[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/teoria-cauchy-kowalevskiego-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/teoria-cauchy-kowalevskiego-wikipedia\/","headline":"Teoria Cauchy-Kowalevskiego-Wikipedia","name":"Teoria Cauchy-Kowalevskiego-Wikipedia","description":"before-content-x4 . Twierdzenie Cauchy-Kowalevski jest twierdzeniem analizy z kilkoma zmiennymi zastanawiaj\u0105cymi si\u0119, \u017ce dobrze wyposa\u017cone r\u00f3wnanie pochodne cz\u0119\u015bciowe przyznaje unikalne","datePublished":"2023-05-16","dateModified":"2023-05-16","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/bd24bae0d7570018e828e19851902c09c618af91","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/bd24bae0d7570018e828e19851902c09c618af91","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/teoria-cauchy-kowalevskiego-wikipedia\/","wordCount":10152,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4. Twierdzenie Cauchy-Kowalevski jest twierdzeniem analizy z kilkoma zmiennymi zastanawiaj\u0105cymi si\u0119, \u017ce dobrze wyposa\u017cone r\u00f3wnanie pochodne cz\u0119\u015bciowe przyznaje unikalne rozwi\u0105zanie dla pe\u0142nego zestawu warunk\u00f3w pocz\u0105tkowych. Twierdzenie to wynika z francuskiego matematyka Augustina Cauchy’ego dla konkretnego przypadku, a tak\u017ce rosyjskiej matematyka Sofia Kovalevska\u00efa (kt\u00f3ry w publikacjach w czasopismach w j\u0119zyku niemieckim lub francuskim podpisa\u0142 podpisanie Sophie Kowalevski ) W przypadku og\u00f3lnego. Twierdzenie Cauchy-Kowalevskiego ma istotne r\u00f3\u017cnice w por\u00f3wnaniu z twierdzeniem Cauchy-Lipschitz dla zwyk\u0142ych r\u00f3wna\u0144 r\u00f3\u017cniczkowych: w tym ostatnim funkcj\u0119 drugiego cz\u0142onka ma klas\u0119 C Pierwszy {DisplayStyle C^{1}} (lub nawet lokalnie lipschitzienne), a roztw\u00f3r zale\u017cy stale od pocz\u0105tkowych warunk\u00f3w; W pierwszym funkcje drugiego elementu s\u0105 rzekomo analityczne i nie ma wyniku ci\u0105g\u0142ej zale\u017cno\u015bci od warunk\u00f3w pocz\u0105tkowych [[[ Pierwszy ] . W fizyce r\u00f3wnanie Klein-Gordon r\u00f3wnanie fali i r\u00f3wnanie Laplace’a s\u0105 przyk\u0142adami, w kt\u00f3rych dotyczy to twierdzenie Cauchy-Kowalevskiego. To nie jest tak samo z r\u00f3wnaniem cieplnym lub r\u00f3wnaniem Schr\u00f6dingera.   W og\u00f3lnym przypadku mamy nast\u0119puj\u0105cy wynik [[[ 2 ] : Twierdzenie – Albo uk\u0142ad r\u00f3wna\u0144 pochodnych  \u2202niui\u2202tni= F i( t,x1,...,xn,u1,...,uN,...,\u2202kuj\u2202tk0\u2202x1k1...\u2202xnkn,...) {displayStyle {frac {cz\u0119\u015bciowe ^{n_ {i}} u_ {i}} {parial t ^{n_ {i}}}} = f_ {i} left (t, x_ {1}, …, x_ { n}, u_ {1}, …, u_ {n}, …, {frac {cz\u0119\u015bciowe^{k} u_ {j}} {parial t^{k_ {0}} cz\u0119\u015bciowy x_ {1}^ {k_ {1}} … cz\u0119\u015bciowo x_ {n}^{k_ {n}}}}, … right)}  ( i,j=1,2,...,N;k0+k1+...+kn=k\u2264ni;k0tk= \u03d5 i,k( x1,...,xn) ( k=0,1,...,ni\u22121;t=t0) {displayStyle {frac {cz\u0119\u015bciowe ^{k} u_ {i}} {cz\u0119\u015bciowe t ^{k}}} = phi _ {i, k} lewy (x_ {1}, …, x_ {n} right) quad) quad) po lewej (k = 0,1, …, n_ {i} -1; quad t = t^{0} right)}  i uwaga  (\u2202k\u2212k0\u03d5i,k0\u2202x1k1...\u2202xnkn)xi=xi0= \u03d5 i,k0,k1,...,kn0( i=1,2,...N;k0+k1+...+kn=k\u2264ni) . {DisplayStyle po lewej ({frac {parial^{k-k_ {0}} phi _ {i, k_ {0}}} {cz\u0119\u015bciowe x_ {1}^{k_ {1}} … cz\u0119\u015bciowo x_ {n}^^ {k_ {n}}}} right) _ {x_ {i} = x_ {i}^{0}} = phi _ {i, k_ {0}, k_ {1}, …, k_ {n} }^{0} quad lewy (i = 1,2, … n; quad k_ {0}+k_ {1}+…+k_ {n} = kleq n_ {i} racja).}  Za\u0142\u00f3\u017cmy, \u017ce funkcje F i{DisplayStyle f_ {i}} I \u03d5 i,k{DisplayStyle phi _ {i, k}} analityka w s\u0105siedztwie punktu ( t0,x10,x20,...,\u03d5j,k0,k1,...,kn0,...) {DisplayStyle po lewej (t^{0}, x_ {1}^{0}, x_ {2}^{0}, …, phi _ {j, k_ {0}, k_ {1}, … , k_ {n}}^{0}, … right)} . Z punktu ( t0,x10,...,xn0) {displayStyle lewy (t^{0}, x_ {1}^{0}, …, x_ {n}^{0} right)} w kt\u00f3rym rozwa\u017cany system cz\u0119\u015bciowych r\u00f3wna\u0144 pochodnych przyjmuje jedno rozwi\u0105zanie weryfikuj\u0105ce warunki pocz\u0105tkowe. Table of ContentsPrzypadek zastosowania twierdzenia [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Przypadek, w kt\u00f3rym twierdzenie nie ma zastosowania [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Przypadek cz\u0119\u015bciowych r\u00f3wna\u0144 pochodnych pierwszego rz\u0119du [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Uwagi [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Notatki [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Bibliografia [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Link zewn\u0119trzny [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Przypadek zastosowania twierdzenia [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Twierdzenie to dotyczy r\u00f3wnania Kleina-Gordona (lub r\u00f3wnania fal, kt\u00f3re jest konkretnym przypadkiem, i r\u00f3wnanie Laplace’a, kt\u00f3re ma t\u0119 sam\u0105 form\u0119 z najbli\u017cszym znakiem) 1c2\u22022u\u2202t2=\u22022u\u2202x2+bu{displayStyle {frac {1} {c^{2}}} {frac {parial^{2} u} {parial t^{2}}} = {frac {parial^{2} u} {parial x^{{ 2}}}+bu}        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4z pocz\u0105tkowymi warunkami u(t0,x)=\u03d50(t0,x),\u2202u\u2202t(t0,x)=\u03d51(t0,x).{displayStyle uleft (t^{0}, xright) = phi _ {0} lewy (t^{0}, xright), quad {frac {cz\u0119\u015bciowe u} {cz\u0119\u015bciowe t}}} lewy (t^{0}, xright, xright ) = phi _ {1} po lewej (t^{0}, xright).} Twierdzenie Cauchy-Kowalevski nie okre\u015bla, czy r\u00f3wnanie typu Klein-Gordon zachowuje si\u0119 przyczynowo. Na przyk\u0142ad, je\u015bli pole W wynosi zero w odst\u0119pie wewn\u0119trznego bez opieki        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4[[[ – X Pierwszy W X Pierwszy ] {DisplayStyle [-x^{1}, x^{1}]} w\u0142a\u015bnie T 0 {DisplayStyle t^{0}} , oczekujemy, \u017ce pole pozostanie zerowe w 0 do czasu T 0 + X Pierwszy \/ C {DisplayStyle t^{0}+x^{1}\/c} , co nie okre\u015bla twierdzenia Cauchy-Kowalevskiego (cho\u0107 tylko dlatego, \u017ce taki stan pocz\u0105tkowy by\u0142by nieanalityczny i nie mo\u017cna go leczy\u0107 przez to twierdzenie). Dlatego inn\u0105 metod\u0105 ustalono ten wynik [[[ 3 ] Przypadek, w kt\u00f3rym twierdzenie nie ma zastosowania [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Twierdzenie nie dotyczy r\u00f3wnania cieplnego        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4\u2202u\u2202t= K \u22022u\u2202x2+ F ( t,x) {displayStyle {frac {cz\u0119\u015bciowe u} {cz\u0119\u015bciowe t}} = kappa {frac {cz\u0119\u015bciowe ^{2} u} {cz\u0119\u015bciowe x ^{2}}}+fleft (t, xright)} Nie wi\u0119cej ni\u017c w r\u00f3wnaniu Schr\u00f6dingera, kt\u00f3re ma tak\u0105 sam\u0105 form\u0119, jak mno\u017cenie w pobli\u017cu – Pierwszy {DisplayStyle {sqrt {-1}}} . Przyk\u0142ad Lewy’ego pokazuje, \u017ce twierdzenie nie dotyczy funkcji, kt\u00f3re nie s\u0105 analityczne. Przypadek cz\u0119\u015bciowych r\u00f3wna\u0144 pochodnych pierwszego rz\u0119du [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Spos\u00f3b na zademonstrowanie twierdzenia Cauchy-Kowalevskiego jest zmniejszenie uk\u0142adu cz\u0119\u015bciowych r\u00f3wna\u0144 pochodnych pierwszego rz\u0119du [[[ 4 ] . Poka\u017cmy, jak post\u0119powa\u0107 w przypadku r\u00f3wnania Klein-Gordon: Zapytajmy W 0 = W W W Pierwszy = \u2202u\u2202xW W 2 = \u2202u\u2202t{DisplayStyle u_ {0} = u, u_ {1} = {frac {cz\u0119\u015bciowe u} {parial x}}, u_ {2} = {frac {parial u} {parial t}}}}}}}}} . Nast\u0119pnie uzyskujemy uk\u0142ad cz\u0119\u015bciowych r\u00f3wna\u0144 pochodnych {\u2202u0\u2202t=u2\u2202u1\u2202t=\u2202u2\u2202x\u2202u2\u2202t=\u2202u1\u2202x+bu0{displayStyle lewy {{start {array} {c} {frac {cz\u0119\u015bciowe u_ {0}} {parial t}} = u_ {2} \\ {frac {cz\u0119\u015bciowe u_ {1}} {partia t}} = {frac { Partial U_ {2}} {Partial X}} \\ {frac {cz\u0119\u015bciowe u_ {2}} {parial t}} = {frac {parial u_ {1}} {cz\u0119\u015bciowe x}}+bu_ {0} end {tablica} }Prawid\u0142owy.} i warunki pocz\u0105tkowe W 0 ( t0W X ) = \u03d5 0 ( t0W X ) W W Pierwszy ( t0W X ) = \u2202\u03d50\u2202xW W 2 ( t0W X ) = \u03d5 Pierwszy ( t0W X ) {displayStyle u_ {0} lewy (t^{0}, xright) = phi _ {0} lewy (t^{0}, xright), u_ {1} lewy (t^{0}, xright) = {frac {cz\u0119\u015bciowe phi _ {0}} {cz\u0119\u015bciowe x}}, u_ {2} lewy (t^{0}, xright) = phi _ {1} lewy (t^{0}, xright)} . Nadal mo\u017cemy, je\u015bli chcemy, \u201eupro\u015b\u201d te pocz\u0105tkowe warunki, pozuj\u0105c v1=u0\u2212\u03d50,v2=u1\u2212\u2202\u03d50\u2202x,v3=u2\u2212\u03d51{DisplayStyle v_ {1} = u_ {0} -phi _ {0}, v_ {2} = u_ {1}-{frac {cz\u0119\u015bciowe phi _ {0}} {cz\u0119\u015bciowe x}}, v_ {3} = u_ {2} -phi _ {1}} . Aby zademonstrowa\u0107 og\u00f3lne twierdzenie Cauchy-Kowalewskiego, wystarczy zastosowa\u0107 nast\u0119puj\u0105cy wynik [[[ 5 ] : Lemme – Albo uk\u0142ad r\u00f3wna\u0144 pochodnych  \u2202vj\u2202xp+1= H j( x1,...,xp,v1,...,vr,\u2202v1\u2202x1,...,\u2202vr\u2202xp) ( 1\u2264j\u2264r) {DisplayStyle {frac {cz\u0119\u015bciowe v_ {j}} {cz\u0119\u015bciowe x^{p+1}}} = h_ {j} lewy (x^{1}, …, x^{p}, v_ {1}, …, v_ {r}, {frac {cz\u0119\u015bciowe v_ {1}} {cz\u0119\u015bciowe x^{1}}}, …, {frac {cz\u0119\u015bciowe v_ {r}} {cz\u0119\u015bciowe x^{p}}}}}}}}}}}} po prawej) quad lewy (1LEQ jleq rright)}  i warunki pocz\u0105tkowe  W j( x1,...,xp,0) = 0. {DisplayStyle v_ {j} po lewej (x^{1}, …, x^{p}, 0right) = 0.}  Za\u0142\u00f3\u017cmy, \u017ce funkcje H j{DisplayStyle H_ {j}} Analityka w s\u0105siedztwie W 0 w Rp+1+rp{DisplayStyle Mathbb {r} ^{p+1+rp}} . Jest wtedy okolica W 0{DisplayStyle v_ {0}} 0 w Rp+1{DisplayStyle Mathbb {r} ^{p+1}} na przyk\u0142ad dla ka\u017cdej powi\u0105zanej dzielnicy W \u2282 W 0{DisplayStyle vSubSet v_ {0}} z 0, jest rozwi\u0105zanie i tylko jedno ( v1,...,vr) {DisplayStyle lewy (v_ {1}, …, v_ {r} right)} Wykonane z funkcji analitycznych  W j: ( x1,...,xp,xp+1) \u21a6 W j( x1,...,xp,xp+1) {DisplayStyle v_ {j}: lewy (x^{1}, …, x^{p}, x^{p+1} right) mapsto v_ {j} po lewej (x^{1}, … , x^{p}, x^{p+1} right)}   W W i takie jak W j( x1,...,xp,0) = 0 ( 1\u2264j\u2264r) {DisplayStyle v_ {j} po lewej (x^{1}, …, x^{p}, 0right) = 0quad lewy (1LEQ jleq rright)} W W \u2229 Rp{DisplayStyle VCAP Mathbb {r} ^{p}} . Idea demonstracji jest opracowanie funkcji H J {DisplayStyle H_ {j}} w pe\u0142nej serii w pobli\u017cu pochodzenia i poszukiwanie funkcji W I {DisplayStyle v_ {i}} w formie rozwoju serii (\u201eMetoda g\u0142\u00f3wna\u201d). Warunki twierdzenia zapewniaj\u0105 ich zbie\u017cno\u015b\u0107. Uwagi [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] (1) Hans Lewy poda\u0142 przyk\u0142ad, gdzie funkcje H J {DisplayStyle H_ {j}} powy\u017cej bycia wszystkim C \u221e {DisplayStyle C^{infty}} i afekty liniowe w por\u00f3wnaniu do \u2202vi\u2202xk{DisplayStyle {frac {parial v_ {i}} {cz\u0119\u015bciowe x^{k}}}} , uk\u0142ad cz\u0119\u015bciowych r\u00f3wna\u0144 pochodnych nie przyznaje \u017cadnego rozwi\u0105zania klasowego C Pierwszy {DisplayStyle C^{1}} w s\u0105siedztwie pochodzenia w R P + Pierwszy {DisplayStyle Mathbb {r} ^{p+1}} [[[ 6 ] . Hipoteza analizy jest zatem niezb\u0119dna. (2) Rozwa\u017c powy\u017csze r\u00f3wnanie ciep\u0142a z K = Pierwszy W F = 0 {DisplayStyle kappa = 1, f = 0} i stan pocz\u0105tkowy u(0,x)=11\u2212x{DisplayStyle uleft (0, xright) = {frac {1} {1-x}}} . Sophie Kowalevski pokaza\u0142a [[[ 7 ] \u017ce istnieje jedno formalne rozwi\u0105zanie W przyj\u0119cie formalnego rozwoju w\u0142adzy X , ale ten rozw\u00f3j rozbiega si\u0119 dla wszystkiego X \u2260 0 {DisplayStyle xneq 0} . Zauwa\u017caj\u0105c to zjawisko, doprowadzono j\u0105 do tego stanu k \u2264 N I {DisplayStyle Kleq n_ {i}} . Notatki [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] \u2191 Dieudonn\u00e9 1971, Sect. XVIII.12, s. 5.  \u2191 Petrovsky 1991  \u2191 Trues 1975, w pobli\u017cu. 7.3, \u0107wiczenie. 7.8.  \u2191 Treves 1975, rozdz. 18.  \u2191 Dieudonn\u00e9 1971, Sect. XVIII.12, (18.12.1).  \u2191 Dieudonn\u00e9 1971, Sect. XVIII.11, PB. P. 60.  \u2191 Kowalevski 1875, p. 22.  Bibliografia [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Drelich Dieudonn\u00e9 W Elementy analizy, t. 4 , Gauthier-Villars, 1971 (W) Zofia Kowalevski W ‘ O teorii r\u00f3wnania r\u00f3\u017cniczkowego cz\u0105stkowego \u00bb W Journal for Pure and Applied Mathematics W tom. 80, 1875 W P. 1\u201332 ( Czytaj online ) (W) Ivan Georgievich Petrovsky W Wyk\u0142ady na temat r\u00f3wna\u0144 r\u00f3\u017cniczkowych , Nowy Jork, Dover, 1991 , 245 P.  (ISBN 0-486-66902-5 W Czytaj online ) (W) Francis Treves W Podstawowe liniowe r\u00f3wnania r\u00f3\u017cniczkowe cz\u0119\u015bciowe , San Diego\/New York\/Berkeley itp., Academic Press, 1975 , 470 P.  (ISBN 0-12-699440-4 W Czytaj online ) (W) Robert M. Las W Og\u00f3lna teoria wzgl\u0119dno\u015bci W University of Chicago Press W 1984 , 498 P.  (ISBN 0226870332 ) , Strony 246 i 247. Link zewn\u0119trzny [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/teoria-cauchy-kowalevskiego-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Teoria Cauchy-Kowalevskiego-Wikipedia"}}]}]