Yomiale negatyw – Wikipedia

Posted on December 28, 2021 by lordneo

before-content-x4

Pod względem prawdopodobieństwa i statystyki a Negatywne prawo dwumianowe jest rozkładem dyskretnego prawdopodobieństwa liczby niepowodzeń w serii niezależnych testów Bernoulli i identycznie rozmieszczonych z stałą liczbą $N$ sukcesu. Na przykład jest to rozkład prawdopodobieństwa liczby akumulatorów uzyskanych w serii baterii lub twarzy, dopóki nie zobaczysz $N$ twarze. Mówiąc dokładniej, opisuje następującą sytuację: Doświadczenie to seria niezależnych wydruków, co daje sukces z prawdopodobieństwem $P$ (stałe przez całe doświadczenie) i awaria z dodatkowym prawdopodobieństwem 1- $P$ . To doświadczenie trwa do momentu uzyskania danej liczby $N$ sukcesu. Zmienna losowa reprezentująca liczbę awarii, przed uzyskaniem podanej liczby $N$ Sukces, a następnie nastąpił negatywne prawo dwumianowe. Jego parametry to: liczba $N$ oczekiwany sukces i prawdopodobieństwo $P$ powodzenie. Parametr $N$ czasami jest odnotowane $R$ , jak na ilustracji przeciwnej.

after-content-x4

Prawo jest uogólnione w dwóch parametrach $R$ I $P$ , Lub $R$ może przyjmować ściśle pozytywne wartości rzeczywiste. To uogólnienie jest również znane jako Loi de Band ^{[[[ 2 ]}, Na cześć matematyka George’a Pólyi.

Table of Contents

Definicja pierwszego całego parametru [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Ujemne prawo dwumianowe zależy od dwóch parametrów, ale możliwe jest kilka innych ustawień. Powszechna konfiguracja wprowadza naturalną liczbę całkowitą $N$ nie zero i prawdziwe non -zero ^{[[[ 3 ]} $P$ między 0 a 1. często wprowadza dodatkowe prawdopodobieństwo $Q = 1 - P$ . Masowa funkcja zmiennej losowej rozłożonej zgodnie z ujemnym prawem dwumianowym parametrów $N$ I $P$ Weź następujący formularz:

{DisplayStyle f (k; n, p) = {k+n-1 wybierz k} p^{n} q^{k} ~~~ forall k = 0,1, kropki}

${displaystyle f(k;n,p)={k+n-1 choose k}p^{n}q^{k}~~~forall k=0,1,dots }$

Lub

after-content-x4

{DisplayStyle {k+n-1 wybierz k}}

${displaystyle {k+n-1 choose k}}$ jest współczynnikiem dwumianowym.

Negatywne prawo dwumianowe jest interpretowane jako prawo prawdopodobieństwa zmiennej losowej $X$ który ma liczbę niepowodzeń zaobserwowanych przed uzyskaniem $N$ sukces serii niezależnych doświadczeń, wiedząc, że prawdopodobieństwo sukcesu jest $P$ . Więc

{DisplayStyle Mathbb {p} (x = k) = f (k; n, p) = {k+n-1 wybierz n-1}, p^{n}, q^{k} ~~~ forall k = 0,1, kropki}

${displaystyle mathbb {P} (X=k)=f(k;n,p)={k+n-1 choose n-1},p^{n},q^{k}~~~forall k=0,1,dots }$

Masowa funkcja dwumianowego ujemnego można również zapisać w postaci

{DisplayStyle f (k; n, p) = {-n wybierz k} p^{n} (-q)^{k} ~~~ forall k = 0,1, kropki}

${displaystyle f(k;n,p)={-n choose k}p^{n}(-q)^{k}~~~forall k=0,1,dots }$

Lub

{displayStyle {-n wybierz k}}

${-n choose k}$ jest uogólnionym współczynnikiem dwumianowym dla negatywnej liczby całkowitej i jest zdefiniowany przez

{displayStyle {-n wybierz k} = {frac {(-n) (-n-1) cdots (-n-k+1)} {k!}}}

${-n choose k}={frac {(-n)(-n-1)cdots (-n-k+1)}{k!}}$ . To wyrażenie uzasadnia nazwę negatywnego prawa dwumianowego nadanego tego prawa prawdopodobieństwa. Ułatwia również, dzięki zastosowaniu wzoru pary ujemnej, obliczanie jej nadziei

{DisplayStyle Mathbb {e} [x] = {frac {nq} {p}}}}

${displaystyle mathbb {E} [X]={frac {nq}{p}}}$ i jego wariancja

{DisplayStyle var (x) = {frac {nq} {p^{2}}}}}

${displaystyle Var(X)={frac {nq}{p^{2}}}}$ .

Jeśli zmienna losowa $X$ przestrzega negatywnego dwumianowego prawa parametrów $N$ I $P$ Następnie możemy odnotować ^{[[[ 4 ]}

{DisplayStyle xsim {Mathcal {Bn}} (n, p)}

${displaystyle Xsim {mathcal {BN}}(n,p)}$ .

Alternatywne definicje [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Czasami znajdujemy następującą alternatywną definicję: negatywne prawo dwumianowe ^{[[[ 5 ]}parametry $N$ I $P$ , nazywane również Prawo Pascal odróżnić go od pierwszej definicji ^{[[[ 6 ]}, jest prawem losowej zmiennej $I$ w tym liczba testów wymaganych przed uzyskaniem $N$ powodzenie. Więc ${DisplayStyle Mathbb {p} (y = m) = {m-1 wybierz m-n} p^{n} q^{m-n} = {m-1 wybierz n-1} p^{n} q^{m-n} ~ ~~ forall m = n, n+1, kropki}$

{DisplayStyle Mathbb {e} [x] = mathbb {e} [y] -n = {frac {n} {p}} -n = {frac {nq} {p}} {et}} opera {varname opera {varname opera {varname operę } (X) = operatorname {var} (y) = {frac {nq} {p^{2}}}}

${displaystyle mathbb {E} [X]=mathbb {E} [Y]-n={frac {n}{p}}-n={frac {nq}{p}}{text{ et }}operatorname {Var} (X)=operatorname {Var} (Y)={frac {nq}{p^{2}}}}$ .

Ujemne prawo dwumianowe jest czasem definiowane jako liczba sukcesów zaobserwowanych przed uzyskaniem podanej liczby $N$ szachy, co prowadzi do interweniowania roli parametrów $P$ I $Q$ a także słowa „sukces” i „porażka”.

Poniżej weźmiemy pierwszą definicję, aby zdefiniować negatywne prawo dwumianowe.

Uogólnienie na pierwszy prawdziwy parametr [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Możliwe jest uogólnienie definicji ujemnego prawa dwumianowego na parametr $R$ Ściśle pozytywny rzeczywistość (który następnie zastępuje cały parametr $N$ ) Zastosowanie uogólnionych współczynników dwumianowych. Dokładniej, dla $R$ ściśle pozytywny prawdziwy i $P$ Prawdziwe niezerowe między 0 a 1, negatywne (uogólnione) dwumianowe prawo parametrów $R$ I $P$ to dyskretne prawo określone przez funkcję masową

{DisplayStyle f (k; r, p) = {k+r-1 wybierz k} p^{r} q^{k} = {frac {(k+r-1) _ {k}} {k!} } p^{r} q^{k} = {frac {gamma (k+r)} {k! gamma (r)}} p^{r} q^{k} ~~~ forall k = 0,1 , kropki}

${displaystyle f(k;r,p)={k+r-1 choose k}p^{r}q^{k}={frac {(k+r-1)_{k}}{k!}}p^{r}q^{k}={frac {Gamma (k+r)}{k!Gamma (r)}}p^{r}q^{k}~~~forall k=0,1,dots }$

Lub

{displayStyle (x) _ {k} = x (x-1) kropki (x-k+1)}

${displaystyle (x)_{k}=x(x-1)dots (x-k+1)}$ wyznacza malejące czynniki i

{DisplayStyle Gamma}

$Gamma$ wyznacza funkcję gamma. Ta definicja pozostaje oczywiście zgodna z definicją w przypadku całej konfiguracji. Negatywne prawo dwumianowe uogólnione na prawdziwy parametr jest czasem nazywane Loi de Band ^{[[[ 2 ]}. W ramach tego uogólnienia nie można już interpretować prawa pod względem sukcesu.

Funkcja dystrybucyjna [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Funkcję dystrybucji można wyrazić za pomocą funkcji regularnej wersji beta:

{DisplayStyle f (k) = i_ {p} (n, k+1)}

${displaystyle F(k)=I_{p}(n,k+1)}$ .

Demonstracja przez nawrót $k$ dowodzi tego

{DisplayStyle f (k) = 1-Q^{k+1}, sum _ {i = 0}^{n-1} {k+i wybieram i}, p^{i}}

${displaystyle F(k)=1-q^{k+1},sum _{i=0}^{n-1}{k+i choose i},p^{i}}$ .

Mieszanka praw gamma-poisson [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Negatywne prawo dwumianowe (powszechne) z parametrami $R$ ściśle pozytywny prawdziwy i

{DisplayStyle p = (1+theta)^{-1}}

${displaystyle p=(1+theta )^{-1}}$ Lub $th$ jest ściśle pozytywny rzeczywistość jest równa mieszaninie praw gamma-poisson, gdzie $R$ I $th$ są parametrami prawa gamma.

Demonstracja

Albo

{DisplayStyle x_ {Lambda}}

$X_{{lambda }}$ Zgodnie z parametrem prawem rybnym $L$ I

{DisplayStyle f (Lambda; r, theta)}

$f(lambda ;r,theta )$ Gęstość prawa gamma parametrów $R$ I $th$ (ściśle pozytywny rzeczywistość). Jeśli $X$ wyznacza zmienną losową z mieszanki, a następnie dla dowolnej liczby całkowitej $k$ na

{DisplayStyle {begin {wyrównany} mathbb {p} (x = k) & = int _ {0}^{+infty} mathb} mathbb {p} (x_ {lamma} = k), f (Lambda; r, theta theta ), Mathrm {d} lambda \ & = int _ {0} ^{+infrac {dfrac {lambda ^{k} operatorname {e} ^{-Lambda} {k!}}} {Lambda ^{R-11} Operatorameameameameam {e} ^{-lamma} {r) ^{r}}, mathrm {d} lambda \ & = int _ {0} ^{+infrac {dfrac {lamma lambda ^{k+r-1} operatorame { e} ^{-lamma {frac {frac {theta}} {theta}}}} {k! gamma (r) theta ^{r}}}, mathrm {d} Lambda end {wyrównany}}}}}}

Zmienna zmiana

{DisplayStyle t = lambda, (1+theta) theta ^{-1}}

${displaystyle t=lambda ,(1+theta )theta ^{-1}}$ prowadzi do :

{DisplayStyle {begin {wyrównany} mathbb {p} (x = k) & = left ({dfrac {theta} {theta} {theta +1}} right)^{r +k} {dfrac {1} {gamma (gamma ( r) k! theta ^{r}}} int _ {0} ^{+infty} t ^{k+r-1} operatorame {e} ^{-t}, mathrm {d} t \ & = {dfrac {Gammaa (gamma (gamma). K +r)} {gammaa (r) k!}} Lewy ({dfrac {1}} {The +1}} right) k} end {wyrównany}}}}}}}}}}}}}}

Na stawianiu

{DisplayStyle q = theta (1+theta)^{-1}}

${displaystyle q=theta (1+theta )^{-1}}$ , Zwracamy uwagę $P + Q = 1$ I

{DisplayStyle Mathbb {p} (x = k) = {dfrac {gamma (k+r)} {gamma (r) k!}} p^{r} q^{k}}}.

Konwergencja w kierunku prawa rybnego [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Negatywne dwumianowe prawo parametrów $N$ I

{DisplayStyle p = n (n+lambda)^{-1}}

${displaystyle p=n(n+lambda )^{-1}}$ z $L$ Prawdziwy ustalony ściśle pozytywny zbiega słabo w kierunku prawa parametrów rybnych $L$ Kiedy $N$ zbiega się w kierunku nieskończoności. Innymi słowy, jeśli

{DisplayStyle x_ {n} sim {Mathcal {bn (n, n/(n+lambda))}}}}

${displaystyle X_{n}sim {mathcal {BN(n,n/(n+lambda ))}}}$ I

{DisplayStyle xsim {Mathcal {p}} (lambda)}

${displaystyle Xsim {mathcal {P}}(lambda )}$ Mamy więc zbieżność zgodnie z prawem

{DisplayStyle x_ {n} Rightarrow x}

${displaystyle X_{n}rightarrow X}$ .

Demonstracja

Zauważamy, że masowa funkcja

{DisplayStyle x_ {n}}

$X_{n}$ może przepisać:

{DisplayStyle Mathbb {p} (x_ {n} = k) = {frac {lambda ^{k}} {k!}}, {frac {a_ {n+k-1} ^{k}} {(n+} {(n+ lambda)^{k}}}, {frac {1} {left (1+ {frac {lambda} {n}} right)^{n}}}}}}

Lub

{DisplayStyle A_ {n+K-1}^{k}}}

${displaystyle A_{n+k-1}^{k}}$ to liczba permutacji lub układ $k$ elementy wśród $N + k - Pierwszy$ .

Następnie mamy konwergencję

{DisplayStyle lim _ {to inffty} mathbb {p} (x_ {n} = k) = k) = {frac {lambda ^{k}} {k!}}, 1, {frac {1}} exp (lambada exp (lambada exp (lambada exp (Lambada} exp (Lambada )}}. = Mathbb {p} (x = k)}.

Link z prawem geometrycznym [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Ponieważ istnieją dwie definicje negatywnego prawa dwumianowego, istnieją dwie definicje prawa geometrycznego. Jeśli modeluje liczbę awarii przed pierwszym sukcesem, odpowiada ujemnemu przepisowi dwumianowe parametrów 1 i $P$ .

{DisplayStyle {Mathcal {g}} (p) = {Mathcal {bn}} (1, p)}

${displaystyle {mathcal {G}}(p)={mathcal {BN}}(1,p)}$ .

I $X N$ jest losową zmienną rozmieszczoną zgodnie z ujemnym prawem dwumianowym parametrów $N$ I $P$ , WIĘC $X N$ jest sumą $N$ Niezależne zmienne losowe rozmieszczone zgodnie z prawem parametrów geometrycznych $P$ . Ograniczenie centralne twierdzi również, że wskazuje to $X N$ jest w przybliżeniu normalne, dla $N$ wystarczająco duży.

Link z prawem dwumianowym [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Ponadto, jeśli $I k + N$ jest zmienną losową rozmieszczoną zgodnie z dwumianowym prawem parametrów $k + N$ I $P$ , WIĘC

{displayStyle {begin {wyrównany} mathbb {p} (x_ {n} leq k) & {} = i_ {p} (n, k+1) \ & {} = 1-i_ {1-p} (k+ 1, n) \ & {} = 1-i_ {1-p} ((k+n)-(n-1), (n-1) +1) \ & {} = 1-MATHBB {p} ( Y_ {k+n} leq n-1) \ & {} = mathbb {p} (y_ {k+n} geq n) .end {wyrównany}}}

${displaystyle {begin{aligned}mathbb {P} (X_{n}leq k)&{}=I_{p}(n,k+1)\&{}=1-I_{1-p}(k+1,n)\&{}=1-I_{1-p}((k+n)-(n-1),(n-1)+1)\&{}=1-mathbb {P} (Y_{k+n}leq n-1)\&{}=mathbb {P} (Y_{k+n}geq n).end{aligned}}}$

Ostatni wiersz odbywa się w następujący sposób: jest to prawdopodobieństwo, że później $k + N$ Testy, są przynajmniej $N$ powodzenie. Zatem negatywne prawo dwumianowe może być postrzegane jako wzajemność prawa dwumianowego.

Somme stabilność [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Suma $k$ niezależne zmienne losowe i rozpowszechnione zgodnie z prawem ujemnym parametrów dwumianowych $P$ i odpowiednio $N$ _PierwszyW $N$ ₂, …, $N$ _kjest nadal negatywnym prawem dwumianowym, parametrów $P$ I $N = N Pierwszy +\dots+ N k$ . Ta właściwość jest łatwo wykazana z wyrażenia momentów generujących funkcję.

Czas oczekiwania w procesie Bernoulli [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Dla każdej całości $N$ , negatywne prawo dwumianowe to rozkład sukcesu i niepowodzeń w serii testów Bernoulli IID. Dla $k + N$ Testy Bernoulli, z prawdopodobieństwem sukcesu $P$ , negatywne prawo dwumianowe daje prawdopodobieństwo $k$ awarie i $N$ Sukces, ostatni losowanie jest sukcesem. Innymi słowy, negatywne prawo dwumianowe jest rozkładem liczby niepowodzeń wcześniej $N$ -sukces w testach Bernoulli, prawdopodobieństwa sukcesu $P$ .

Rozważ następujący przykład. Kilka razy uruchamiamy uczciwe kości, a Face 1 jest uważany za sukces. Prawdopodobieństwo sukcesu w każdym teście wynosi 1/6. Liczba testów niezbędnych do uzyskania 3 sukcesów należy do zestawu nieskończonego {3, 4, 5, 6, …}. Ta liczba testów jest zmienną losową rozmieszczoną zgodnie z ujemnym prawem dwumianowym (przesunięcie, ponieważ całość zaczyna się od 3, a nie od 0). Liczba awarii przed trzecim sukcesem należy do całego {0, 1, 2, 3, …}. Ta liczba awarii jest również rozdzielana zgodnie z ujemnym prawem dwumianowym.

Prawo rybne „nadmiernie obstraszone” [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Negatywne prawo dwumianowe, w szczególności w alternatywnej parametryzacji opisanej powyżej, jest interesującą alternatywą dla prawa rybnego. Jest to szczególnie przydatne do dyskretnych danych, z wartościami w dodatnim zestawie dodatnim, którego wariancja empiryczna przekracza średnią empiryczną. Jeśli ryba jest używana do modelowania takich danych, średnia i wariancja muszą być równe. W takim przypadku obserwacje są „nadmiernie obstawione” w porównaniu z modelem FISH. Ponieważ ujemne prawo dwumianowe ma dodatkowy parametr, można je wykorzystać do dostosowania wariancji niezależnie od średniej.

↑ Negatywne prawo dwumianowe można uogólnić w ściśle pozytywnym parametrze rzeczywistym, w tym przypadku odnotowujemy parametr $R$ zamiast $N$ Ze względu na przejrzystość. Dla tego uogólnienia wszystkie wzory infoboitus pozostają prawdziwe poprzez zmianę wystąpienia $N$ W $R$ . Współczynnik dwumianowy w funkcji masy staje się następnie uogólnionym współczynnikiem dwumianowym.
↑ ^{A et b}Nie mylić z prawem Markov-Pólyi.
↑ Prawdopodobieństwo P nie może być zerowe, ponieważ w przeciwnym razie nie można by obserwować, na zakończeniu N oczekiwany sukces. Poza tym zauważymy, że jeśli zastąpimy 0 za P W formule funkcji masowej, ten ostatni zawsze byłby zerowy, niezależnie od wartości k , które nie byłyby odpowiednie dla funkcji masy, której suma na wszystkie wartości k Musi być wart 1.
↑ Astrid Jourdan i Célestin C Kokonendji ” Przeciążenie i uogólniony ujemny model dwumianowy », Przegląd statystyki stosowanej W tom. 50, 2002 W P. 73-86 ( Czytaj online )
↑ D. Ghorbanzadeh, Prawdopodobieństwa: poprawne ćwiczenia , Technip, 1998 ( Czytaj online ) W P. 156 .
↑ G. Millot, Zrozum i przeprowadzaj testy statystyczne za pomocą R , Superior Boeck, 2018 ( Czytaj online ) W P. 269-271 .

Powiązane artykuły [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Bibliografia [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

(W) Joseph M. Hilbe (W) W Ujemna regresja dwumianowa , Cambridge University Press, 2007 ( Czytaj online )

after-content-x4

Yomiale negatyw – Wikipedia

Definicja pierwszego całego parametru [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Alternatywne definicje [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Uogólnienie na pierwszy prawdziwy parametr [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Funkcja dystrybucyjna [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Mieszanka praw gamma-poisson [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Konwergencja w kierunku prawa rybnego [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Link z prawem geometrycznym [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Link z prawem dwumianowym [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Somme stabilność [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Czas oczekiwania w procesie Bernoulli [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Prawo rybne „nadmiernie obstraszone” [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Powiązane artykuły [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Bibliografia [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Recent Posts

Recent Comments

Archives

Categories

Meta