[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/transformacja-liniowa-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/transformacja-liniowa-wikipedia\/","headline":"Transformacja liniowa – Wikipedia","name":"Transformacja liniowa – Wikipedia","description":"before-content-x4 W matematyce i dok\u0142adniej w algebrze liniowej, jedna transformacja liniowa , nazywane r\u00f3wnie\u017c Zastosowanie liniowe O Mapa liniowa ,","datePublished":"2019-10-14","dateModified":"2019-10-14","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/transformacja-liniowa-wikipedia\/","wordCount":22223,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4W matematyce i dok\u0142adniej w algebrze liniowej, jedna transformacja liniowa , nazywane r\u00f3wnie\u017c Zastosowanie liniowe O Mapa liniowa , jest funkcj\u0105 liniow\u0105 mi\u0119dzy dwiema przestrzeniami wektorowymi na tym samym polu, to znaczy funkcj\u0105, kt\u00f3ra zachowuje sum\u0119 sum wektor\u00f3w i mno\u017cenie dla skalarnego. Innymi s\u0142owy, transformacja liniowa zachowuje kombinacje liniowe. W j\u0119zyku algebry abstrakcyjnej transformacja liniowa jest omomorfizmem przestrzeni wektorowych, poniewa\u017c zachowuje operacje charakteryzuj\u0105ce przestrzenie wektorowe.        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4W analizie funkcjonalnej cz\u0119sto nazywana jest transformacja liniowa Operator liniowy . W tym kontek\u015bcie ci\u0105g\u0142e operatory liniowe maj\u0105 szczeg\u00f3lnie znaczenie mi\u0119dzy przestrzeniami wektorowymi topologicznymi, takimi jak przestrzenie Banacha. Oni s\u0105 W {DisplayStyle v} To jest        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4W {displaystyle W} Dwie przestrzenie wektorowe na tym samym polu K . {DisplayStyle K.} Funkcja F : W \u2192 W {DisplayStyle fcolon vto w} Jest to transformacja liniowa, je\u015bli spe\u0142nia nast\u0119puj\u0105ce w\u0142a\u015bciwo\u015bci: [Pierwszy] [2] F ( X + I ) = F ( X ) + F ( I ) W {DisplayStyle f (mathbf {x} +mathbf {y}) = f (mathbf {x}) +f (mathbf {y}),} F ( A X ) = A F ( X ) W {DisplayStyle f (amathbf {x}) = af (mathbf {x}),} Dla ka\u017cdej pary wektor\u00f3w        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4X {DisplayStyle Mathbf {x}} To jest I {DisplayStyle Mathbf {y}} W W {DisplayStyle v} i dla ka\u017cdej wspinaczki A {DisplayStyle A} W K . {DisplayStyle K.} Pierwsz\u0105 nieruchomo\u015bci\u0105 jest wspomniana dodatkowa, druga jednorodno\u015b\u0107 klasy 1. R\u00f3wnowa\u017cnie, F {DisplayStyle f} Jest to liniowe, je\u015bli \u201ezachowuje kombinacje liniowe\u201d (zasada nak\u0142adania si\u0119), to znaczy: F ( A 1x1+ \u22ef + A mxm) = A 1F ( x1) + \u22ef + A mF ( xm) W {displayStyle f (a_ {1} mathbf {x} _ {1}+cdots+a_ {m} mathbf {x} _ {m}) = a_ {1} f (matembf {x} _ {1})+cdots cdots +a_ {m} f (Mathbf {x} _ {m}),} Dla ka\u017cdego dodatniego M {DisplayStyle M} i ka\u017cdy wyb\u00f3r przewo\u017anik\u00f3w X Pierwszy W … W X M {DisplayStyle Mathbf {x} _ {1}, ldots, mathbf {x} _ {m}} i skalarne A Pierwszy W … W A M . {DisplayStyle A_ {1}, ldots, a_ {m}.}  Z F : W \u2192 W {DisplayStyle fcolon vto w} Jest to aplikacja liniowa E 0 W {DisplayStyle Mathbf {0} _ {v}} To jest 0 W {DisplayStyle Mathbf {0} _ {w}} s\u0105 wektory zerowymi W {DisplayStyle v} To jest W {displaystyle W} odpowiednio: [3] F ( 0V) = F ( 0V+ 0V) = F ( 0V) + F ( 0V) W {DisplayStyle f (Mathbf {0} _ {v}) = f (mathbf {0} _ {v}+mathbf {0} _ {v}) = f (mathbf {0} _ {v})+f (Mathbf (Mathbf (Mathbf (Mathbf (Mathbf (Mathbf (Mathbf (Mathbf {0} _ {v}),} i usuwanie F ( 0 W ) {DisplayStyle f (Mathbf {0} _ {v})} Z obu cz\u0142onk\u00f3w s\u0105 uzyskiwane 0W= F ( 0V) . {DisplayStyle Mathbf {0} _ {w} = f (mathbf {0} _ {v}).} Zast\u0119puj\u0105c liniow\u0105 kombinacj\u0119 wektor\u00f3w zale\u017cnych liniowo przy zero, wykazano, \u017ce aplikacja liniowa iniekcyjna wysy\u0142a podgrupy liniowo niezale\u017cnej domeny w podzbiorach liniowo niezale\u017cnego kodominum. [4] Zastosowanie liniowe jest ca\u0142kowicie opisane poprzez swoje dzia\u0142anie na wektorach dowolnej podstawy domeny. [5] Poniewa\u017c pisanie operatora w bazie danych jest unikalne, liniowo\u015b\u0107 aplikacji okre\u015bla wyj\u0105tkowo\u015b\u0107 wektora obrazu. Biuniwokalna liniowa aplikacja (lub odwracalny ) jest r\u00f3wnie\u017c izomorfizmem mi\u0119dzy przestrzeniami wektorowymi. [6] Oni s\u0105 W {DisplayStyle v} To jest W {displaystyle W} Dwie przestrzenie wektorowe o gotowym rozmiarze. Jest B W = ( W Pierwszy W … W W N ) {DisplayStyle B_ {v} = (Mathbf {v} _ {1}, ldots, Mathbf {v} _ {n})}} baza W {DisplayStyle v} i oni s\u0105 w Pierwszy W … W w N {DisplayStyle Mathbf {w} _ {1}, ldots, Mathbf {w} _ {n}} wektory W . {displaystyle W.} Nast\u0119pnie jest pojedyncza liniowa aplikacja od W {DisplayStyle v} W W {displaystyle W} tak, \u017ce: [7] F ( vi) = wiW \u2200  I = Pierwszy W … W N . {DisplayStyle f (Mathbf {v} _ {i}) = Mathbf {w} _ {i}, quad forall i = 1, ldots, n.} Je\u015bli wyra\u017ana forma aplikacji nie jest znana, nadal mo\u017cliwe jest ustalenie jej istnienia i wyj\u0105tkowo\u015bci poprzez znajomo\u015b\u0107 dzia\u0142ania aplikacji na zestawie przewo\u017anik\u00f3w danych { vI } {DisplayStyle {{Mathbf {v}} _ {i}}} , z czego obraz jest znany. Je\u015bli zbi\u00f3r wektor\u00f3w jest podstaw\u0105 domeny, aplikacja jest jednoznacznie okre\u015blona, \u200b\u200ba je\u015bli przewo\u017anicy danych nie stanowi\u0105 podstawy, istniej\u0105 dwa przypadki: Wektory, kt\u00f3rych znany jest obraz, s\u0105 liniowo niezale\u017cne: w tym przypadku aplikacja istnieje, ale nie jest wyj\u0105tkowa. Wektory, kt\u00f3rych znany jest obraz, to liniowo pracownicy: w tym przypadku jeden lub wi\u0119cej no\u015bnik\u00f3w to liniowa kombinacja pozosta\u0142ych. Ty masz: vj= \u2211 i=1nA ivi. {DisplayStyle Mathbf {v} _ {j} = sum _ {i = 1}^{n} a_ {i} mathbf {v} _ {i}.} Aplikacja istnieje (ale nie jest unikalna) wtedy i tylko wtedy, gdy: F ( vj) = \u2211 i=1nA iF ( vi) . {DisplayStyle f (Mathbf {v} _ {j}) = sum _ {i = 1}^{n} a_ {i} f (mathbf {v} _ {i}).} Oni s\u0105 W {DisplayStyle v} To jest W {displaystyle W} Dwie przestrzenie wektorowe o gotowym rozmiarze. Wybierz dwie bazy B W {DisplayStyle B_ {v}} To jest B W {DisplayStyle B_ {w}} za W {DisplayStyle v} To jest W W {displaystyle W,} Ka\u017cda transformacja liniowa z W {DisplayStyle v} A W {displaystyle W} Jest reprezentowany jako matryca. Jest umieszczony: B V= ( v1W … W vn) W {DisplayStyle B_ {v} = (Mathbf {v} _ {1}, ldots, Mathbf {v} _ {n}),} B W= ( w1W … W wm) . {DisplayStyle B_ {w} = (Mathbf {w} _ {1}, ldots, Mathbf {w} _ {m}).} Ka\u017cdy przewo\u017anik W {DisplayStyle Mathbf {v}} W W {DisplayStyle v} jest jednoznacznie okre\u015blony przez jego wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne C Pierwszy W … W C N W {DisplayStyle C_ {1}, ldots, c_ {n},} Zdefiniuj tak: W = C 1v1+ \u22ef + C nvn. {DisplayStyle Mathbf {v} = c_ {1} Mathbf {v} _ {1} +cdots +c_ {n} mathbf {v} _ {n}.} Z F : W \u2192 W {DisplayStyle fcolon vto w} Jest to transformacja liniowa: F ( W ) = F ( C 1v1+ \u22ef + C nvn) = C 1F ( v1) + \u22ef + C nF ( vn) . {displayStyle f (Mathbf {v}) = f (c_ {1} mathbf {v} _ {1} +cdots +c_ {n} Mathbf {v} _ {n}) = c_ {1} f (mathbf {v v {v} f (mathbf {v v v} } _ {1}) +cdots +c_ {n} f (mathbf {v} _ {n}).} Dlatego funkcja F {DisplayStyle f} jest okre\u015blane przez wektory F ( W Pierwszy ) W … W F ( W N ) {DisplayStyle f (Mathbf {v} _ {1}), ldots, f (mathbf {v} _ {n})} . Ka\u017cdy z nich jest napisany, jak: F ( vj) = A 1jw1+ \u22ef + A mjwm. {DisplayStyle f (Mathbf {v} _ {j}) = a_ {1J} mathbf {w} _ {1} +cdots +a_ {mj} mathbf {w} _ {m}.} Funkcja F {DisplayStyle f} Jest to zatem ca\u0142kowicie okre\u015blone przez warto\u015bci A I W J W {DisplayStyle A_ {i, j},} kt\u00f3rzy tworz\u0105 matryc\u0119 zwi\u0105zan\u0105 z F {DisplayStyle f} w bazach B W {DisplayStyle B_ {v}} To jest B W . {DisplayStyle B_ {w}.} [8] Powi\u0105zana macierz A {DisplayStyle A} jest typu M \u00d7 N W {DisplayStyle mtimes n,} i mo\u017cna go \u0142atwo u\u017cy\u0107 do obliczenia obrazu F ( W ) {DisplayStyle f (Mathbf {v})} ka\u017cdego wektora W {DisplayStyle v} Dzi\u0119ki nast\u0119puj\u0105cemu raportowi: A [[[ W ] BV= [[[ w ] BWW {DisplayStyle A [Mathbf {v}] _ {b_ {v}} = [mathbf {w}] _ {b_ {w}},} Gdzie [[[ W ] BV{DisplayStyle [mathbf {v}] _ {b_ {v}}} To jest [[[ w ] BW{DisplayStyle [Mathbf {w}] _ {b_ {w}}} s\u0105 wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnymi W {DisplayStyle Mathbf {v}} To jest w {DisplayStyle Mathbf {w}} w swoich bazach. Nale\u017cy zauwa\u017cy\u0107, \u017ce wyb\u00f3r zasad jest niezb\u0119dny: ta sama macierz, stosowana na r\u00f3\u017cnych podstawach, mo\u017ce reprezentowa\u0107 r\u00f3\u017cne zastosowania liniowe. Ca\u0142o\u015b\u0107 H O M ( W W W ) {DisplayStyle Mathrm {hom} (v, w)} aplikacje liniowe z W {DisplayStyle v} W W {displaystyle W} Jest to podsektor wektorowy przestrzeni wektorowej na polu K {DisplayStyle K} uformowane wed\u0142ug wszystkich funkcji z W {DisplayStyle v} W W W {displaystyle W,} Rzeczywi\u015bcie: [9] samego siebie F : W \u2192 W {DisplayStyle fcolon vto w} To jest G : W \u2192 W {DisplayStyle gcolon vto w} s\u0105 liniowe, a nast\u0119pnie ich suma jest liniowa F + G W {DisplayStyle f+g,} zdefiniowane przez raport ( F + G ) ( W ) = F ( W ) + G ( W ) ; {displayStyle (f+g) (mathbf {v}) = f (mathbf {v})+g (mathbf {v});} W przypadku sko\u0144czonej wymiaru, po ustawieniu zasad, sumy suma i iloczyn funkcji dla skalarnego zastosowa\u0144 liniowych odpowiadaj\u0105 odpowiednio sumie macierzy i mno\u017cenie macierzy dla skalarnego. Dlatego zasady definiuj\u0105 izomorfizm H O M ( W W W ) \u2192 M ( N W M ) {DisplayStyle Mathrm {hom} (v, w) do m (n, m)} mi\u0119dzy przestrzeniami wektorowymi aplikacji liniowych i macierzy N \u00d7 M W {DisplayStyle ntimes m,} Gdzie M {DisplayStyle M} To jest N {DisplayStyle n} to wymiary odpowiednio W {DisplayStyle v} To jest W . {displaystyle W.}  Z F : W \u2192 W {DisplayStyle fcolon vto w} jest liniowe, j\u0105dro F {DisplayStyle f} to zestaw: [dziesi\u0119\u0107] K To jest R ( F ) = { X \u2208 W : F ( X ) = 0 } W {DisplayStyle Mathrm {ker} (f) = {mathbf {x} in v: f (mathbf {x}) = 0},} podczas gdy obraz F {DisplayStyle f} to zestaw: [11] w \u2061 ( F ) = { F ( X ) \u2208 W : X \u2208 W } . {DisplayStyle operatorname {im} (f) = {f (mathbf {x}) w w: Mathbf {x} in v}.} Ca\u0142o\u015b\u0107 K To jest R ( F ) {DisplayStyle Mathrm {ker} (f)} Jest to subspazio W {DisplayStyle v} , Chwila w \u2061 ( F ) {DisplayStyle operatorname {im} (f)} Jest to subspazio W {displaystyle W} . Z W {DisplayStyle v} To jest W {displaystyle W} Zako\u0144czyli rozmiar, twierdzenie o rozmiarach zapewnia, \u017ce: [dwunasty] ciemny \u2061 ( K To jest R ( F ) ) + ciemny \u2061 ( w \u2061 ( F ) ) = ciemny \u2061 ( W ) . m Om\u00f3w to, \u017ce empiry Em h repane (f)) Hyortortor m h\u00e9p) m reg\u00e9) m\u0119\u017cczyzna). Twierdzenie to stanowi niezb\u0119dne i wystarczaj\u0105ce kryterium w celu ustalenia istnienia transformacji liniowej. Transformacja liniowa F : W \u2192 W {DisplayStyle fcolon vto v} To endomorfizm W . {DisplayStyle V.} Zestaw wszystkich endomorfizm\u00f3w Koniec ( W ) {displayStyle {text {end}} (v)} wraz z dodaniem, sk\u0142adem i mno\u017ceniem dla skalarnego, jak opisano powy\u017cej, tworz\u0105 algebr\u0119 asocjacyjn\u0105 z jednostk\u0105 na polu K {DisplayStyle K} : w szczeg\u00f3lno\u015bci tworz\u0105 pier\u015bcie\u0144 i przestrze\u0144 wektorow\u0105 K . {DisplayStyle K.} Element to\u017csamo\u015bci tej algebry jest transformacja to\u017csamo\u015bci W . {DisplayStyle V.}  Biietyczny endomorfizm W {DisplayStyle v} nazywa si\u0119 automorfizmem W . {DisplayStyle V.} Sk\u0142ad dw\u00f3ch automorfizm\u00f3w jest ponownie automorfizmem i zestawem wszystkich automorfizm\u00f3w W {DisplayStyle v} tworzy grup\u0119, og\u00f3lna grupa liniowa W W {DisplayStyle v,} zwany A W T ( W ) {DisplayStyle Mathrm {Aut} (V)} O G L ( W ) . {DisplayStyle Mathrm {gl} (v).}  Je\u015bli rozmiar W {DisplayStyle v} To koniec, wystarczy F {DisplayStyle f} obaj iniekcyjnie, aby m\u00f3c potwierdzi\u0107, \u017ce jest r\u00f3wnie\u017c subratywna (dla twierdzenia o rozmiarze). Ponadto izomorfizm End( W ) \u2192 M ( N ) {displayStyle {textrm {end}} (v) do m (n)} w\u015br\u00f3d endomorfizm\u00f3w i macierzy kwadratowych N \u00d7 N {DisplayStyle n} Opisane powy\u017cej jest to izomorfizm algebre. Grupa automorfizm\u00f3w W {DisplayStyle v} jest izomorficzny dla og\u00f3lnej grupy liniowej G L ( N W K ) {DisplayStyle Mathrm {gl} (n, k)} wszystkich macierzy N \u00d7 N {DisplayStyle n} odwracalne do warto\u015bci w K . {DisplayStyle K.}  Oni s\u0105 A W {DisplayStyle A,}  B {DisplayStyle B} To jest C {DisplayStyle C} zestawy i s\u0105 F ( A W C ) {DisplayStyle f (a, c)} To jest F ( B W C ) {DisplayStyle f (b, c)} Rodziny funkcji od A {DisplayStyle A} W C {DisplayStyle C} e da B {DisplayStyle B} W C {DisplayStyle C} odpowiednio. Wszystko w porz\u0105dku \u03d5 : A \u2192 B {DisplayStyle Phi Colon Ato B} wyj\u0105tkowo okre\u015bla korespondencj\u0119 \u03d5 \u2217 : F ( B W C ) \u2192 F ( A W C ) {DisplayStyle phi ^{*} Colon f (b, c) do f (a, c)} dzwoni\u0107 Zatrzymaj si\u0119 Poprzez \u03d5 W {DisplayStyle Phi,} wysy\u0142anie F {DisplayStyle f} W F \u2218 \u03d5 . {DisplayStyle FCIRC Phi.}  Je\u015bli konkretnie uwa\u017caj\u0105 si\u0119 za A = W {DisplayStyle a = v} To jest B = W {DisplayStyle B = w} Dwie przestrzenie wektorowe na polu K = C {DisplayStyle k = c} I zamiast ca\u0142kowicie przyjmowa\u0107 F ( W W K ) {DisplayStyle f (v, k)} To jest F ( W W K ) {DisplayStyle f (w, k)} Rozwa\u017cane s\u0105 podw\u00f3jne przestrzenie W \u2217 {DisplayStyle v^{*}} To jest W \u2217 {displaystyle W^{*}} Istnieje ka\u017cda transformacja liniowa \u03d5 : W \u2192 W {DisplayStyle Phi Colon vto w} Odpowiednie ograniczenie odci\u0105gania mo\u017cna powi\u0105za\u0107 za po\u015brednictwem \u03d5 {DisplayStyle Phi} lub funkcja \u03d5 \u2217 : W \u2217 \u2192 W \u2217 {DisplayStyle Phi^{*} Colon W^{*} do v^{*}} kt\u00f3ry przyjmuje nazw\u0119 transponowane Z \u03d5 . {DisplayStyle Phi.}  Wynika bezpo\u015brednio ze sposobu zdefiniowania operacji w W \u2217 {DisplayStyle v^{*}} To jest W \u2217 {displaystyle W^{*}} To \u03d5 \u2217 {DisplayStyle phi ^{*}} To z kolei liniowe. Z prostymi obliczeniami mo\u017cesz zobaczy\u0107, \u017ce naprawisz podstawy W {DisplayStyle v} To jest W {displaystyle W} i odpowiednie duali w W \u2217 {DisplayStyle v^{*}} To jest W \u2217 W {displaystyle W^{*},} Matryca transformacji zwi\u0105zana z \u03d5 \u2217 {DisplayStyle phi ^{*}} Jest to transpozycja \u03d5 . {DisplayStyle Phi.}  Wynika z definicji funkcjonalnej L \u2208 W \u2217 {DisplayStyle Lambda w w^{*}} jest wysy\u0142any do zera przez \u03d5 \u2217 {DisplayStyle phi ^{*}} Tylko wtedy, gdy obraz \u03d5 {DisplayStyle Phi} Jest zawarty w j\u0105drze L {DisplayStyle Lambda} to znaczy wskazanie W \u22a5 {DisplayStyle u^{Perp}} subspazio funkcjonalnego, kt\u00f3ry anuluje W \u2282 W {displaystyle Usubset W} , Je\u015bli to K To jest R ( \u03d5 \u2217 ) \u2286 ( \u2111 \u03d5 ) \u22a5 {DisplayStyle Mathrm {ker} (phi ^{*}) subseteq (in the phi) ^{PPP}} . Ponadto, z tej samej definicji, wywnioskowane jest, \u017ce funkcjonalny M \u2208 W \u2217 {DisplayStyle Mu in v^{*}} Jest to obraz funkcjonalnej . \u2208 W \u2217 {DisplayStyle eta w w^{*}} (to znaczy M = \u03d5 \u2217 ( . ) {DisplayStyle mu = phi ^{*} (eta)} ja tylko wiem . {DisplayStyle eta} anuluj j\u0105dro \u03d5 {DisplayStyle Phi} , Lub \u2111 ( \u03d5 \u2217 ) \u2286 ( K To jest R \u03d5 ) \u22a5 {DisplayStyle in (phi ^{*}) subseteq (mathrm {ker} phi) ^{PPP}} . W przypadku W {DisplayStyle v} To jest W {displaystyle W} s\u0105 sko\u0144czonymi rozmiarem, wywnioskowane s\u0105 z twierdzenia o wielko\u015bci i relacjach ciemny \u2061  W = K To jest R \u03d5 + ( K To jest R \u03d5 ) \u22a5 {DisplayStyle Dim ~ v = Mathrm {ker} phi +(mathrm {ker} phi)^{PPP}} To jest ciemny \u2061  W \u2217 = ciemny \u2061  W = \u2111 \u03d5 + ( \u2111 \u03d5 ) \u22a5 {DisplayStyle Dim ~ w^{*} = Dim ~ w = Imfolion +(Imfied)^{PPP}}} \u017ce dwa poprzednie inkluzje s\u0105 pod ka\u017cdym wzgl\u0119dem r\u00f3wnowa\u017cne. Mno\u017cenie F ( W ) = A W W {DisplayStyle f (v) = off,} W dowolnej przestrzeni wektorowej K W {DisplayStyle K,} dla sta\u0142ego ustalonego A \u2208 K . {DisplayStyle Ain K.}  Obr\u00f3t p\u0142aszczyzny euklidesowej w odniesieniu do pochodzenia sta\u0142ego naro\u017cnika. Odbicie planu euklidesowego w odniesieniu do odbytnicy przechodz\u0105cego przez pochodzenie. Projekcja przestrzeni wektorowej W {DisplayStyle v} rozk\u0142adane w bezpo\u015brednim sumie: V=U\u2295W{displaystyle V=Uoplus W} Na jednym z dw\u00f3ch podwodnych W {displayStyle u} O W . {displaystyle W.}  Matryca A {DisplayStyle A} typ M \u00d7 N {DisplayStyle mtimes n} Z rzeczywistymi warto\u015bciami definiuje transformacj\u0119 liniow\u0105: LA:Rn\u2192Rm,LA(v)=Av,{DisplayStyle L_ {A} Colon Mathbb {r} ^{n} do Mathbb {r} ^{m}, qquad l_ {a} (v) = av,} Gdzie A W {DisplayStyle of} Jest to produkt A {DisplayStyle A} To jest W . {DisplayStyle v.} Ka\u017cda liniowa transformacja mi\u0119dzy przestrzeniami wektorowymi o zako\u0144czonym rozmiarze jest zasadniczo tego typu: patrz nast\u0119puj\u0105cy rozdzia\u0142. Integral funkcji rzeczywistej w przedziale definiuje map\u0119 liniow\u0105 z przestrzeni wektorowej funkcji ci\u0105g\u0142ych zdefiniowanych w przedziale w przestrzeni wektorowej R . {DisplayStyle Mathbb {r}.}  Pochodna definiuje map\u0119 liniow\u0105 z przestrzeni wektorowej wszystkich funkcji pochodnych w pewnym otwartym przedziale R {DisplayStyle Mathbb {r}} w przestrzeni wszystkich funkcji. Przestrze\u0144 C {DisplayStyle Mathbb {C}} Liczby z\u0142o\u017cone maj\u0105 z\u0142o\u017con\u0105 struktur\u0119 przestrzeni wektorowej o wielko\u015bci 1, a tak\u017ce kr\u00f3lewskiej przestrzeni wektorowej o wielko\u015bci 2. koniugacja f:C\u2192C,f(z)=z\u00af{DisplayStyle Fcolon Mathbb {C} do Mathbb {C}, Qquad f (z) = {bar {z}}} to mapa R {DisplayStyle Mathbb {r}} -Lel, ale nie C {DisplayStyle Mathbb {C}} -Linear: W rzeczywisto\u015bci w\u0142asno\u015b\u0107 jednorodno\u015bci jest wa\u017cna tylko dla prawdziwych skal\u00f3w. ^  S. Just, pag. 82 .  ^  Hoffman, Kunze, Pag. 67 .  ^  Hoffman, Kunze, Pag. 68 .  ^  Hoffman, Kunze, Pag. 80 .  ^  S. Just, pag. 86 .  ^  S. Just, pag. 96 .  ^  Ray Alden Out, Algebra liniowa , 2d ed, 1971, s. 1 69, ISBN 0-13-536797-2, OCLC 139865 . URL skonsultowa\u0142 si\u0119 8 stycznia 2022 r. .  ^  S. Just, pag. 84 .  ^  S. Just, pag. 85 .  ^  S. Just, pag. 90 .  ^  S. Just, pag. 91 .  ^  S. Just, pag. 92 .  Serge Lang, Algebra liniowa , Turin, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2. Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Algebra liniowa , 2\u00aa ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice-Hall, Inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/transformacja-liniowa-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Transformacja liniowa – Wikipedia"}}]}]