Twierdzenie o przekątności – Wikipedia

W algebrze liniowej, Twierdzenie o przekątności Jest to narzędzie, które zapewnia niezbędny i wystarczający stan, aby kwadratowa matryca może być przekątna.

Jest

${DisplayStyle A}$

kwadratowa macierz rzędu

${DisplayStyle n}$

z wartościami w polu

${DisplayStyle K}$

(jak pole liczby rzeczywistych lub złożonych). Charakterystyczny wielomian

${DisplayStyle A}$

Jest to wielomian klasy N zdefiniowany w następujący sposób:

after-content-x4

${DisplayStyle P (lambda) = det (a-lambda i)}$

Korzenie

${DisplayStyle Lambda _ {1}, kropki lambda _ {k}}$

Z

${DisplayStyle P (Lambda)}$

należący do pola

${DisplayStyle K}$

są samozadowoleniami

${DisplayStyle A}$

. ^[Pierwszy] Każdy autoalor

${DisplayStyle Lambda _ {i}}$

Ma swoją mnogość jako źródło charakterystycznego wielomianu, zwanego wielokrotnością algebraiczną. ^[2] Mówi się, że samowystarczalność z algebraiczną mnogością 1 jest prosta.

L’Autospace

${DisplayStyle v_ {i}}$

odnoszące się do ładunku

${DisplayStyle Lambda _ {i}}$

Jest to zestaw wszystkich autoverers z

${DisplayStyle Lambda _ {i}}$

Jako wartość siebie, plus null nośnik: ^[3]

${DisplayStyle v_ {i} = {and |, av = lambda _ {i} v} = {v, |, (a-Lambda _ {i} i) v = 0} = ker (a-Lambda _ {i} I).}$

Geometryczna mnogość (lub nieważność)

${DisplayStyle Lambda _ {i}}$

Wymiar autoprzestrze

${DisplayStyle v_ {i}}$

względne

${DisplayStyle Lambda _ {i}}$

. Mówi się, że samoocena, dla której równość jest warta między dwiema mnogością (algebraiczną i geometryczną), jest regularna.

Oświadczenie [[[ zmiana |. Modifica Wikitesto ]

Twierdzenie o przekątności stwierdza

${DisplayStyle A}$

Można go przelewać, jeśli i tylko wtedy, gdy oba następujące warunki zostaną weryfikowane:

• Suma algebraicznych multipliczności jego samozadowoleń jest
  ${DisplayStyle n}$

  .

• Zbieżne są algebraiczne i geometryczne mnożniki każdej samooceny.

Lub równoważnie, to

${DisplayStyle A}$

Można go przekąsić, jeśli i tylko wtedy, gdy suma geometrycznych multipliczności jego samozadowoleń jest

${DisplayStyle n}$

.

Demonstracja [[[ zmiana |. Modifica Wikitesto ]

Przed przystąpieniem do demonstracji musisz wykonać przesłankę: pojazdy są nosicielem non -null, dla którego endomorfizm

${DisplayStyle tcolon vto v}$

(Gdzie

${DisplayStyle v}$

Jest to przestrzeń wektorowa) wysyła przewoźnika w ilocie tego przewoźnika dla skalarnego. Ta wspinaczka nazywa się własną wartością. Każdy endomorfizm może być powiązany, po ustawieniu podstawy, do jednej macierzy zwanej macierzy powiązanej. Ta macierz jest przekątna, jeśli istnieje podstawa

${DisplayStyle v}$

składający się z autoversji samowystarczalności.

Rozważ endomorfizm

${DisplayStyle tcolon vto v}$

, dzieci

${DisplayStyle n = dim v}$

, powiązana macierz

${DisplayStyle A}$

i Undernospace

${DisplayStyle w = v_ {1} oplu {v_ {2}} oplus ldots oplus v_ {k},}$

Gdzie

${DisplayStyle v_ {i}}$

Jest to samokilanie generowane przez

${DisplayStyle Lambda _ {i}}$

kto jest samozadowoleniem matrycy

${DisplayStyle A}$

. Każda z tych samozadowoleń jest odrębna, a zatem przecięcie par autospazi jest nośnikiem zerowym.

Nie

${DisplayStyle Dim w = n}$

Jeśli i tylko wtedy, gdy macierz

${DisplayStyle A}$

Można go przekąsić. Ta równość jest w rzeczywistości równoważna istnienia podstawy własnej pozycji.

Musimy wykazać, że ta równość występuje, jeśli i tylko wtedy, gdy wystąpią warunki twierdzenia o przekątności.

Rozważamy następujące DisupualNaza:

${DisplayStyle Dim w = dim v_ {1}+dim v_ {2}+ldots+dim v_ {k} = m_ {text {geo}} (lambda _ {1})+m_ {text {geo}} (Lambda _ _ {2})+ldots+m_ {text {geo}} (Lambda _ {k}) leq m_ {text {alg}} (lambda _ {1})+m_ {text {alg}} (lambda _ {2} ) +ldots +m_ {text {alg}} (lambda _ {k}) leq n,}$

Gdzie

${DisplayStyle m_ {text {alg}} (lambda)}$

To jest

${DisplayStyle m_ {text {Geo}} (lambda)}$

Są odpowiednio algebraiczną i geometryczną mnogością ładunku

${DisplayStyle Lambda}$

. Wyraźnie

${DisplayStyle Dim w = n}$

Jeśli i tylko wtedy, gdy obie nierówności są jednoznaczne. Suma multipliczności algebraicznej jest równa sumie mnożności geometrycznej, jeśli i tylko wtedy

${DisplayStyle m_ {text {geo}} (Lambda _ {i}) = m_ {text {alg}} (Lambda _ {i})}$

, dla każdego

${DisplayStyle i}$

. Suma wielopłaszczych algebraicznych jest równa

${DisplayStyle n}$

Jeśli i tylko wtedy, gdy ma charakterystyczny wielomian

${DisplayStyle n}$

Korzenie w terenie liczyły się z ich mnogością.

Pierwszy punkt twierdzenia implikuje, że charakterystyczny wielomian ma wszystkie korzenie w terenie, to znaczy, że można go stworzyć jako produkt wielopisu klasy 1. Ponadto, zwany, zwany

${DisplayStyle m_ {text {alg}} (lambda)}$

To jest

${DisplayStyle m_ {text {Geo}} (lambda)}$

odpowiednio algebraiczna i geometryczna mnogość samego poziomu

${DisplayStyle Lambda}$

, następujące nierówności są ważne dla każdej samowystarczalności:

${DisplayStyle 1Leq m_ {text {Geo}} (lambda) leq m_ {text {alg}} (lambda) leq n_ {}}$

W związku z tym twierdzenie o przekątności ma następujące fakty jako następstwo:

Sprawdzamy, czy następująca matryca nie jest przekątna:

${displayStyle a = {początek {bmatrix} 1 i 1 \ 0 i 1 \ end {bmatrix}}}$

Jego charakterystyczny wielomian

${DisplayStyle p (x) = (1-x)^{2}}$

ma tylko jeden korzeń (czyli 1 od tego czasu

${DisplayStyle (1-1)^{2} = 0}$

), z algebraiczną wielokrotnością 2. Zatem pierwszy punkt twierdzenia jest zadowolony. W tym momencie geometryczna mnogość autovalore 1 może wynosić tylko 1 lub 2. Jest to tak samo jak wielkość jądra

${DisplayStyle B = a-i.}$

Na matrycy

${DisplayStyle B}$

Ma zatem rangę, dlatego dla twierdzenia o randze jego jądro ma rozmiar

${DisplayStyle 2-1 = 1.}$

Tak więc geometryczna mnogość wynosi 1, algebraiczna wynosi 2, dlatego matryca nie jest przekątna.

• United.it – ​​Diagonalizacja ( PDF ), Czy www2.dm.unito.it . URL skonsultowano się z 12 lutego 2014 r. (Zarchiwizowane przez Oryginał URL 22 lutego 2014) .