[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/teoria-ergodyczna-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/teoria-ergodyczna-wikipedia\/","headline":"Teoria ergodyczna – Wikipedia","name":"Teoria ergodyczna – Wikipedia","description":"before-content-x4 Przep\u0142yw zestawu statystycznego w potencjalnym x ** 6 + 4*x ** 3 – 5*x ** 2 – 4*x. Przez","datePublished":"2021-02-13","dateModified":"2021-02-13","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/3\/38\/Info_Simple.svg\/12px-Info_Simple.svg.png","url":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/3\/38\/Info_Simple.svg\/12px-Info_Simple.svg.png","height":"12","width":"12"},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/teoria-ergodyczna-wikipedia\/","wordCount":8975,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4 Przep\u0142yw zestawu statystycznego w potencjalnym x ** 6 + 4*x ** 3 – 5*x ** 2 – 4*x. Przez d\u0142ugie okresy staje si\u0119 wiruj\u0105ce i wydaje si\u0119, \u017ce staje si\u0119 g\u0142adkim i stabilnym rozk\u0142adem. Jednak ta stabilno\u015b\u0107 jest artefaktem pikselizacji (faktyczna struktura jest zbyt dobra, aby mo\u017cna j\u0105 by\u0142o dostrzec). Ta animacja jest inspirowana dyskusj\u0105 Gibbsa w jego Wikisource z 1902 roku: podstawowe zasady w mechanice statystycznej, rozdzia\u0142 XII, s. 1. 143: \u201eTendencja zestawu izolowanych uk\u0142ad\u00f3w w kierunku stanu r\u00f3wnowagi statystycznej\u201d. Kwantow\u0105 wersj\u0119 tego mo\u017cna znale\u017a\u0107 w linii: Hamiltonian Flow Quantum.Webm . Teoria ergodyczna jest ga\u0142\u0119zi\u0105 matematyki zrodzonej z badania hipotezy ergodycznej sformu\u0142owanej przez fizyka Ludwiga Boltzmanna w 1871 r. Za jego kinetyczn\u0105 teori\u0119 gaz\u00f3w. Istnieje ergodowo\u015b\u0107, je\u015bli kilka r\u00f3\u017cnych analiz statystycznych i rozdzielonych na tym samym podmiotu daje wystarczaj\u0105co por\u00f3wnywalny wynik. Teoria do\u015bwiadczy\u0142a wielu osi\u0105gni\u0119\u0107 w bliskim zwi\u0105zku z teori\u0105 system\u00f3w dynamicznych i teorii chaosu.   Table of ContentsDyskretna dynamika [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Ci\u0105g\u0142a dynamika [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Jajo flotowe \u201ewodospady\u201d? [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Uproszczona trywialna definicja [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] \u015arednia czasowa i \u015brednia mikrokanonowa [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Twierdzenie Birkhoff (1931) [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] \u015aredni pobyt [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Nawroty [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Twierdzenie o nawrotach Poincar\u00e9 [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] \u015aredni czas nawrotu [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] System miksowania [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] System hiperbolizmu i Anosov [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] System Bernoulli [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Hierarchia ergodyczna [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Przyk\u0142ad: ergodowy przep\u0142yw na r\u00f3\u017cnorodno\u015bci [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Ergodyczna i statystyczna teoria mechaniczna [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Aspekty historyczne [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Oryginalne artyku\u0142y [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Nowoczesne prace [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Inni [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Dyskretna dynamika [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Celem studi\u00f3w w teorii ergodowej jest tryplet ( ( X W B ) W M W \u03d5 ) {DisplayStyle ((x, b), mu, phi)}        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Lub : \u2200A\u2208B,\u00a0\u03bc(\u03d5\u22121(A))\u00a0=\u00a0\u03bc(A){DisplayStyle Forall Ain B, Mu lewy (phi ^{-1} (a) right) = mu (a)} . L’Aplication \u03d5 : X \u2192 X {DisplayStyle Phi: Xto X} Wygeneruj dynamik\u0119 dyskretny : Zaczynaj\u0105c od punktu        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4X 0 \u2208 X {DisplayStyle x_ {0} w x} , uzyskujemy sukcesywnie X Pierwszy = \u03d5 ( X 0 ) {DisplayStyle x_ {1} = phi (x_ {0})} , Nast\u0119pnie X 2 = \u03d5 ( X Pierwszy ) = \u03d5 2 ( X 0 ) {DisplayStyle x_ {2} = phi (x_ {1}) = phi ^{2} (x_ {0})} , I tak dalej. Ci\u0105g\u0142a dynamika [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Mo\u017cemy rozszerzy\u0107 badanie na przypadek dynamiki Kontynuowa\u0107 zast\u0119puj\u0105c aplikacj\u0119        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4\u03d5 : X \u2192 X {DisplayStyle Phi: Xto X} poprzedni przez a \u0141adny NA X , to znaczy ci\u0105g\u0142a grupa do parametru \u03d5 T : X \u2192 X {DisplayStyle Phi _ {T}: Xto X} Jak na przyk\u0142ad : \u03d50\u00a0=\u00a0Id{DisplayStyle Phi _ {0} = Mathrm {id}}} ; \u2200\u00a0(t,s)\u2208R2\u03d5t\u00a0\u2218\u03d5s\u00a0=\u00a0\u03d5t+s{DisplayStyle forall (t, s), in, Mathbb {r} ^{2}, quad phi _ {t} circ phi _ {s} = phi _ {t+s}} . Ten przypadek jest szczeg\u00f3lnie wa\u017cny, poniewa\u017c obejmuje przep\u0142yw mechaniki klasycznej Hamiltonian, a tak\u017ce przep\u0142yw geodezyjny. Jajo flotowe \u201ewodospady\u201d? [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Ci\u0105g\u0142y przypadek obejmuje dyskretn\u0105 spraw\u0119, poniewa\u017c zawsze mo\u017cemy zbudowa\u0107 dyskretn\u0105 aplikacj\u0119 z ci\u0105g\u0142ego przep\u0142ywu, umieszczaj\u0105c na przyk\u0142ad \u03d5 = \u03d5 T = Pierwszy {DisplayStyle phi = phi _ {t = 1}} dla jednostki czasu. Kontynuuj\u0105c analogi\u0119 do s\u0142ownictwa hydrodynamiki, dyskretna aplikacja jest czasem ochrzczona przez niekt\u00f3rych matematyk\u00f3w.   L’Aplication \u03c6:X\u2192X{displaystyle varphi :Xrightarrow X}jest powiedziane Ergodyc dla danej miary, je\u015bli i tylko je\u015bli jakikolwiek wymierny zestaw niezmiennych \u03c6{displaystyle varphi }Wynosi zero lub zerowy pomiar uzupe\u0142niaj\u0105cy.   Ergodowo\u015b\u0107 oddaje poj\u0119cie nieredukowalno\u015bci w teorii pomiaru: dla dowolnej partycji ergodycznego systemu dynamicznego w dw\u00f3ch niezmiennych podsystemach, jeden z tych dw\u00f3ch jest trywialny lub nieistotny, w tym sensie, \u017ce \u017cyje na zestawie pomiaru zerowego. Satysfakcjonuj\u0105ca aplikacja ta w\u0142a\u015bciwo\u015b\u0107 by\u0142a wcze\u015bniej nazywana r\u00f3wnie\u017c \u201emetrycznymi\u201d. Uproszczona trywialna definicja [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Istnieje ergodowo\u015b\u0107, je\u015bli kilka r\u00f3\u017cnych analiz statystycznych i rozdzielonych na tym samym podmiotu daje wystarczaj\u0105co por\u00f3wnywalny wynik. I odwrotnie, nie ma ergodisto\u015bci, je\u015bli losowe efekty s\u0105 bardziej wyra\u017cone z jednej miary statystycznej do drugiej, nie pozwalaj\u0105c na odtwarzanie warto\u015bci w tej samej kolejno\u015bci wielko\u015bci. Wielko\u015b\u0107 pr\u00f3bki, populacji lub obszar rozwa\u017cany w obliczeniach mo\u017ce, je\u015bli jest zbyt zmniejszony, prowadzi\u0107 do braku ergododowo\u015bci. \u015arednia czasowa i \u015brednia mikrokanonowa [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Albo F Dobra funkcja X . Definiujemy jego warto\u015b\u0107 \u015bredni czas wed\u0142ug limitu (je\u015bli istnieje): f(x0)\u00af\u00a0=\u00a0limn\u2192+\u221e\u00a01n\u00a0\u2211k=0n\u22121\u00a0f(\u03d5k(x0)){DisplayStyle {Overline {f (x_ {0})}} = lim _ {nrightarrow +infty} {frac {1} {n}} sum _ {k = 0} ^{n-1} fleft (phi ^{k } (x_ {0}) right)} . Zale\u017cy to a priori od stanu pocz\u0105tkowego X 0 {DisplayStyle x_ {0}} . Mo\u017cemy r\u00f3wnie\u017c zdefiniowa\u0107 \u015brednia przestrzenna z F lub \u015brednia mikrokanoniczna, przez: \u27e8\u00a0f\u00a0\u27e9\u00a0=\u00a01\u03bc(X)\u00a0\u222bXfd\u03bc{DisplayStyle Langle f rangle = {frac {1} {mu (x)}} int _ {x} f, dmu} . \u015arednia przestrzenna i \u015brednia czasowa nie maj\u0105 priorytecznego powodu, aby by\u0107 r\u00f3wnym. Twierdzenie Birkhoff (1931) [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Kiedy aplikacja \u03d5 {DisplayStyle Phi} jest ergodyka, \u015brednia \u015brednia przestrzenna i czas r\u00f3wne prawie wsz\u0119dzie . Ten wynik stanowi s\u0142ynne twierdzenie Ergody Birkhoffa [[[ Pierwszy ] . \u015aredni pobyt [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Albo A \u2282 X {DisplayStyle Asubset x} Mierzalny podzbi\u00f3r X . Nazywamy czas pobytu W A Ca\u0142kowity czas sp\u0119dzony przez system dynamiczny A Podczas jego ewolucji. Konsekwencj\u0105 twierdzenia ergodowego jest to, \u017ce \u015bredni pobyt jest r\u00f3wne raporcie pomiaru A Przez pomiar X : limn\u2192\u221e\u00a01n\u00a0\u2211k=0n\u22121\u00a0\u03c7A(\u03d5k(x))\u00a0=\u00a01\u03bc(X)\u222bX\u03c7Ad\u03bc\u00a0=\u00a0\u03bc(A)\u03bc(X){DisplayStyle lim _ {nrightarrow infty} {frac {1} {n}} sum _ {k = 0} ^{n-1} chi _ {a} lewy (phi ^{k} (x) right) = {frac {1} {mu (x)}} int _ {x} chi _ {a}, dmu = {frac {mu (a)} {mu (x)}}} . Lub X A {DisplayStyle chi _ {a}} jest funkcj\u0105 wska\u017anika A . Nawroty [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Twierdzenie o nawrotach Poincar\u00e9 [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Nawr\u00f3t punktu: albo A \u2282 X {DisplayStyle Asubset x} Warunkowy podzbi\u00f3r. Punkt X \u2208 A {DisplayStyle prosz\u0119 o} jest powiedziane nawracaj\u0105cy w por\u00f3wnaniu do A Je\u015bli i tylko wtedy, gdy istnieje niesko\u0144czono\u015b\u0107 liczb ca\u0142kowitych k \u2265 Pierwszy {DisplayStyle Kgeq 1} dla kt\u00f3rego : \u03d5k(x)\u00a0\u2208\u00a0A{DisplayStyle phi ^{k} (x) w a}  Twierdzenie o nawrotach Poincar\u00e9: albo A \u2282 X {DisplayStyle Asubset x} Warunkowy podzbi\u00f3r. Wi\u0119c prawie wszystkie punkty X 0\u2208 A {DisplayStyle x_ {0} w a} s\u0105 nawracaj\u0105ce w stosunku do A . \u015aredni czas nawrotu [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Chwila k Jak na przyk\u0142ad \u03d5 k( X ) {DisplayStyle phi ^{k} (x)} jest w mierzalnej ca\u0142o\u015bci A jest nazywany natychmiastowe zdarzenie z A . Te momenty wyst\u0119powania mo\u017cna sklasyfikowa\u0107 w kolejno\u015bci rosn\u0105cej w zestawie policzalnym: { k 0W k 1W … W k iW … } {DisplayStyle {k_ {0}, k_ {1}, dots, k_ {i}, kropki}} z k_{i}”>. R\u00f3\u017cnice pozytywne R i= k i– k i\u22121{DisplayStyle r_ {i} = k_ {i} -k_ {i-1}} Mi\u0119dzy dwoma momentami zdarzenia kolejny s\u0105 nazywane Czas trwania nawrot\u00f3w z A . Konsekwencj\u0105 twierdzenia ergodowego jest to \u015bredni czas trwania nawrotu A jest odwrotnie proporcjonalne do pomiaru A  , zgodnie z hipotez\u0105, \u017ce stan pocz\u0105tkowy X nale\u017cy do A , w taki spos\u00f3b, \u017ce k 0 = 0. limn\u2192+\u221e\u00a01n\u00a0\u2211i=1nri\u00a0=\u00a0\u03bc(X)\u03bc(A)(presque partout){DisplayStyle lim _ {nto +infty} {frac {1} {n}} sum _ {i = 1}^{n} r_ {i} = {frac {mu (x)}}}}} quad {mbox {mbox { (presque paraut)}}} . Zatem im bardziej ca\u0142o\u015b\u0107 A jest \u201ema\u0142y\u201d, a im wi\u0119cej musimy d\u0142ugo czeka\u0107, zanim tam wr\u00f3cimy. Niestety, ten wynik nie m\u00f3wi nam o standardowej r\u00f3\u017cnicy w rozmieszczeniu czas\u00f3w nawrot\u00f3w. Na przyk\u0142ad w przypadku modelu URN Ehrenfest, KAC by\u0142 w stanie wykaza\u0107 [[[ 2 ] To, \u017ce to standardowe odchylenie zmierza w kierunku niesko\u0144czono\u015bci, gdy liczba pi\u0142ek modelu zmierza w kierunku niesko\u0144czono\u015bci, tak \u017ce znacz\u0105ce fluktuacje wok\u00f3\u0142 \u015bredniego czasu nawrotu staj\u0105 si\u0119 coraz bardziej prawdopodobne. System miksowania [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] M\u00f3wi si\u0119, \u017ce system ( Oh W F W M W T ) {displayStyle (omega, {Mathcal {f}}, mu, t)} miesza, je\u015bli zdarzenia (zestawy) A {DisplayStyle A} I B {DisplayStyle B} W F {DisplayStyle {Mathcal {f}}} , korelacja M ( A \u2229 T – N ( B ) ) – M ( A ) M ( B ) {DisplayStyle mu (acap t^{-n} (b))-mu (a) mu (b)} ma tendencj\u0119 do 0, kiedy N {DisplayStyle n} d\u0105\u017cy do niesko\u0144czono\u015bci. System hiperbolizmu i Anosov [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] System Bernoulli [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Hierarchia ergodyczna [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Przyk\u0142ad: ergodowy przep\u0142yw na r\u00f3\u017cnorodno\u015bci [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Ergodyczna i statystyczna teoria mechaniczna [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Pomimo znacznego post\u0119pu w teorii ergodowej od sformu\u0142owania Boltzmanna z hipotezy ergodycznej, jej zastosowanie do uzasadnienia zastosowania zestawu mikrokanonicznego w mechanice statystycznej pozostaje kontrowersyjne do dzi\u015b [[[ 7 ] . Matematyk Sergiy Kolyada utrzymuje list\u0119 problem\u00f3w otwartych w teorii ergodycznej [[[ 8 ] . Aspekty historyczne [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] (W) M. Mathieu, \u00abO pochodzeniu poj\u0119cia\u201e teoria ergodic \u201d\u00bb, Ekspozycje matematyki , tom. 6, 1988, P. 373 (W) Giovanni Gallavotti, Ergodowo\u015b\u0107, zespo\u0142y, nieodwracalno\u015b\u0107 w Boltzmann i nie tylko , 1994, ‘ Chao-Dyn\/9403004 Chao-Dyn\/9403004 \u00bb , tekst z bezp\u0142atnym dost\u0119pem, ON arxiv . Oryginalne artyku\u0142y [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] (W) Eberhard Hopf, \u201eteoria ergodowa i przep\u0142yw geodezyjny na powierzchni sta\u0142ej ujemnej krzywizny\u00bb, Byk. Amer. Matematyka. Soc. , tom. 77, N O 6, 1971, P. 863 (W) Eberhard Hopf, Geometria r\u00f3\u017cnicowa w du\u017cych – 1956 notatkach wyk\u0142adowych , Wyk\u0142ady notatki z matematyki 1000 , Springer-Verlag, 1983 (W) G. A. Margulis, \u00abZastosowanie teorii ergodycznej do badania r\u00f3\u017cnorodnego ujemnego krzywizny\u00bb, Analiza funkcjonalna i zastosowania , tom. 3, 1969, P. 355 (W) Y. pesin, \u00abCharakterystyczne wyk\u0142adniki Lyapounova i g\u0142adka teoria ergodyczna\u00bb, Rosyjskie ankiety matematyczne , tom. 32, N O 4, 1982, P. 54 (W) Y. pesin, \u00abGeodezyjne przep\u0142ywy z hiperbolicznym zachowaniem trajektorii i obiekt\u00f3w zwi\u0105zanych z nimi\u00bb, Rosyjskie ankiety matematyczne , tom. 36, 1981, P. Pierwszy Nowoczesne prace [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Yves coud\u00e8ne, Teoria ergod\u00f3w i systemy dynamiczne , EDP Sciences, 2013 (W) Vladimir I. Arnold i Andr\u00e9 maj\u0105, Ergodowe problemy z mechanik\u0105 klasyczn\u0105 , Advanced Book Classics, Pearson Addison Wesley, Maj 1989 (S\u00f3l 020194061 ) (W) g. Sinai, Wprowadzenie do teorii ergodycznej , Princeton University Press, 1976 (W) I.p. Cornfeld, S.V. Fomin et Y.G. Synaj, Teoria ergodyczna , Springer-Verlag, 1982 (ISBN 3-540-90580-4 ) (W) Karl Petersen, Teoria ergodyczna , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press, 1983 (ISBN 0-521-38997-6 ) (W) Yakov pesin et luis barreira, Wyk\u0142adniki Lapunova i g\u0142adka teoria ergodczyka , Seria wyk\u0142ad\u00f3w uniwersyteckich 23 , AMS, Providence, 2001 (ISBN 0-8218-2921-1-1 ) (W) Tim Bedford, Michael Keane i Caroline Series (red.), Teoria ergod\u00f3w, dynamika symboliczna i przestrzenie hiperboliczne , Oxford University Press, 1991 (ISBN 0-19-853390-X ) (W) Jean Moulin Ollagnier, Teoria ergod\u00f3w i mechanika statystyczna , Uwagi wyk\u0142adowe z matematyki 1115 , Springer-Verlag, 1985 (W) Henk van Beijeren, O niekt\u00f3rych powszechnych nieporozumie\u0144 dotycz\u0105cych \u201ehierarchii ergodowej\u201d , 2004, ‘ Cond-Mat\/0407730 Cond-Mat\/0407730 \u00bb , tekst z bezp\u0142atnym dost\u0119pem, ON arxiv . Inni [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] (W) Joe Lebowitz It Oliver Penrose, \u00abModern Eglogic Theory\u00bb, Fizyka dzisiaj , tom. 26, 1973, P. 155-175 W PDF (W) David Ruelle, Ergodyczna teoria r\u00f3\u017cnicowych system\u00f3w dynamicznych , Publ. Matematyka. IHE 50 , 1979, P. 27-58 , pe\u0142ny tekst dost\u0119pny w formacie PDF (W) Mark Pollicott, Wyk\u0142ady na temat teorii ergodycznej, przep\u0142yw\u00f3w geodezyjnych i powi\u0105zanych temat\u00f3w , Ulm, 2003, notatki kursu nie poprawiono W formacie PDF (W) Charles Pugh et Michael Shub (za\u0142\u0105cznik Alexander Starkov), \u201estabilna ergodisto\u015b\u0107\u00bb, Byk. Amer. Matematyka. Soc. , tom. 41, 2004, P. 1-41 , dost\u0119pny tekst online \u2191 (W) George D. Birkhoff, ‘ Dow\u00f3d twierdzenia ergodowego \u00bb W PNA W tom. 17, 1931 W P. 656-660 .  \u2191 (W) Mark Kac, Prawdopodobie\u0144stwo i powi\u0105zane tematy w fizyce , Ams, coll. \u00abWyk\u0142ady z serii matematyki stosowanej\u00bb ( N O 1a), 1957 (ISBN 0-8218-0047-7 ) .  \u2191 (z) Eberhard Hopf, \u201eStatystyka linii geodezyjnych w r\u00f3\u017cnych ujemnych krzywiznach\u201d, Dans Lipsk Ber. Negocjacja. Sas. Akad. Wiss. , tom. 91, 1939, s. 1 261-304.  \u2191 (W) Siergei V. Fomin Et Israel M. Gelfand, \u00abPrzep\u0142ywy geodezyjne na kolektorach sta\u0142ej ujemnej krzywizny\u00bb, MAT Succeses. Doktryna , lot. 7, nr 1, 1952, P. 118-137 .  \u2191 (W) F. I. MAUTNER, \u00abPRZEP\u0141YW GEODESYCZNE W SYMMITRICZNYCH SPACJACH RIEMANN\u00bb, DANS Annals of Mathematics , tom. 65, 1957, s. 1 416-431  \u2191 (W) C. C. Moore, \u00abergodowo\u015b\u0107 przep\u0142yw\u00f3w na jednorodnych przestrzeniach\u00bb, Gorzki. J. Math. , tom. 88, 1966, P. 154-178  \u2191 Przeczytaj na przyk\u0142ad artyku\u0142y w fizyce teoretycznej:(W) George W. Mackey, \u201eteoria ergoodic i jej znaczenie dla mechaniki statystycznej i teorii prawdopodobie\u0144stwa\u00bb, Post\u0119py w matematyce , tom. 12, N O 2, 1974, P. 178-268 ; (W) Oliver Penrose, \u00abPodstawy mechaniki statystycznej\u00bb, Zg\u0142o\u015b o post\u0119py w fizyce , tom. 42, 1979, P. 1937-2006 ; (W) Domokos Szasz, \u00abHipoteza Botzmanna, przypuszczenie przez wieki? \u00bb, Studia Scientiarium Matematyczne W\u0119gier (Budapest) , tom. 31, 1996, P. 299-322 , tekst w formacie Postscriptum ; a tak\u017ce eseje filozoficzne: (W) Massimiliano Badino, Podstawowa rola teorii ergodycznej , 2005, tekst w formacie S\u0142owo ; (W) Je\u015bli Uffink, Kompendium podstaw klasycznej fizyki statystycznej , 2006, tekst w formacie PDF . \u2191 (W)  Otwarte problemy w systemach dynamicznych i teorii ergodowej Witryna de Sergiy Kolyada.        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/teoria-ergodyczna-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Teoria ergodyczna – Wikipedia"}}]}]