.}

Załóżmy, że funkcje

{DisplayStyle H_ {j}}

${displaystyle H_{j}}$ Analityka w sąsiedztwie W 0 w

{DisplayStyle Mathbb {r} ^{p+1+rp}}

${displaystyle mathbb {R} ^{p+1+rp}}$ . Jest wtedy okolica

{DisplayStyle v_ {0}}

$V_{0}$ 0 w

{DisplayStyle Mathbb {r} ^{p+1}}

${displaystyle mathbb {R} ^{p+1}}$ na przykład dla każdej powiązanej dzielnicy

{DisplayStyle vSubSet v_ {0}}

${displaystyle Vsubset V_{0}}$ z 0, jest rozwiązanie i tylko jedno

{DisplayStyle lewy (v_ {1}, …, v_ {r} right)}

${displaystyle left(v_{1},...,v_{r}right)}$ Wykonane z funkcji analitycznych

{DisplayStyle v_ {j}: lewy (x^{1}, …, x^{p}, x^{p+1} right) mapsto v_ {j} po lewej (x^{1}, … , x^{p}, x^{p+1} right)}

W W i takie jak

{DisplayStyle v_ {j} po lewej (x^{1}, …, x^{p}, 0right) = 0quad lewy (1LEQ jleq rright)}

${displaystyle v_{j}left(x^{1},...,x^{p},0right)=0quad left(1leq jleq rright)}$ W

{DisplayStyle VCAP Mathbb {r} ^{p}}

${displaystyle Vcap mathbb {R} ^{p}}$ .

Idea demonstracji jest opracowanie funkcji

{DisplayStyle H_ {j}}

${displaystyle H_{j}}$ w pełnej serii w pobliżu pochodzenia i poszukiwanie funkcji

{DisplayStyle v_ {i}}

$v_{i}$ w formie rozwoju serii („Metoda główna”). Warunki twierdzenia zapewniają ich zbieżność.

Uwagi [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

(1) Hans Lewy podał przykład, gdzie funkcje

{DisplayStyle H_ {j}}

${displaystyle H_{j}}$ powyżej bycia wszystkim

{DisplayStyle C^{infty}}

$C^{infty }$ i afekty liniowe w porównaniu do

{DisplayStyle {frac {parial v_ {i}} {częściowe x^{k}}}}

${displaystyle {frac {partial v_{i}}{partial x^{k}}}}$ , układ częściowych równań pochodnych nie przyznaje żadnego rozwiązania klasowego

{DisplayStyle C^{1}}

$C^{1}$ w sąsiedztwie pochodzenia w

{DisplayStyle Mathbb {r} ^{p+1}}

${displaystyle mathbb {R} ^{p+1}}$ ^{[[[ 6 ]}. Hipoteza analizy jest zatem niezbędna.

(2) Rozważ powyższe równanie ciepła z

{DisplayStyle kappa = 1, f = 0}

${displaystyle kappa =1,f=0}$ i stan początkowy

{DisplayStyle uleft (0, xright) = {frac {1} {1-x}}}

Sophie Kowalevski pokazała ^{[[[ 7 ]}że istnieje jedno formalne rozwiązanie W przyjęcie formalnego rozwoju władzy X , ale ten rozwój rozbiega się dla wszystkiego

{DisplayStyle xneq 0}

$x neq 0$ . Zauważając to zjawisko, doprowadzono ją do tego stanu

{DisplayStyle Kleq n_ {i}}

${displaystyle kleq n_{i}}$ .

Notatki [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

↑ Dieudonné 1971, Sect. XVIII.12, s. 5.
↑ Petrovsky 1991
↑ Trues 1975, w pobliżu. 7.3, ćwiczenie. 7.8.
↑ Treves 1975, rozdz. 18.
↑ Dieudonné 1971, Sect. XVIII.12, (18.12.1).
↑ Dieudonné 1971, Sect. XVIII.11, PB. P. 60.
↑ Kowalevski 1875, p. 22.

Bibliografia [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Drelich Dieudonné W Elementy analizy, t. 4 , Gauthier-Villars, 1971
(W) Zofia Kowalevski W ‘ O teorii równania różniczkowego cząstkowego » W Journal for Pure and Applied Mathematics W tom. 80, 1875 W P. 1–32 ( Czytaj online )
(W) Ivan Georgievich Petrovsky W Wykłady na temat równań różniczkowych , Nowy Jork, Dover, 1991 , 245 P. (ISBN 0-486-66902-5 W Czytaj online )
(W) Francis Treves W Podstawowe liniowe równania różniczkowe częściowe , San Diego/New York/Berkeley itp., Academic Press, 1975 , 470 P. (ISBN 0-12-699440-4 W Czytaj online )
(W) Robert M. Las W Ogólna teoria względności W University of Chicago Press W 1984 , 498 P. (ISBN 0226870332 ) , Strony 246 i 247.

Link zewnętrzny [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

after-content-x4

Teoria Cauchy-Kowalevskiego-Wikipedia

Przypadek zastosowania twierdzenia [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Przypadek, w którym twierdzenie nie ma zastosowania [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Przypadek częściowych równań pochodnych pierwszego rzędu [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Uwagi [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Notatki [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Bibliografia [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Link zewnętrzny [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Recent Posts

Recent Comments

Archives

Categories

Meta