Transcendentne rozszerzenie – Wikipedia

W matematyce, szczególnie w teorii pola, jeden ‘ transcendentne rozszerzenie (O transcendentna ekspansja ) jest rozszerzeniem pól, które nie są algebraiczne lub rozszerzenie

${DisplayStyle fsubseteq k}$

Taka, że ​​w terenie

${DisplayStyle K}$

Jest co najmniej jeden transcendentny element α

${DisplayStyle f,}$

to znaczy, że nie jest to źródło wielomianu współczynników

${DisplayStyle F.}$

Typowym przykładem transcendentnego rozszerzenia jest

${DisplayStyle fsubseteq f (x)}$

, Gdzie

${DisplayStyle f (x)}$

Jest to pole racjonalnych funkcji współczynników

${displayStyle f;}$

Inne przykłady to rozszerzenia

${DisplayStyle Mathbb {Q} Subteteq Mathbb {R}}$

To jest

${DisplayStyle Mathbb {q} Subteteq Mathbb {C}}$

.

Od elementu

${DisplayStyle Alpha}$

Transcendent on

${DisplayStyle f}$

Nie jest to rozwiązanie żadnego wielomianu dla współczynników

${DisplayStyle f,}$

stopień rozszerzenia

${DisplayStyle fsubseteq f (alpha)}$

Jest nieskończony; W konsekwencji stopień jakiegokolwiek transcendentnego rozszerzenia jest nieskończony, a narzędzie tego nie można wykorzystać do ich badania. Na swoim miejscu pojęcie stopień transcendencji , uzyskane przez zastąpienie pojęcia niezależności liniowej pojęcia niezależności algebraicznej: całość

${DisplayStyle s}$

Mówi się, że algebraicznie niezależny na polu

${DisplayStyle f}$

Jeśli nie ma wielomianu nie -zerowego

${DisplayStyle P}$

w kilku takich zmiennych

${DisplayStyle P (S_ {1}, ldots, s_ {n}) = 0}$

dla elementów

${DisplayStyle S_ {1}, ldots, s_ {n}}$

W

${DisplayStyle S.}$

Podobnie jak podstawowa definicja w algebrze liniowej istnieje definicja transcendencja ekspansji

${DisplayStyle fsubseteq k}$

: To podzbiór

${DisplayStyle T}$

Z

${DisplayStyle K}$

tak, że

${DisplayStyle T}$

Jest niezależny algebraicznie

${DisplayStyle f}$

To jest

${DisplayStyle K}$

jest algebraiczny

${DisplayStyle f (t).}$

Ta równoległość między algebrą liniową a rozszerzeniami transcendentnymi nie ogranicza się do definicji, ale także rozciąga się na wiele właściwości zasad: każda transcendentna ekspansja ma podstawę transcendencji (nawet jeśli, aby ją pokazać, konieczne jest przyjęcie lematu Zorn) E. Każdy zestaw elementów niezależnych algebraicznie można wypełnić podstawą transcendencji poprzez dodanie innych elementów. W szczególności dwie podstawy transcendencji muszą mieć taką samą litość: nazywa się to stopień transcendencji Z

${DisplayStyle K}$

Czy

${DisplayStyle f,}$

I jest podobny do pojęcia wielkości przestrzeni wektorowej.

Z definicji natychmiast wynika z tego, jeśli

${DisplayStyle fsubseteq ksubseteq l}$

wyd

${displayStyle l}$

jest algebraiczny

${DisplayStyle K,}$

W tym czasie

${DisplayStyle K}$

wyd

${displayStyle l}$

mają taki sam stopień transcendencji

${displayStyle f;}$

W szczególności rozszerzenie algebraiczne ma pewien stopień transcendencji

${DisplayStyle 0}$

.

W przeciwieństwie do stopnia rozszerzenia, który jest multiplikatywny (tj. Jeśli

${DisplayStyle fsubseteq ksubseteq l}$

W tym czasie

${DisplayStyle [l: f] = [k: f] cdot [l: k]}$

), stopień transcendencji jest addytywny, to znaczy stopień transcendencji

${displayStyle l}$

Czy

${DisplayStyle f}$

jest to samo, co suma stopni transcendencji

${DisplayStyle K}$

Czy

${DisplayStyle f}$

i

${displayStyle l}$

Czy

${DisplayStyle K.}$

Rozszerzenie wygenerowane przez algebracyjnie niezależne elementy jest nazywane czysto transcendentny . Czysto transcendentna ekspansja

${DisplayStyle f}$

jest izomorficzny na polu

${DisplayStyle f (x)}$

funkcji racjonalnych, gdzie

${DisplayStyle x}$

wskazuje zestaw niezależnych nieokreślonych; Jego stopień transcendencji jest podawany przez kardynał

${DisplayStyle x}$

lub z liczby nieokreślonych. Na przykład rozszerzenie

${DisplayStyle fsubseteq f (x)}$

jest wyłącznie transcendentny ze stopniem transcendencji

${DisplayStyle 1}$

, To jest

${DisplayStyle fsubseteq f (x_ {1}, ldots, x_ {n})}$

ma ocenę

${DisplayStyle n}$

.

Nie wszystkie transcendentne rozszerzenia

${DisplayStyle fsubseteq k}$

Są czysto transcendentne. To prawda w przypadku tego

${DisplayStyle K}$

jest pośrednim rozszerzeniem między

${DisplayStyle f}$

To jest

${DisplayStyle f (x)}$

(Twierdzenie Lüroth; w szczególności

${DisplayStyle K}$

To proste przedłużenie

${DisplayStyle f}$

), ale nie dla wyższych stopni transcendencji; w przypadku

${DisplayStyle fsubseteq ksubseteq f (x, y)}$

, wynik jest nadal ważny, jeśli przypuszczuje

${DisplayStyle f}$

oba algebraicznie zamknięte e

${DisplayStyle f (x, y)}$

jest to gotowe i rozdzielone rozszerzenie

${DisplayStyle K.}$

• Stefania Gabelli, Teoria równań i teoria Galois , Milan, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8.