Teoria ergodyczna – Wikipedia

Posted on by
before-content-x4

Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus.

Przepływ zestawu statystycznego w potencjalnym x ** 6 + 4*x ** 3 – 5*x ** 2 – 4*x. Przez długie okresy staje się wirujące i wydaje się, że staje się gładkim i stabilnym rozkładem. Jednak ta stabilność jest artefaktem pikselizacji (faktyczna struktura jest zbyt dobra, aby można ją było dostrzec). Ta animacja jest inspirowana dyskusją Gibbsa w jego Wikisource z 1902 roku: podstawowe zasady w mechanice statystycznej, rozdział XII, s. 1. 143: „Tendencja zestawu izolowanych układów w kierunku stanu równowagi statystycznej”. Kwantową wersję tego można znaleźć w linii: Hamiltonian Flow Quantum.Webm

. Teoria ergodyczna jest gałęzią matematyki zrodzonej z badania hipotezy ergodycznej sformułowanej przez fizyka Ludwiga Boltzmanna w 1871 r. Za jego kinetyczną teorię gazów. Istnieje ergodowość, jeśli kilka różnych analiz statystycznych i rozdzielonych na tym samym podmiotu daje wystarczająco porównywalny wynik. Teoria doświadczyła wielu osiągnięć w bliskim związku z teorią systemów dynamicznych i teorii chaosu.

Dyskretna dynamika [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Celem studiów w teorii ergodowej jest tryplet

( ( X W B ) W M W ϕ ) {DisplayStyle ((x, b), mu, phi)}
after-content-x4

Lub :

L’Aplication

ϕ : X → X {DisplayStyle Phi: Xto X}

Wygeneruj dynamikę dyskretny : Zaczynając od punktu

X 0 ∈ X {DisplayStyle x_ {0} w x}

, uzyskujemy sukcesywnie

X Pierwszy = ϕ ( X 0 ) {DisplayStyle x_ {1} = phi (x_ {0})}

, Następnie

X 2 = ϕ ( X Pierwszy ) = ϕ 2 ( X 0 ) {DisplayStyle x_ {2} = phi (x_ {1}) = phi ^{2} (x_ {0})}

, I tak dalej.

Ciągła dynamika [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Możemy rozszerzyć badanie na przypadek dynamiki Kontynuować zastępując aplikację

after-content-x4
ϕ : X → X {DisplayStyle Phi: Xto X}

poprzedni przez a Ładny NA X , to znaczy ciągła grupa do parametru

ϕ T : X → X {DisplayStyle Phi _ {T}: Xto X}

Jak na przykład :

Ten przypadek jest szczególnie ważny, ponieważ obejmuje przepływ mechaniki klasycznej Hamiltonian, a także przepływ geodezyjny.

Jajo flotowe „wodospady”? [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Ciągły przypadek obejmuje dyskretną sprawę, ponieważ zawsze możemy zbudować dyskretną aplikację z ciągłego przepływu, umieszczając na przykład

ϕ = ϕ T = Pierwszy {DisplayStyle phi = phi _ {t = 1}}

dla jednostki czasu. Kontynuując analogię do słownictwa hydrodynamiki, dyskretna aplikacja jest czasem ochrzczona przez niektórych matematyków.

L’Aplication

Wynosi zero lub zerowy pomiar uzupełniający.

Ergodowość oddaje pojęcie nieredukowalności w teorii pomiaru: dla dowolnej partycji ergodycznego systemu dynamicznego w dwóch niezmiennych podsystemach, jeden z tych dwóch jest trywialny lub nieistotny, w tym sensie, że żyje na zestawie pomiaru zerowego.

Satysfakcjonująca aplikacja ta właściwość była wcześniej nazywana również „metrycznymi”.

Uproszczona trywialna definicja [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Istnieje ergodowość, jeśli kilka różnych analiz statystycznych i rozdzielonych na tym samym podmiotu daje wystarczająco porównywalny wynik. I odwrotnie, nie ma ergodistości, jeśli losowe efekty są bardziej wyrażone z jednej miary statystycznej do drugiej, nie pozwalając na odtwarzanie wartości w tej samej kolejności wielkości. Wielkość próbki, populacji lub obszar rozważany w obliczeniach może, jeśli jest zbyt zmniejszony, prowadzić do braku ergododowości.

Średnia czasowa i średnia mikrokanonowa [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Albo F Dobra funkcja X . Definiujemy jego wartość średni czas według limitu (jeśli istnieje):

Zależy to a priori od stanu początkowego

X 0 {DisplayStyle x_ {0}}

. Możemy również zdefiniować średnia przestrzenna z F lub średnia mikrokanoniczna, przez:

Średnia przestrzenna i średnia czasowa nie mają priorytecznego powodu, aby być równym.

Twierdzenie Birkhoff (1931) [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Kiedy aplikacja

ϕ {DisplayStyle Phi}

jest ergodyka, średnia średnia przestrzenna i czas równe prawie wszędzie . Ten wynik stanowi słynne twierdzenie Ergody Birkhoffa [[[ Pierwszy ] .

Średni pobyt [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Albo

A ⊂ X {DisplayStyle Asubset x}

Mierzalny podzbiór X . Nazywamy czas pobytu W A Całkowity czas spędzony przez system dynamiczny A Podczas jego ewolucji. Konsekwencją twierdzenia ergodowego jest to, że średni pobyt jest równe raporcie pomiaru A Przez pomiar X :

Lub

X A {DisplayStyle chi _ {a}}

jest funkcją wskaźnika A .

Nawroty [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Twierdzenie o nawrotach Poincaré [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

  • Nawrót punktu: albo
  • Twierdzenie o nawrotach Poincaré: albo

Średni czas nawrotu [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

  • Chwila k Jak na przykład

Konsekwencją twierdzenia ergodowego jest to średni czas trwania nawrotu A jest odwrotnie proporcjonalne do pomiaru A , zgodnie z hipotezą, że stan początkowy X należy do A , w taki sposób, że k 0 = 0.

Zatem im bardziej całość A jest „mały”, a im więcej musimy długo czekać, zanim tam wrócimy. Niestety, ten wynik nie mówi nam o standardowej różnicy w rozmieszczeniu czasów nawrotów. Na przykład w przypadku modelu URN Ehrenfest, KAC był w stanie wykazać [[[ 2 ] To, że to standardowe odchylenie zmierza w kierunku nieskończoności, gdy liczba piłek modelu zmierza w kierunku nieskończoności, tak że znaczące fluktuacje wokół średniego czasu nawrotu stają się coraz bardziej prawdopodobne.

System miksowania [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Mówi się, że system

( Oh W F W M W T ) {displayStyle (omega, {Mathcal {f}}, mu, t)}

miesza, jeśli zdarzenia (zestawy)

A {DisplayStyle A}

I

B {DisplayStyle B}

W

F {DisplayStyle {Mathcal {f}}}

, korelacja

M ( A ∩ T – N ( B ) ) – M ( A ) M ( B ) {DisplayStyle mu (acap t^{-n} (b))-mu (a) mu (b)}

ma tendencję do 0, kiedy

N {DisplayStyle n}

dąży do nieskończoności.

System hiperbolizmu i Anosov [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

System Bernoulli [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Hierarchia ergodyczna [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Przykład: ergodowy przepływ na różnorodności [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Ergodyczna i statystyczna teoria mechaniczna [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Pomimo znacznego postępu w teorii ergodowej od sformułowania Boltzmanna z hipotezy ergodycznej, jej zastosowanie do uzasadnienia zastosowania zestawu mikrokanonicznego w mechanice statystycznej pozostaje kontrowersyjne do dziś [[[ 7 ] .

Matematyk Sergiy Kolyada utrzymuje listę problemów otwartych w teorii ergodycznej [[[ 8 ] .

Aspekty historyczne [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

  • (W) M. Mathieu, «O pochodzeniu pojęcia„ teoria ergodic ”», Ekspozycje matematyki , tom. 6, 1988, P. 373
  • (W) Giovanni Gallavotti, Ergodowość, zespoły, nieodwracalność w Boltzmann i nie tylko , 1994, ‘ Chao-Dyn/9403004 Chao-Dyn/9403004 » , tekst z bezpłatnym dostępem, ON arxiv .

Oryginalne artykuły [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

  • (W) Eberhard Hopf, „teoria ergodowa i przepływ geodezyjny na powierzchni stałej ujemnej krzywizny», Byk. Amer. Matematyka. Soc. , tom. 77, N O 6, 1971, P. 863
  • (W) Eberhard Hopf, Geometria różnicowa w dużych – 1956 notatkach wykładowych , Wykłady notatki z matematyki 1000 , Springer-Verlag, 1983
  • (W) G. A. Margulis, «Zastosowanie teorii ergodycznej do badania różnorodnego ujemnego krzywizny», Analiza funkcjonalna i zastosowania , tom. 3, 1969, P. 355
  • (W) Y. pesin, «Charakterystyczne wykładniki Lyapounova i gładka teoria ergodyczna», Rosyjskie ankiety matematyczne , tom. 32, N O 4, 1982, P. 54
  • (W) Y. pesin, «Geodezyjne przepływy z hiperbolicznym zachowaniem trajektorii i obiektów związanych z nimi», Rosyjskie ankiety matematyczne , tom. 36, 1981, P. Pierwszy

Nowoczesne prace [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

  • Yves coudène, Teoria ergodów i systemy dynamiczne , EDP Sciences, 2013
  • (W) Vladimir I. Arnold i André mają, Ergodowe problemy z mechaniką klasyczną , Advanced Book Classics, Pearson Addison Wesley, (Sól 020194061 )
  • (W) g. Sinai, Wprowadzenie do teorii ergodycznej , Princeton University Press, 1976
  • (W) I.p. Cornfeld, S.V. Fomin et Y.G. Synaj, Teoria ergodyczna , Springer-Verlag, 1982 (ISBN 3-540-90580-4 )
  • (W) Karl Petersen, Teoria ergodyczna , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press, 1983 (ISBN 0-521-38997-6 )
  • (W) Yakov pesin et luis barreira, Wykładniki Lapunova i gładka teoria ergodczyka , Seria wykładów uniwersyteckich 23 , AMS, Providence, 2001 (ISBN 0-8218-2921-1-1 )
  • (W) Tim Bedford, Michael Keane i Caroline Series (red.), Teoria ergodów, dynamika symboliczna i przestrzenie hiperboliczne , Oxford University Press, 1991 (ISBN 0-19-853390-X )
  • (W) Jean Moulin Ollagnier, Teoria ergodów i mechanika statystyczna , Uwagi wykładowe z matematyki 1115 , Springer-Verlag, 1985
  • (W) Henk van Beijeren, O niektórych powszechnych nieporozumień dotyczących „hierarchii ergodowej” , 2004, ‘ Cond-Mat/0407730 Cond-Mat/0407730 » , tekst z bezpłatnym dostępem, ON arxiv .

Inni [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

  • (W) Joe Lebowitz It Oliver Penrose, «Modern Eglogic Theory», Fizyka dzisiaj , tom. 26, 1973, P. 155-175 W PDF
  • (W) David Ruelle, Ergodyczna teoria różnicowych systemów dynamicznych , Publ. Matematyka. IHE 50 , 1979, P. 27-58 , pełny tekst dostępny w formacie PDF
  • (W) Mark Pollicott, Wykłady na temat teorii ergodycznej, przepływów geodezyjnych i powiązanych tematów , Ulm, 2003, notatki kursu nie poprawiono W formacie PDF
  • (W) Charles Pugh et Michael Shub (załącznik Alexander Starkov), „stabilna ergodistość», Byk. Amer. Matematyka. Soc. , tom. 41, 2004, P. 1-41 , dostępny tekst online
  1. ↑ (W) George D. Birkhoff, ‘ Dowód twierdzenia ergodowego » W PNA W tom. 17, W P. 656-660 .
  2. ↑ (W) Mark Kac, Prawdopodobieństwo i powiązane tematy w fizyce , Ams, coll. «Wykłady z serii matematyki stosowanej» ( N O 1a), (ISBN 0-8218-0047-7 ) .
  3. ↑ (z) Eberhard Hopf, „Statystyka linii geodezyjnych w różnych ujemnych krzywiznach”, Dans Lipsk Ber. Negocjacja. Sas. Akad. Wiss. , tom. 91, 1939, s. 1 261-304.
  4. ↑ (W) Siergei V. Fomin Et Israel M. Gelfand, «Przepływy geodezyjne na kolektorach stałej ujemnej krzywizny», MAT Succeses. Doktryna , lot. 7, nr 1, 1952, P. 118-137 .
  5. ↑ (W) F. I. MAUTNER, «PRZEPŁYW GEODESYCZNE W SYMMITRICZNYCH SPACJACH RIEMANN», DANS Annals of Mathematics , tom. 65, 1957, s. 1 416-431
  6. ↑ (W) C. C. Moore, «ergodowość przepływów na jednorodnych przestrzeniach», Gorzki. J. Math. , tom. 88, 1966, P. 154-178
  7. ↑ Przeczytaj na przykład artykuły w fizyce teoretycznej:
    • (W) George W. Mackey, „teoria ergoodic i jej znaczenie dla mechaniki statystycznej i teorii prawdopodobieństwa», Postępy w matematyce , tom. 12, N O 2, 1974, P. 178-268 ;
    • (W) Oliver Penrose, «Podstawy mechaniki statystycznej», Zgłoś o postępy w fizyce , tom. 42, 1979, P. 1937-2006 ;
    • (W) Domokos Szasz, «Hipoteza Botzmanna, przypuszczenie przez wieki? », Studia Scientiarium Matematyczne Węgier (Budapest) , tom. 31, 1996, P. 299-322 , tekst w formacie Postscriptum ;

    a także eseje filozoficzne:

    • (W) Massimiliano Badino, Podstawowa rola teorii ergodycznej , 2005, tekst w formacie Słowo ;
    • (W) Jeśli Uffink, Kompendium podstaw klasycznej fizyki statystycznej , 2006, tekst w formacie PDF .

  8. ↑ (W) Otwarte problemy w systemach dynamicznych i teorii ergodowej Witryna de Sergiy Kolyada.

after-content-x4