Teoria odpowiedzi liniowej – Wikipedia

W fizyce statystycznej poza równowagą, Teoria odpowiedzi liniowej Pozwala zdefiniować podatności i współczynniki transportu układu w pobliżu bilansu termicznego niezależnie od szczegółów modelu. Teoria reakcji liniowej została opracowana w latach 50. Melville Green, Herbert Callen i Ryōgo Kubo.

System Hamiltonian [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

W teorii reakcji liniowej zakłada się, że rozważany system jest opisany przez pewnego hamiltonianu równowagi

${DisplayStyle H_ {0}}$

, zaniepokojony niepokojącym Hamiltonianem zależnym od czasu

${DisplayStyle H_ {1} (t)}$

, że możemy wyjaśnić w formie:

${DisplayStyle H_ {1} (t) = sum _ {L} Lambda _ {l} (t) a_ {l}}$

gdzie

${DisplayStyle Lambda _ {i} (t)}$

są czynnikami destrukcyjnymi i operatorami pustelni

${DisplayStyle A_ {i}}$

są obserwowalnymi systemu, tak że całkowity system Hamiltonian w systemie wynosi:

after-content-x4

${DisplayStyle H = H_ {0}+H_ {1} (t) = H_ {0}+sum _ {L} Lambda _ {L} (T) A_ {L}}$

Okazuje się, że naturalnym formalizmem systemu w odpowiedzi liniowej jest przedstawienie interakcji.

Wyjaśnienie macierzy gęstości [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Na matrycę gęstości wpływa zakłócenia Hamiltoniana. Dla macierzy gęstości zapisano równanie Schrödingera:

${DisplayStyle Ihbar częściowy _ {t} rho (t) = [h (t), rho (t)]}$

To nie jest równanie Heisenberga i macierz gęstości

${DisplayStyle Rho (t)}$

nie jest operatorem pomiarowym (patrz znak przełącznika, który ma być przekonany). Jeśli ochrzczymy

${DisplayStyle Rho _ {0}}$

Macierz gęstości niekreobowego układu (to znaczy z układu do równowagi termicznej),

${DisplayStyle Rho (t)}$

matryca gęstości zaburzonego układu (to znaczy system nie jest równoważący),

${DisplayStyle Delta Rho (t)}$

Różnica macierzy gęstości zaburzonego układu obliczona w pierwszym rzędu zaburzeń, równanie macierzy gęstości jest zmniejszone do:

${DisplayStyle Ihbar Partial _ {t} delta rho (t) = [h_ {1} (t), rho _ {0}]+[H_ {0}, Delta Rho (t)]}$

Stąd rozwiązanie:

${DisplayStyle delta rho (t) = {1 over {ihbar}} int _ {-infty}^{t} e^{-i (t-tau) h_ {0}/hbar} [h_ {1} (tau) , rho _ {0}] e^{i (t-tau) h_ {0}/hbar} dtau}$

który umożliwia dostęp do

${DisplayStyle Rho (t)}$

.

Obliczanie obserwowalnych i funkcji odpowiedzi [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Obliczając at Pierwsze zamówienie Z teorii zakłóceń otrzymujemy matrycę gęstości

${DisplayStyle Rho (t)}$

systemu. Tę matrycę można wykorzystać do wyodrębnienia średnich termicznych i kwantowych z obserwowalnych:

${DisplayStyle Langle A_ {k} rangle (t) = tr (rho (t) a_ {k})}$

W ostateczności, wprowadzając funkcję opóźnionej odpowiedzi

${DisplayStyle chi _ {Kl} (t)}$

Obserwowalne systemy są podane przez:

${displaystyle langle A_{k}rangle (t)=int _{-infty }^{+infty }sum _{l}chi _{kl}(t-t’)lambda _{l}(t’)dt’}$

Gdzie identyfikujemy funkcję odpowiedzi

${DisplayStyle chi _ {Kl} (t)}$

o :

${displaystyle chi _{kl}(t-t’)={frac {i}{hbar }}theta (t-t’)langle [A_{k}(t),A_{l}(t’)]rangle }$

Lub

${DisplayStyle theta}$

jest funkcją niebo i tłumaczy tutaj zasadę związku przyczynowego),

${DisplayStyle A_ {k} (t) = exp (ih_ {0} t/hbar) a_ {k} exp (-ih_ {0} t/hbar)}$

są operatorami ewolucji w reprezentacji Heisenberga, a średnia jest pobierana z matrycą gęstości bilansu

${DisplayStyle rho _ {0} = e^{-beta h_ {0}}/tr (e^{-beta h_ {0}})}}$

. Fakt, że funkcja odpowiedzi zależy wyłącznie od różnicy czasowej między podnieceniem a pomiarem odpowiedzi, jest konsekwencją spożycia średniego na stanie równowagi, który jest niezmienny przez tłumaczenie w czasie.

Definicja funkcji odpowiedzi wynika z Ryogo Kubo (1957).

Jak funkcja odpowiedzi

${DisplayStyle chi _ {Kl} (t)}$

jest anulowany dla

${DisplayStyle t <0}$

(Ze względu na zasadę przyczynową) możemy zdefiniować jego transformację wyimaginowanego Laplace’a (wciąż nazwanego jednostronnego Fouriera), co jest równe w tym konkretnym przypadku jego pojedynczego transformacji Fouriera:

$MMS SLEPLE ALEHLE YO EM) Kí) MPIE MPIE MPIE HOM) MOME) Mötubép Mup) Mupe Mupe Hupe Hupm Hym Hupɔ H. () eeeeye poneys too też tife$

która jest zatem funkcją holomorficzną dla

${DisplayStyle Mathrm {im} (z)> 0}$

Pierwsze zastosowanie: rezystywność elektryczna [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Zainteresowanie teorii reakcji liniowej wynika z faktu, że wobec Hamiltoniana nie jest konieczna żadna hipoteza

${DisplayStyle H_ {0}}$

Aby zdefiniować funkcję odpowiedzi. Pozwala to na przykład zdefiniować przewodność, biorąc pod uwagę:

${DisplayStyle H_ {0}-{rzecz {j}} _ {0} cdot {a rzecz {a}} (t)}$

Lub

${DisplayStyle {rzecz {j}}}$

to prąd elektryczny i

${DisplayStyle {vec {a}}}$

jest potencjałem wektorowym. Teoria reakcji liniowej daje następnie związek:

${DisplayStyle {vec {j}} _ {0} (omega) = chi _ {jj} (omega) {vec {a}} (omega)}$

Biorąc pod uwagę równania Maxwella, równanie to umożliwia wykazanie, że przewodność jest:

${DisplayStyle sigma (omega) = {fratc {chi _ {jj} (omega)} {iomega}}+{franc {ne^{2}} {miomega}}}}}}}}}}}$

Drugi termin jest wkładem diamagnetycznym, który wynika z faktu, że prąd jest

${DisplayStyle {rzecz {j}} _ {0} -Ne^{2} {rzecz {a}}/m}$

w obecności potencjału wektorowego.

Obliczenie przewodności jest zatem redukowane do obliczenia funkcji odpowiedzi

${DisplayStyle chi _ {jj}}$

. Obliczenia te można przeprowadzić albo metodami cyfrowymi, takimi jak metoda kwantowa Monte-Carlo lub metoda Lanczos lub metodami analitycznymi, takimi jak podsumowanie diagramów Feynmana.

Inne zastosowanie: relaksacja magnetyczna [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

W ten sam sposób możemy zdefiniować z teorią odpowiedzi liniowej inne wielkości fizyczne, takie jak przenikalność lub podatność magnetyczna. Wrażliwość magnetyczna jest szczególnie przydatna w badaniu elektronicznego rezonansu paramagnetycznego.

W ramach teorii odpowiedzi liniowej możliwe jest również zbadanie procesów relaksacji poprzez obliczenie odpowiedzi na zaburzenie formy:

${DisplayStyle Lambda (t) = Lambda _ {0} exp (epsilon t) theta (-t)}$

i biorąc limit

${DisplayStyle epsilon do 0}$

.

Zatem teoria odpowiedzi liniowej umożliwia zdefiniowanie czasu relaksacji wynikającego z sprzężenia hiperfiny między spinami jądrowymi i spinami elektronicznymi bez hipotezy Pierwszy W modelu opisującym spiny elektroniczne.

Wreszcie, teoria odpowiedzi liniowej pozwala na to, że twierdzenie fluktuacyjne -w celu zdefiniowania funkcji odpowiedzi w kategoriach funkcji korelacji symetrycznej:

${DisplayStyle S_ {lk} (t-t ‘) = {frac {1} {2}} Langle a_ {l} (t) a_ {k} (t’)+a_ {k} (t ‘) a_ {L. } (t) rangle}$

W powyższym przyznano, że funkcję odpowiedzi można uzyskać poprzez obliczenie ewolucji systemu, którego Hamiltonian wyraźnie zależy od czasu teorii zakłóceń. W tym przypadku mówimy o zaburzeniach mechanicznych.

Jeśli jednak chcemy być w stanie zdefiniować ilości, takie jak przewodność cieplna lub stała dyfuzji masy, ramy te są zbyt restrykcyjne. Rzeczywiście, gradientu termicznego nie można postrzegać jako siły działającej na cząstki układu. Następnie mówimy o zakłóceniach nie -mechanicznych.

W przypadku transportu termicznego uogólnienie wzoru Kubo zaproponował Joaquin Luttinger w 1964 r. To uogólnienie opiera się na lokalnej hipotezie bilansu.

Relacje liniowe i relacje z wzajemności Onsagera [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Teoria odpowiedzi liniowej daje mikroskopowe uzasadnienie relacji wzajemności onsagera. W rzeczywistości uzyskujemy bardziej ogólną równość:

${Wyświetlaniellllle mathrm {im} chi \ {lk} (omga) = mathrm {im} chi \ kl} (OMGA)}$

W przypadku, gdy operatorzy

${DisplayStyle A_ {L}}$

I

${DisplayStyle A_ {K}}$

są oba niezmienności przez odwrócenie czasu i gdzie system nie jest umieszczony w polu magnetycznym ani w obrotu. Gdy system jest umieszczony w polu, konieczne jest zmiana znaku pola magnetycznego w prawym elemencie równości. To samo dotyczy rotacji. Jeśli operatorzy

${DisplayStyle A_ {L}}$

Lub

${DisplayStyle A_ {K}}$

Zmień swój znak w obaleniu znaczenia czasu (na przykład, jeśli są to dwie prądy), ta sama liczba zmian znaków w właściwym elemencie należy zastosować jako operatory nieinwiaryjne przez odwrócenie czasu (w przypadku dwóch Prądy, należy zastosować dwie zmiany znaków, więc znak końcowy nie zmienia się w prawym elemencie).

Fakt, że funkcja korelacji jest anulowana dla negatywnych odstępów czasu, jest konsekwencją przyczynowości. Rzeczywiście oznacza to, że na czas

${DisplayStyle T}$

, odpowiedź systemu zależy tylko od wartości zakłóceń w czasie

${DisplayStyle t ‘$

. To anulowanie funkcji korelacji w czasie negatywnym oznacza, że ​​jej transformacja Laplace’a jest holomorficzna w górnej półplanu. Możemy zatem użyć twierdzenia Cauchy’ego, aby uzyskać wyrażenie funkcji odpowiedzi dla

${DisplayStyle Mathrm {im} (z)> 0}$

${DisplayStyle chi (z) = {frac {1} {2ipi}} int dopmega ‘{frac {chi (omega’)} {z -ega ‘}}}}}}}$

Czyn

${Displayle lto Omega +i0}$

Używając tożsamości w rozkładach, uzyskujemy relacje Kramers-Kronig:

${DisplayStyle Mathrm {re} chi (omega) = int = franc {Domega ‘} {pi}} {franc {mathrm =} chi (omega’)} {omega -ega ‘}}}}}}}}}}$

${DisplayStyle Mathrm {im} chi (omega) = -int {franc {Domega ‘} {pi}} {franc {Mathrm {re} chi (omega’)} {omega -ega ‘}}}}}}}}}$

Reguły kwoty to tożsamości spełnione przez formalne funkcje odpowiedzi:

${DisplayStyle int DOMGA OMEGA ^{n} chi _ {lk} (omega) = c_ {n}}}$

Lub

${DisplayStyle C_ {n}}$

jest średnią wartością pewnego operatora w stanie równowagi. Te zasady są uzyskiwane przez integrację według części formuły przetwarzania Laplace’a. Integracja przez części ujawnia pochodne operatora

${DisplayStyle A_ {L}}$

które można reprezentować za pomocą równania ruchu Heisenberga. W ten sposób otrzymujemy:

${DisplayStyle C_ {n} = Langle [H, (h, ldots, a_ {l}), a_ {k}] rangle}$

Możemy użyć projektora, aby zmniejszyć przestrzeń zmiennych lub oddzielić obserwowalne zmienne na mechanikę kwantową. W tym drugim przypadku używamy metod Roberta Zwanziga ^{[[[ Pierwszy ] W [[[ 2 ]} et Hazime Mori ^{[[[ 3 ] W [[[ 4 ]} .

• (W) Ryōgo do nich, ‘ Statystyczna teoria nieodwracalnych procesów. I. Ogólna teoria i proste zastosowania do problemów magnetycznych i przewodniczych » W Journal of the Physical Society of Japan W tom. 12, 1957 W P. 570-586
• (W) Leo P. Kadanoff ET P. C. Martin, ‘ Równania hydrodynamiczne i funkcje korelacji » W Annals of Physics W tom. 24, 1963 W P. 419-469 ( Czytaj online )
• (W) Joaquin M. Luttinger, ‘ Teoria współczynników transportu termicznego » W Przegląd fizyczny W tom. 135, N ^O 6a, 1964 , A1505-A1514 (Doi 10.1103/physrev.135.A1505 )
• (W) Robert Twenty, ‘ Efekty pamięci w nieodwracalnej termodynamice » W Przegląd fizyczny W tom. 124, N ^O 4, 1961 W P. 983-992 (Doi 10.1103/physrev.124.983 )
• (W) Robert Twenty, ‘ Metoda zespołu w teorii nieodwracalności » W The Journal of Chemical Physics W tom. 33, N ^O 5, 1960 W P. 1338 (Doi 10.1063/1,1731409 )
• (W) Hazime Mori et John Ross, ‘ Równanie transportu w gazach kwantowych » W Przegląd fizyczny W tom. 112, 1958 W P. 2139-2139 (Doi 10.1103/physrev.112.2139.2 )
• (W) Hazime Mori, ‘ Transport, ruch zbiorowy i ruch Browna » W Postęp fizyki teoretycznej W tom. 33, 1965 W P. 423-455 (Doi 10.1143/ptp.33.423 )
• Noëlle Pottier W Fizyka statystyczna poza równowagą: liniowy proces nieodwracalny , The Ulis/Paris, EDP Sciences/CNRS éditions, 2007 , 524 P. (ISBN 978-2-86883-934-3 )
• (W) Lev Landau et evgueni lifchits, Przebieg fizyki teoretycznej Tom 5: Fizyka statystyczna , Pergamon Press, 1969 ( Czytaj online )
• (W) Ryōgo Kubo, Morikazu Toda i Natsuki Hashitsume, Fizyka statystyczna II: Mechanika statystyczna Brak równowagi , Springer, 1991 , 279 P. (ISBN 978-3-642-58244-8 W Czytaj online )
• (W) Dieter Forster, Fluktuacje hydrodynamiczne, złamana symetria i funkcje korelacji , Benjamin/Cummings, 1975 , 352 P. (ISBN 0-201-41049-4 )
• Noëlle Pottier, ‘ Fizyka statystyczna poza równowagą: równanie Boltzmanna, odpowiedź liniowa »
• Philippe-André Martin, ‘ Fizyka statystyczna nieodwracalnych procesów »