Transformacja liniowa – Wikipedia

Posted on October 14, 2019 by lordneo

before-content-x4

W matematyce i dokładniej w algebrze liniowej, jedna transformacja liniowa , nazywane również Zastosowanie liniowe O Mapa liniowa , jest funkcją liniową między dwiema przestrzeniami wektorowymi na tym samym polu, to znaczy funkcją, która zachowuje sumę sum wektorów i mnożenie dla skalarnego. Innymi słowy, transformacja liniowa zachowuje kombinacje liniowe. W języku algebry abstrakcyjnej transformacja liniowa jest omomorfizmem przestrzeni wektorowych, ponieważ zachowuje operacje charakteryzujące przestrzenie wektorowe.

after-content-x4

W analizie funkcjonalnej często nazywana jest transformacja liniowa Operator liniowy . W tym kontekście ciągłe operatory liniowe mają szczególnie znaczenie między przestrzeniami wektorowymi topologicznymi, takimi jak przestrzenie Banacha.

Oni są

{DisplayStyle v}

$V$ To jest

{displaystyle W}

$W$ Dwie przestrzenie wektorowe na tym samym polu

{DisplayStyle K.}

${displaystyle K.}$ Funkcja

{DisplayStyle fcolon vto w}

${displaystyle fcolon Vto W}$ Jest to transformacja liniowa, jeśli spełnia następujące właściwości: ^[Pierwszy]^[2]

${DisplayStyle f (mathbf {x} +mathbf {y}) = f (mathbf {x}) +f (mathbf {y}),}$
${DisplayStyle f (amathbf {x}) = af (mathbf {x}),}$

Dla każdej pary wektorów

after-content-x4

{DisplayStyle Mathbf {x}}

$mathbf x$ To jest

{DisplayStyle Mathbf {y}}

${mathbf y}$ W

{DisplayStyle v}

$V$ i dla każdej wspinaczki

{DisplayStyle A}

$a$ W

{DisplayStyle K.}

${displaystyle K.}$ Pierwszą nieruchomością jest wspomniana dodatkowa, druga jednorodność klasy 1.

Równoważnie,

{DisplayStyle f}

$f$ Jest to liniowe, jeśli „zachowuje kombinacje liniowe” (zasada nakładania się), to znaczy:

{displayStyle f (a_ {1} mathbf {x} _ {1}+cdots+a_ {m} mathbf {x} _ {m}) = a_ {1} f (matembf {x} _ {1})+cdots cdots +a_ {m} f (Mathbf {x} _ {m}),}

Dla każdego dodatniego

{DisplayStyle M}

$m$ i każdy wybór przewoźników

{DisplayStyle Mathbf {x} _ {1}, ldots, mathbf {x} _ {m}}

${displaystyle mathbf {x} _{1},ldots ,mathbf {x} _{m}}$ i skalarne

{DisplayStyle A_ {1}, ldots, a_ {m}.}

${displaystyle a_{1},ldots ,a_{m}.}$

{DisplayStyle fcolon vto w}

${displaystyle fcolon Vto W}$ Jest to aplikacja liniowa E

{DisplayStyle Mathbf {0} _ {v}}

${displaystyle mathbf {0} _{V}}$ To jest

{DisplayStyle Mathbf {0} _ {w}}

${displaystyle mathbf {0} _{W}}$ są wektory zerowymi

{DisplayStyle v}

$V$ To jest

{displaystyle W}

$W$ odpowiednio: ^[3]

{DisplayStyle f (Mathbf {0} _ {v}) = f (mathbf {0} _ {v}+mathbf {0} _ {v}) = f (mathbf {0} _ {v})+f (Mathbf (Mathbf (Mathbf (Mathbf (Mathbf (Mathbf (Mathbf (Mathbf {0} _ {v}),}

i usuwanie

{DisplayStyle f (Mathbf {0} _ {v})}

${displaystyle f(mathbf {0} _{V})}$ Z obu członków są uzyskiwane

{DisplayStyle Mathbf {0} _ {w} = f (mathbf {0} _ {v}).}

Zastępując liniową kombinację wektorów zależnych liniowo przy zero, wykazano, że aplikacja liniowa iniekcyjna wysyła podgrupy liniowo niezależnej domeny w podzbiorach liniowo niezależnego kodominum. ^[4]

Zastosowanie liniowe jest całkowicie opisane poprzez swoje działanie na wektorach dowolnej podstawy domeny. ^[5]Ponieważ pisanie operatora w bazie danych jest unikalne, liniowość aplikacji określa wyjątkowość wektora obrazu.

Biuniwokalna liniowa aplikacja (lub odwracalny ) jest również izomorfizmem między przestrzeniami wektorowymi. ^[6]

Oni są

{DisplayStyle v}

$V$ To jest

{displaystyle W}

$W$ Dwie przestrzenie wektorowe o gotowym rozmiarze. Jest

{DisplayStyle B_ {v} = (Mathbf {v} _ {1}, ldots, Mathbf {v} _ {n})}}

${displaystyle B_{V}=(mathbf {v} _{1},ldots ,mathbf {v} _{n})}$ baza

{DisplayStyle v}

$V$ i oni są

{DisplayStyle Mathbf {w} _ {1}, ldots, Mathbf {w} _ {n}}

${displaystyle mathbf {w} _{1},ldots ,mathbf {w} _{n}}$ wektory

{displaystyle W.}

${displaystyle W.}$ Następnie jest pojedyncza liniowa aplikacja od

{DisplayStyle v}

$V$ W

{displaystyle W}

$W$ tak, że: ^[7]

{DisplayStyle f (Mathbf {v} _ {i}) = Mathbf {w} _ {i}, quad forall i = 1, ldots, n.}

Jeśli wyraźna forma aplikacji nie jest znana, nadal możliwe jest ustalenie jej istnienia i wyjątkowości poprzez znajomość działania aplikacji na zestawie przewoźników danych

{DisplayStyle {{Mathbf {v}} _ {i}}}

${displaystyle {{mathbf {v} }_{i}}}$ , z czego obraz jest znany. Jeśli zbiór wektorów jest podstawą domeny, aplikacja jest jednoznacznie określona, a jeśli przewoźnicy danych nie stanowią podstawy, istnieją dwa przypadki:

Wektory, których znany jest obraz, są liniowo niezależne: w tym przypadku aplikacja istnieje, ale nie jest wyjątkowa.
Wektory, których znany jest obraz, to liniowo pracownicy: w tym przypadku jeden lub więcej nośników to liniowa kombinacja pozostałych. Ty masz:

{DisplayStyle Mathbf {v} _ {j} = sum _ {i = 1}^{n} a_ {i} mathbf {v} _ {i}.}

Aplikacja istnieje (ale nie jest unikalna) wtedy i tylko wtedy, gdy:

{DisplayStyle f (Mathbf {v} _ {j}) = sum _ {i = 1}^{n} a_ {i} f (mathbf {v} _ {i}).}

Oni są

{DisplayStyle v}

$V$ To jest

{displaystyle W}

$W$ Dwie przestrzenie wektorowe o gotowym rozmiarze. Wybierz dwie bazy

{DisplayStyle B_ {v}}

${displaystyle B_{V}}$ To jest

{DisplayStyle B_ {w}}

${displaystyle B_{W}}$ za

{DisplayStyle v}

$V$ To jest

{displaystyle W,}

${displaystyle W,}$ Każda transformacja liniowa z

{DisplayStyle v}

$V$ A

{displaystyle W}

$W$ Jest reprezentowany jako matryca. Jest umieszczony:

{DisplayStyle B_ {v} = (Mathbf {v} _ {1}, ldots, Mathbf {v} _ {n}),}

{DisplayStyle B_ {w} = (Mathbf {w} _ {1}, ldots, Mathbf {w} _ {m}).}

Każdy przewoźnik

{DisplayStyle Mathbf {v}}

$mathbf v$ W

{DisplayStyle v}

$V$ jest jednoznacznie określony przez jego współrzędne

{DisplayStyle C_ {1}, ldots, c_ {n},}

${displaystyle c_{1},ldots ,c_{n},}$ Zdefiniuj tak:

{DisplayStyle Mathbf {v} = c_ {1} Mathbf {v} _ {1} +cdots +c_ {n} mathbf {v} _ {n}.}

{DisplayStyle fcolon vto w}

${displaystyle fcolon Vto W}$ Jest to transformacja liniowa:

{displayStyle f (Mathbf {v}) = f (c_ {1} mathbf {v} _ {1} +cdots +c_ {n} Mathbf {v} _ {n}) = c_ {1} f (mathbf {v v {v} f (mathbf {v v v} } _ {1}) +cdots +c_ {n} f (mathbf {v} _ {n}).}

Dlatego funkcja

{DisplayStyle f}

$f$ jest określane przez wektory

{DisplayStyle f (Mathbf {v} _ {1}), ldots, f (mathbf {v} _ {n})}

${displaystyle f(mathbf {v} _{1}),ldots ,f(mathbf {v} _{n})}$ . Każdy z nich jest napisany, jak:

{DisplayStyle f (Mathbf {v} _ {j}) = a_ {1J} mathbf {w} _ {1} +cdots +a_ {mj} mathbf {w} _ {m}.}

Funkcja

{DisplayStyle f}

$f$ Jest to zatem całkowicie określone przez wartości

{DisplayStyle A_ {i, j},}

${displaystyle a_{i,j},}$ którzy tworzą matrycę związaną z

{DisplayStyle f}

$f$ w bazach

{DisplayStyle B_ {v}}

${displaystyle B_{V}}$ To jest

{DisplayStyle B_ {w}.}

${displaystyle B_{W}.}$ ^[8]

Powiązana macierz

{DisplayStyle A}

$A$ jest typu

{DisplayStyle mtimes n,}

${displaystyle mtimes n,}$ i można go łatwo użyć do obliczenia obrazu

{DisplayStyle f (Mathbf {v})}

$f(mathbf v)$ każdego wektora

{DisplayStyle v}

$V$ Dzięki następującemu raportowi:

{DisplayStyle A [Mathbf {v}] _ {b_ {v}} = [mathbf {w}] _ {b_ {w}},}

Gdzie

{DisplayStyle [mathbf {v}] _ {b_ {v}}}

${displaystyle [mathbf {v} ]_{B_{V}}}$ To jest

{DisplayStyle [Mathbf {w}] _ {b_ {w}}}

${displaystyle [mathbf {w} ]_{B_{W}}}$ są współrzędnymi

{DisplayStyle Mathbf {v}}

$mathbf v$ To jest

{DisplayStyle Mathbf {w}}

$mathbf w$ w swoich bazach.

Należy zauważyć, że wybór zasad jest niezbędny: ta sama macierz, stosowana na różnych podstawach, może reprezentować różne zastosowania liniowe.

Całość

{DisplayStyle Mathrm {hom} (v, w)}

${displaystyle mathrm {Hom} (V,W)}$ aplikacje liniowe z

{DisplayStyle v}

$V$ W

{displaystyle W}

$W$ Jest to podsektor wektorowy przestrzeni wektorowej na polu

{DisplayStyle K}

$K$ uformowane według wszystkich funkcji z

{DisplayStyle v}

$V$ W

{displaystyle W,}

${displaystyle W,}$ Rzeczywiście: ^[9]

samego siebie ${DisplayStyle fcolon vto w}$

{displayStyle (f+g) (mathbf {v}) = f (mathbf {v})+g (mathbf {v});}

W przypadku skończonej wymiaru, po ustawieniu zasad, sumy suma i iloczyn funkcji dla skalarnego zastosowań liniowych odpowiadają odpowiednio sumie macierzy i mnożenie macierzy dla skalarnego. Dlatego zasady definiują izomorfizm

{DisplayStyle Mathrm {hom} (v, w) do m (n, m)}

${displaystyle mathrm {Hom} (V,W)to M(n,m)}$ między przestrzeniami wektorowymi aplikacji liniowych i macierzy

{DisplayStyle ntimes m,}

${displaystyle ntimes m,}$ Gdzie

{DisplayStyle M}

$m$ To jest

{DisplayStyle n}

$n$ to wymiary odpowiednio

{DisplayStyle v}

$V$ To jest

{displaystyle W.}

${displaystyle W.}$

{DisplayStyle fcolon vto w}

${displaystyle fcolon Vto W}$ jest liniowe, jądro

{DisplayStyle f}

$f$ to zestaw: ^[dziesięć]

{DisplayStyle Mathrm {ker} (f) = {mathbf {x} in v: f (mathbf {x}) = 0},}

podczas gdy obraz

{DisplayStyle f}

$f$ to zestaw: ^[11]

{DisplayStyle operatorname {im} (f) = {f (mathbf {x}) w w: Mathbf {x} in v}.}

Całość

{DisplayStyle Mathrm {ker} (f)}

${displaystyle mathrm {Ker} (f)}$ Jest to subspazio

{DisplayStyle v}

${displaystyle V}$ , Chwila

{DisplayStyle operatorname {im} (f)}

${displaystyle operatorname {Im} (f)}$ Jest to subspazio

{displaystyle W}

$W$ . Z

{DisplayStyle v}

$V$ To jest

{displaystyle W}

$W$ Zakończyli rozmiar, twierdzenie o rozmiarach zapewnia, że: ^[dwunasty]

m Omów to, że empiry Em h repane (f)) Hyortortor m hép) m regé) mężczyzna).

Twierdzenie to stanowi niezbędne i wystarczające kryterium w celu ustalenia istnienia transformacji liniowej.

Transformacja liniowa

{DisplayStyle fcolon vto v}

${displaystyle fcolon Vto V}$ To endomorfizm

{DisplayStyle V.}

${displaystyle V.}$ Zestaw wszystkich endomorfizmów

{displayStyle {text {end}} (v)}

${displaystyle {text{End}}(V)}$ wraz z dodaniem, składem i mnożeniem dla skalarnego, jak opisano powyżej, tworzą algebrę asocjacyjną z jednostką na polu

{DisplayStyle K}

$K$ : w szczególności tworzą pierścień i przestrzeń wektorową

{DisplayStyle K.}

${displaystyle K.}$ Element tożsamości tej algebry jest transformacja tożsamości

{DisplayStyle V.}

${displaystyle V.}$

Biietyczny endomorfizm

{DisplayStyle v}

$V$ nazywa się automorfizmem

{DisplayStyle V.}

${displaystyle V.}$ Skład dwóch automorfizmów jest ponownie automorfizmem i zestawem wszystkich automorfizmów

{DisplayStyle v}

$V$ tworzy grupę, ogólna grupa liniowa

{DisplayStyle v,}

${displaystyle V,}$ zwany

{DisplayStyle Mathrm {Aut} (V)}

${displaystyle mathrm {Aut} (V)}$ O

{DisplayStyle Mathrm {gl} (v).}

${displaystyle mathrm {GL} (V).}$

Jeśli rozmiar

{DisplayStyle v}

$V$ To koniec, wystarczy

{DisplayStyle f}

$f$ obaj iniekcyjnie, aby móc potwierdzić, że jest również subratywna (dla twierdzenia o rozmiarze). Ponadto izomorfizm

{displayStyle {textrm {end}} (v) do m (n)}

wśród endomorfizmów i macierzy kwadratowych

{DisplayStyle n}

$ntimes n$ Opisane powyżej jest to izomorfizm algebre. Grupa automorfizmów

{DisplayStyle v}

$V$ jest izomorficzny dla ogólnej grupy liniowej

{DisplayStyle Mathrm {gl} (n, k)}

${mathrm {GL}}(n,K)$ wszystkich macierzy

{DisplayStyle n}

$ntimes n$ odwracalne do wartości w

{DisplayStyle K.}

${displaystyle K.}$

Oni są

{DisplayStyle A,}

${displaystyle A,}$

{DisplayStyle B}

$B$ To jest

{DisplayStyle C}

$C$ zestawy i są

{DisplayStyle f (a, c)}

${displaystyle F(A,C)}$ To jest

{DisplayStyle f (b, c)}

${displaystyle F(B,C)}$ Rodziny funkcji od

{DisplayStyle A}

$A$ W

{DisplayStyle C}

$C$ e da

{DisplayStyle B}

$B$ W

{DisplayStyle C}

$C$ odpowiednio. Wszystko w porządku

{DisplayStyle Phi Colon Ato B}

${displaystyle phi colon Ato B}$ wyjątkowo określa korespondencję

{DisplayStyle phi ^{*} Colon f (b, c) do f (a, c)}

${displaystyle phi ^{*}colon F(B,C)to F(A,C)}$ dzwonić Zatrzymaj się Poprzez

{DisplayStyle Phi,}

${displaystyle phi ,}$ wysyłanie

{DisplayStyle f}

$F$ W

{DisplayStyle FCIRC Phi.}

${displaystyle Fcirc phi .}$

Jeśli konkretnie uważają się za

{DisplayStyle a = v}

${displaystyle A=V}$ To jest

{DisplayStyle B = w}

${displaystyle B=W}$ Dwie przestrzenie wektorowe na polu

{DisplayStyle k = c}

${displaystyle K=C}$ I zamiast całkowicie przyjmować

{DisplayStyle f (v, k)}

${displaystyle F(V,K)}$ To jest

{DisplayStyle f (w, k)}

${displaystyle F(W,K)}$ Rozważane są podwójne przestrzenie

{DisplayStyle v^{*}}

$V^*$ To jest

{displaystyle W^{*}}

$W^{*}$ Istnieje każda transformacja liniowa

{DisplayStyle Phi Colon vto w}

${displaystyle phi colon Vto W}$ Odpowiednie ograniczenie odciągania można powiązać za pośrednictwem

{DisplayStyle Phi}

$phi$ lub funkcja

{DisplayStyle Phi^{*} Colon W^{*} do v^{*}}

${displaystyle phi ^{*}colon W^{*}to V^{*}}$ który przyjmuje nazwę transponowane Z

{DisplayStyle Phi.}

${displaystyle phi .}$

Wynika bezpośrednio ze sposobu zdefiniowania operacji w

{DisplayStyle v^{*}}

$V^*$ To jest

{displaystyle W^{*}}

$W^{*}$ To

{DisplayStyle phi ^{*}}

${displaystyle phi ^{*}}$ To z kolei liniowe. Z prostymi obliczeniami możesz zobaczyć, że naprawisz podstawy

{DisplayStyle v}

$V$ To jest

{displaystyle W}

$W$ i odpowiednie duali w

{DisplayStyle v^{*}}

$V^*$ To jest

{displaystyle W^{*},}

${displaystyle W^{*},}$ Matryca transformacji związana z

{DisplayStyle phi ^{*}}

${displaystyle phi ^{*}}$ Jest to transpozycja

{DisplayStyle Phi.}

${displaystyle phi .}$

Wynika z definicji funkcjonalnej

{DisplayStyle Lambda w w^{*}}

${displaystyle lambda in W^{*}}$ jest wysyłany do zera przez

{DisplayStyle phi ^{*}}

${displaystyle phi ^{*}}$ Tylko wtedy, gdy obraz

{DisplayStyle Phi}

$phi$ Jest zawarty w jądrze

{DisplayStyle Lambda}

$lambda$ to znaczy wskazanie

{DisplayStyle u^{Perp}}

${displaystyle U^{perp }}$ subspazio funkcjonalnego, który anuluje

{displaystyle Usubset W}

${displaystyle Usubset W}$ , Jeśli to

{DisplayStyle Mathrm {ker} (phi ^{*}) subseteq (in the phi) ^{PPP}}

${displaystyle mathrm {Ker} (phi ^{*})subseteq (Im phi )^{perp }}$ . Ponadto, z tej samej definicji, wywnioskowane jest, że funkcjonalny

{DisplayStyle Mu in v^{*}}

${displaystyle mu in V^{*}}$ Jest to obraz funkcjonalnej

{DisplayStyle eta w w^{*}}

${displaystyle eta in W^{*}}$ (to znaczy

{DisplayStyle mu = phi ^{*} (eta)}

${displaystyle mu =phi ^{*}(eta )}$ ja tylko wiem

{DisplayStyle eta}

$eta$ anuluj jądro

{DisplayStyle Phi}

$phi$ , Lub

{DisplayStyle in (phi ^{*}) subseteq (mathrm {ker} phi) ^{PPP}}

${displaystyle Im (phi ^{*})subseteq (mathrm {Ker} phi )^{perp }}$ . W przypadku

{DisplayStyle v}

$V$ To jest

{displaystyle W}

$W$ są skończonymi rozmiarem, wywnioskowane są z twierdzenia o wielkości i relacjach

{DisplayStyle Dim ~ v = Mathrm {ker} phi +(mathrm {ker} phi)^{PPP}}

${displaystyle dim ~V=mathrm {Ker} phi +(mathrm {Ker} phi )^{perp }}$ To jest

{DisplayStyle Dim ~ w^{*} = Dim ~ w = Imfolion +(Imfied)^{PPP}}}

${displaystyle dim ~W^{*}=dim ~W=Im phi +(Im phi )^{perp }}$ że dwa poprzednie inkluzje są pod każdym względem równoważne.

Mnożenie ${DisplayStyle f (v) = off,}$
Obrót płaszczyzny euklidesowej w odniesieniu do pochodzenia stałego narożnika.
Odbicie planu euklidesowego w odniesieniu do odbytnicy przechodzącego przez pochodzenie.
Projekcja przestrzeni wektorowej ${DisplayStyle v}$
Matryca ${DisplayStyle A}$
Integral funkcji rzeczywistej w przedziale definiuje mapę liniową z przestrzeni wektorowej funkcji ciągłych zdefiniowanych w przedziale w przestrzeni wektorowej ${DisplayStyle Mathbb {r}.}$
Pochodna definiuje mapę liniową z przestrzeni wektorowej wszystkich funkcji pochodnych w pewnym otwartym przedziale ${DisplayStyle Mathbb {r}}$
Przestrzeń ${DisplayStyle Mathbb {C}}$

^ S. Just, pag. 82 .
^ Hoffman, Kunze, Pag. 67 .
^ Hoffman, Kunze, Pag. 68 .
^ Hoffman, Kunze, Pag. 80 .
^ S. Just, pag. 86 .
^ S. Just, pag. 96 .
^ Ray Alden Out, Algebra liniowa , 2d ed, 1971, s. 1 69, ISBN 0-13-536797-2, OCLC 139865 . URL skonsultował się 8 stycznia 2022 r. .
^ S. Just, pag. 84 .
^ S. Just, pag. 85 .
^ S. Just, pag. 90 .
^ S. Just, pag. 91 .
^ S. Just, pag. 92 .

Serge Lang, Algebra liniowa , Turin, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Algebra liniowa , 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice-Hall, Inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.

after-content-x4

Transformacja liniowa – Wikipedia

Recent Posts

Recent Comments

Archives

Categories

Meta