Zasada niższego działania i ogólna względność – Wikipedia

Posted on June 14, 2019 by lordneo

before-content-x4

Jesteśmy winni Davidowi Hilbertowi w 1915 r., Pierwsze użycie Zasada niższego działania Aby uzyskać równania ogólna teoria względności , w szczególności równania pola grawitacyjnego ^{[[[ Pierwszy ]}.

after-content-x4

W przypadku ogólnej względności, jak w przypadku ograniczonej względności, równania można uzyskać bez wzywania zasady niższego działania: zasada równoważności, wyrażona w formie „Zawsze możemy znaleźć repozytorium lokalnie anulowanie pola grawitacji”, pozwala znaleźć równania ruchu cząstki bezpośrednio; i wyjątkowość kształtu geometrycznego tensora, który jest anulowany przez kowariantowy pochodna, wyjątkowość udowodniona przez Élie Cartan ^{[[[ 2 ]}, pozwala znaleźć równania pola grawitacji, które było oryginalną metodą Einsteina (chociaż w tym czasie nie udowodniono wyjątkowości).

Jeśli podane są równania ogólnej względności, możemy wywnioskować działanie w celu zastosowania zasady. W szczególności, w przypadku równań geodezyjnych, które możemy znaleźć metrykę

{DisplayStyle ds^{2},}

${displaystyle ds^{2},}$ powiązany.

Table of Contents

Cząstka w polu grawitacji [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

W tej pracy używamy hipotezy, że cząstka nie modyfikuje jej środowiska: masa cząstki lub jej pozycji nie zmienia pola grawitacji, ta masa musi być „mała”.

Zgodnie z zasadą równoważności Einsteina grawitacja jest lokalnie równoważna wyboru przyspieszonego repozytorium.

after-content-x4

W kontekście ograniczonej względności, przyjmując przyspieszone repozytorium (dane kontaktowe

{displayStyle (x ‘_ {0}; x’ _ {1}; x ‘_ {2}; x’ _ {3})}

${displaystyle (x'_{0};x'_{1};x'_{2};x'_{3})}$ ), lokalne postrzeganie jest zatem pole grawitacji, a zmiana repozytorium w porównaniu z repozytorium bezwładności (współrzędne

{displayStyle (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}

${displaystyle (x_{0};x_{1};x_{2};x_{3})}$ ) nakłada metrykę ze współczynnikami nietriwalnymi:

{DisplayStyle ds^{2} = (x_ {0})^{2}-(x_ {1})^{2}-(x_ {2})^{2}-(x_ {3})^{2 } = g^{ij} (x ‘) x’ _ {i} x ‘_ {j}}

${displaystyle ds^{2}=(x_{0})^{2}-(x_{1})^{2}-(x_{2})^{2}-(x_{3})^{2}=g^{ij}(x')x'_{i}x'_{j}}$ . Wystarczy określić równania ruchu w tym repozytorium ze względu na zasadę niższego działania w ograniczonej względności.

Zasada równoważności umożliwia stwierdzenie, że prawdziwe pole grawitacyjne (nie z powodu wyboru repozytorium) jest również określone przez metrykę

{DisplayStyle ds^{2}}

${displaystyle ds^{2}}$ (a metryka jest określana przez pole grawitacyjne); Chociaż użycie metryki

{DisplayStyle ds^{2} = g^{ij} (x) x_ {i} x_ {j} = g^{ij} x_ {i} x_ {j}}

${displaystyle ds^{2}=g^{ij}(x)x_{i}x_{j}=g^{ij}x_{i}x_{j}}$ co nie jest spowodowane, a zatem nie jest to kompensowalne poza lokalnym obszarem czasoprzestrzeni, przez zmianę repozytorium oznacza, że czasoprzestrze i które następnie opuszczymy ramy ograniczonej względności, aby zbudować nową teorię: ogólna względność.

Możemy zatem pozostać w ciągłości ograniczonej względności i potwierdzić, że nieskończenie małe działanie punktualnej cząstki, pod wpływem samej grawitacji, ogólnie jest:

{DisplayStyle ds = -MC {sqrt {g^{ij} dx_ {i} dx_ {j}}}}

${displaystyle dS=-mc{sqrt {g^{ij}dx_{i}dx_{j}}}}$

gdzie to zakładamy

{DisplayStyle g^{ij} = g^{ji}}

${displaystyle g^{ij}=g^{ji}}$ Bez usuwania niczego z ogólności.

Używając faktu, że

{DisplayStyle ds = {sqrt {g^{ij} dx_ {i} dx_ {j}}}}

${displaystyle ds={sqrt {g^{ij}dx_{i}dx_{j}}}}$ jest właściwym czasem cząstki, działanie minimalizowane między dwoma punktami czasoprzestrzeni

{DisplayStyle s = -MCint _ {a}^{b} ds}

${displaystyle S=-mcint _{A}^{B}ds}$ Pokazuje, że podobnie jak w ograniczonej względności, jest to czas czysty, aby przejść z punktu A do punktu B, który jest maksymalizowany (lokalnie) przez zasadę. Geodezyka to ścieżki, które maksymalizują (lokalnie) właściwy czas cząstki .

Aby zachować konsystencję fizyczną, musimy to założyć

{DisplayStyle g^{ij}}

${displaystyle g^{ij}}$ są ciągłe; Aby móc pracować ze znanymi narzędziami, to znaczy pochodne, ale także zakładanie, że pole grawitacyjne jest ciągłe, musimy założyć, że są to różnice. Następnie w przypadku równań Einsteina konieczne będzie założenie, że są one C ².

Biorąc pod uwagę czas

{DisplayStyle T_ {0}}

${displaystyle t_{0}}$ każdy:

{DisplayStyle {frac {ds} {dt_ {0}}} = l_ {0} =-mc {sqrt {g^{ij} v_ {i} v_ {j}}}}}

${displaystyle {frac {dS}{dt_{0}}}=L_{0}=-mc{sqrt {g^{ij}V_{i}V_{j}}}}$

Zawsze używamy równań Euler-Lagrange

{displayStyle {frac {d ~~} {dt_ {0}}} {frac {parial l_ {0}} {parial v_ {k}}} – {frac {parial l_ {0}} {parial x_ {k}}}}} } = 0 ~~}

${displaystyle {frac {d~~}{dt_{0}}}{frac {partial L_{0}}{partial V_{k}}} - {frac {partial L_{0}}{partial x_{k}}} = 0~~}$ Po podzieleniu przez współczynnik

{displayStyle -mc}

${displaystyle -mc}$ Tutaj bezużyteczne.

Szczegóły demonstracji

Otrzymujemy równanie:

{DisplayStyle {dot {and}} _ {m}+gamma _ {m}^{ij} v_} v_ {j} = 0}

${displaystyle {dot {V}}_{m}+Gamma _{m}^{ij}V_{i}V_{j}=0}$

że możemy również napisać:

{displayStyle {frac {d^{2} x_ {k}} {ds^{2}}}+gamma _ {k}^{ij} {frac {dx_ {i}} {ds}} {frac {x_ {x_ {x_ {x_ {x_ {x_ {x_ {x_ {x_ {x_ { j}} {ds}} = 0}

${displaystyle {frac {d^{2}x_{k}}{ds^{2}}}+Gamma _{k}^{ij}{frac {dx_{i}}{ds}}{frac {x_{j}}{ds}}=0}$

Lub :

{DisplayStyle {frac {dv_ {k}} {ds}} = 0}

${displaystyle {frac {DV_{k}}{ds}}=0}$

z „kowarodną pochodną”:

{DisplayStyle dv_ {k} = dv_ {k}+gamma _ _ _ q^{ij} v_ {i} dv_ {j}}

${displaystyle DV_{k}=dV_{k}+Gamma _{k}^{ij}V_{i}dV_{j}}$ I

{DisplayStyle dv^{k} = dv ^^ k}+gamma _ _ _ _ _ q q q q q q q q

${displaystyle DV^{k}=dV^{k}+Gamma _{ij}^{k}V^{i}dV^{j}}$ , Lub

{DisplayStyle v_ {k} = {frac {dx_ {k}} {dt_ {0}}}}

${displaystyle V_{k}={frac {dx_{k}}{dt_{0}}}}$ Dla

{DisplayStyle T_ {0} =}

${displaystyle t_{0}=}$ Czystość.

Symbol Christoffela

{DisplayStyle gamma _ {k}^{ij}}

${displaystyle Gamma _{k}^{ij}}$ jest nałożony jako manifestacja grawitacji w równaniach ruchu.

Równania ruchu nie zależą od masy cząstki (tak nazwanej, ponieważ zaniedbaliśmy jej zasięg przestrzenny i wpływ na jego środowisko): wszystkie cząsteczki podążają za tymi samymi trajektoriami (w identycznych warunkach początkowych), jest to równanie Geodezyka ogólna względność, w obecności samej grawitacji.

Jednak te równania ruchu nie są ważne dla cząstki o zerowej masie, ponieważ w tym przypadku mamy od samego początku

{DisplayStyle ~ ds = 0 ~~}

${displaystyle ~dS=0~~}$ , który zabrania wszystkich obliczeń przeprowadzonych powyżej; mamy też

{DisplayStyle ~ ds = c.dt_ {0} = 0 ~~}

${displaystyle ~ds=c.dt_{0}=0~~}$ Ponieważ czysta pogoda nie przepływa dla cząstki bez masy (patrz ograniczona względność), termin

{DisplayStyle {dot {v}} _ {m}}

${displaystyle {dot {V}}_{m}}$ W żadnym wypadku nie ma sensu. Musimy uznać falę związaną z cząsteczką, która ma równanie o znaczeniu, ponadto światło było rozumiane jako fala (elektromagnetyczna), a nie jako cząstka (foton, zerowej masy), gdy napisano ogólną względność.

Cząstka w polu elektromagnetycznym [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Podobnie jak ograniczona względność, definicja nieskończenie małego działania relatywistycznego działania określonej cząstki obciążenia

{DisplayStyle e}

${displaystyle e}$ w polu elektromagnetycznym jest

{DisplayStyle l.dt = -mc. {sqrt {g^{ij} dx_ {i} .dx_ {j}}} -e.a^{j} .dx_ {j}}

${displaystyle L.dt= -mc.{sqrt {g^{ij}dx_{i}.dx_{j}}}-e.A^{j}.dx_{j}}$ .

Według całkowicie podobnych obliczeń rysujemy równania ruchu:

{DisplayStyle m. ({dot {v}}^{k}+gamma _ {ij}^{k} v^{i} v^{j}) = e.v_ {j} .f^{kj}}

${displaystyle m.({dot {V}}^{k}+Gamma _{ij}^{k}V^{i}V^{j})=e.V_{j}.F^{kj}}$

że możemy napisać:

{displayStyle mc.Left ({frac {d^{2} x^{k}} {ds^{2}}}+gamma _ {ij}^{k} {frac {dx^{i}} {ds} } {frac {dx^{j}} {ds}} right) = e.f^{kj} {frac {dx_ {j}} {ds}}}}

${displaystyle mc.left({frac {d^{2}x^{k}}{ds^{2}}}+Gamma _{ij}^{k}{frac {dx^{i}}{ds}}{frac {dx^{j}}{ds}}right)=e.F^{kj}{frac {dx_{j}}{ds}}}$

Lub :

{DisplayStyle MC. {frac {dv^{k}} {ds}} = e.f^{kj} v_ {j}}

${displaystyle mc.{frac {DV^{k}}{ds}}=e.F^{kj}V_{j}}$

Aby określić jego gęstość Lagrangian, wówczas równania, konieczne jest opracowanie niektórych rozważań podanych powyżej, a nawet niektórych wiadomości.

Gęstość Lagrangian w zakrzywionej przestrzeni [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Z powodu niezmienności trajektorii pola w stosunku do testów porównawczych, z których jest obserwowane

{DisplayStyle S_ {g} = int ldomega}

${displaystyle S_{g}=int LdOmega }$ Musi być niezmienna przez zmianę repozytorium.

Szczegóły uzasadniające gęstość Lagrangiana

Być

{DisplayStyle S_ {g} = int ldomega = int l’Ondomega ‘}

${displaystyle S_{g}=int LdOmega =int L'dOmega '}$ akcja w dwóch różnych standardach.

Na :

{DisplayStyle Domega = DX_ {0} .dx_ {1} .dx_ {2} .dx_ {3}}

${displaystyle dOmega =dx_{0}.dx_{1}.dx_{2}.dx_{3}}$ I

{DisplayStyle Domega ‘= dx’ _ {0} .dx ‘_ {1} .dx’ _ {2} .dx ‘_ {3} = J.DX_ {0} .dx_ {1} .dx_ {2}. dx_ {3}}

${displaystyle dOmega '=dx'_{0}.dx'_{1}.dx'_{2}.dx'_{3}=J.dx_{0}.dx_{1}.dx_{2}.dx_{3}}$

Lub

{DisplayStyle J}

${displaystyle J}$ jest jakobijaninem do zmiany zmiennych.

Na :

{displayStyle j = lewy | det po lewej ({frac {częściowe x ‘_ {i}} {częściowe x_ {j}}} prawe) prawe | ~}

${displaystyle J=left|det left({frac {partial x'_{i}}{partial x_{j}}}right)right|~}$

Lub :

{DisplayStyle ds^{2} = g^{ij} dx_ {i} dx_ {j} = g ‘^{Kl} dx’ _ {k} dx ‘_ {l} do g^{Kl} = {frac {frac {frac {frac {frac {frac {frac { częściowo x ‘_ {i}} {parial x_ {k}}}. {frac {parial x’ _ {j}} {częściowe x_ {l}}} g ‘^{ij} do g = J^{2} .G’}

${displaystyle ds^{2}=g^{ij}dx_{i}dx_{j}=g'^{kl}dx'_{k}dx'_{l}to g^{kl}={frac {partial x'_{i}}{partial x_{k}}}.{frac {partial x'_{j}}{partial x_{l}}}g'^{ij}to g=J^{2}.g'}$ , biorąc determinanty.

WIĘC :

{DisplayStyle j = {frac {| g |^{frac {1} {2}}} {| g ‘|^{frac {1} {2}}}}}}

${displaystyle J={frac {|g|^{frac {1}{2}}}{|g'|^{frac {1}{2}}}}}$

Więc

{DisplayStyle S_ {g} = int ldomega = int l’Odomega ‘= int l’.jdomega to l = l’.jto l. | g |^{-{frac {1} {2}}} = l’. | g ‘|^{-{frac {1} {2}}} = lambda}

${displaystyle S_{g}=int LdOmega =int L'dOmega '=int L'.JdOmega to L=L'.Jto L.|g|^{-{frac {1}{2}}}=L'.|g'|^{-{frac {1}{2}}}=Lambda }$ jest stałą pola w porównaniu ze zmianami testów porównawczych.

Celem jest zatem znalezienie skalarności pola, niezmienności w odniesieniu do zmian standardów.

W Notant

{DisplayStyle Lambda}

$Lambda$ Skalar pola, niezmienny w odniesieniu do zmian standardów, gęstość Lagrangian będzie:

{DisplayStyle l = lambda. | g |^{frac {1} {2}}}

${displaystyle L=Lambda .|g|^{frac {1}{2}}}$

Definicje tensorów Riemanna, Ricci i krzywizny [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Jak Élie Cartan

W kategoriach matematycznych przestrzeń kwadraryczna zdefiniowana przez powyższe rozważania to różnorodność c ²gdzie kwadri-vitesse są wektorami należącymi do stycznej przestrzeni wektorowej do tego

{DisplayStyle g^{ij}}

${displaystyle g^{ij}}$ .

Pamiętaj, że dane kontaktowe

{displayStyle (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}

${displaystyle (x_{0};x_{1};x_{2};x_{3})}$ są współrzędnymi punktami odmiany, dostarczonymi z dowolnym układem współrzędnych, reprezentujących dowolny wybór fizycznych ram obserwatora.

Miara grawitacji, która wpływa na geodezykę, można wykonać poprzez różnicę w orientacji między dwoma wektorami wynikającymi z transportu pojedynczego oryginalnego wektora przez dwie różne ścieżki geodezyjne do tego samego punktu końcowego.

Równanie geodezyjne ${DisplayStyle {dot {and}} _ {m}+gamma _ {m}^{ij} v_} v_ {j} = 0}$

{DisplayStyle v_ {j} = {frac {dx_ {j}} {dt_ {0}}}}}

Podobnie otrzymujemy

{DisplayStyle dv^{k} = -gamma _ {ij} ^^ {k} v

Wektor ${DisplayStyle lewy (a_ {i} po prawej)}$

Szczegóły metody Elie Cartan

Definiujemy Riemann Tensor o :

{displayStyle r_ {i}^{jkl} = częściowo^{j} gamma _ {i}^{lk} -partial^{l} gamma _ {i}^{jk}+gamma _ {p}^{lk} Gamma _ {i}^{jp} -gamma _ {p}^{jk} gamma _ {i}^{lp}}

${displaystyle R_{i}^{jkl}=partial ^{j}Gamma _{i}^{lk}-partial ^{l}Gamma _{i}^{jk}+Gamma _{p}^{lk}Gamma _{i}^{jp}-Gamma _{p}^{jk}Gamma _{i}^{lp}}$

. Ricci Tensor jest skurczem tensora Riemanna: ${DisplayStyle r^{ij} = r_ {k}^{ij}}$

Jego formuła pokazuje, że jest to symetryczny tensor:

MOLOTY YLE YLEXT MYŚL MATJOYE FUNY HYKHJOJS ZOREGO.

. Krzywizna Riemanniana jest liczbą uzyskaną przez skurcz tensor ricci: ${DisplayStyle r = g_ {ij} r^{ij}}$

Wszystkie równości użyte w ” Szczegóły metody Elie Cartan „Bycie niezależnym od wybranego repozytorium, a także w przypadku definicji tensorów Riemann i Ricci (dlatego pozwalamy sobie na to napinacz ). Tak jest również w przypadku krzywizny ${DisplayStyle r}$

Élie Cartan pokazał, że niezmienne skalarie przez zmianę repozytorium są formy ${DisplayStyle Alpha R+beta ~}$

{DisplayStyle ~ alpha}

Narzędzia analityczne [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Zastosowanie zasady bezwładności w zakrzywionej przestrzeni [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Aby nasza praca była konsekwencją zasady niższego działania, zastosowana tutaj metoda polega na określeniu właściwości różnorodności od metryki jej przestrzeni stycznej.

Styczne przestrzenie wektorowe (wymiar 4) mają swoją „naturalną” bazę { ${DisplayStyle {{rzecz {e}}^{~ 0}; {rzecz {e}} {~ 1}; {rzecz {e}} {~ 2}; {rzecz {e}} {~ 3}}}}$

Równania geodezyjne to właściwości dotyczące danych kontaktowych

{DisplayStyle {frac {dx_ {i}} {dt_ {o}}}}

Aby to zrobić, możemy użyć fizycznej zasady krawca dla ogólnej względności:

Zasada bezwładności: wzdłuż geodezji i przy braku interwencji zewnętrznej, wektor prędkości (kwadr-) cząstki jest stały.

To jest powiedzieć:

{DisplayStyle d {rzecz {v}} = {rzecz {0}}}

Na oponach:

{DisclaYystyle D {vec {v}} = {vec {0}} = dv_ {i {i {i {vec {e}}}^{~ i {i {i {i {i {i {i {vec {e} ^{~} = -gamma _ {i {i {i {jk} dx_ {j} v_ {k}. {vec {e}}}^~ i}+v_ {i {i {i {i {vec {vec {vec {vec {vec {vec {vec {vec {vec {vec {vec {vec {vec {vec {vec e}}^{~ i}}

Początkowa prędkość jest kwadraty, dostajemy:

{DisplayStyle d {rzecz {e}} {~ i} = gamma _ {k} {ij} dx_ {j} {j {e}}^{~ k}}

${displaystyle d{vec {e}}^{~i}=Gamma _{k}^{ij}dx_{j}{vec {e}}^{~k}}$

Analizując równania geodezyjne lub biorąc pod uwagę, że „osie” danych kontaktowych niekoniecznie są geodezyjne, nie można powiedzieć, że współrzędne prędkości kwadrowej są stałe.

O wyborze

{DisplayStyle d {rzecz {v}} = {rzecz {0}}}

Jazda oznacza „ustalenie prawa, co wskazuje kierunek ruchu”. Cały problem jest tym, czym jest prawo, gdy układ współrzędnych jest dowolny, nawet w zakrzywionej przestrzeni; Po ustaleniu linii można zdefiniować wyprowadzenie.
W kontekście, w którym nas interesuje, gdy eksperymentator znajduje się w przestrzeni Minkowskiego i wybrał dowolny system współrzędnych, który prawdopodobnie wywołuje grawitację, linie wyprowadzenia są przestrzeni Minkowskiego, które są również linią bezwładnościowej ruch. Chyba że zdefiniujesz nową wyprowadzenie, równość ${DisplayStyle d {rzecz {v}} = {rzecz {0}}}$
Gdy eksperymentator znajduje się w odniesieniu, w którym występuje grawitacja, a przy braku informacji na temat przyczyn tej grawitacji (z powodu masy lub z powodu przyspieszonego repozytorium lub obu) jedynych praw, do których ma dostęp, jako A fizyk, są te z ruchu bezwładności: wyprowadzenie jest zatem zdefiniowane przez ${DisplayStyle d {rzecz {v}} = {rzecz {0}}}$

Ale ten wybór opiera się na hipotezie, że w jego repozytorium ruch bezwładnościowy podąża za prawem. Jeśli eksperymentator wybierze właściwe osie swojego repozytorium, zatem narzuca

{DisplayStyle d {rzecz {e}} {~ i} = {rzecz {0}}}

Te dwie opcje, podobnie jak inne, które można sobie wyobrazić, są ważne tylko lokalnie: pierwsza lokalnie asymiluje grawitację do przyspieszonego repozytorium w przestrzeni Minkowskiego, drugi emituje hipotezę siły w przestrzeni początkowo prawej; Dwie opcje, które wyprostują czas przestrzeń na swój sposób, które można dokonać tylko lokalnie.

Kowarianty pochodne [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Albo

{DisplayStyle {vec {a}} (x) = a_ {i} {vec {e}}}^{~ i}}}

${displaystyle {vec {A}}(x)=A_{i}{vec {e}}^{~i}}$ kwadrowy wektor w stycznej przestrzeni do rzeczy

{DisplayStyle m (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})}

${displaystyle M(x_{0};x_{1};x_{2};x_{3})}$ .

Na :

{displayStyle d {vec {a}} (x) = (da_ {i}) {vec {e}}^{~ i}+a_ {i} d ({vec {e}}^{~ i}) = = (częściowo^{j} a_ {i}+a_ {k} gamma _ {i}^{jk}) {vec {e}}^{~ i} dx_ {j} = d^{j} a_ {i} . {vec {e}}^{~ i} dx_ {j}}

${displaystyle d{vec {A}}(x)=(dA_{i}){vec {e}}^{~i}+A_{i}d({vec {e}}^{~i})=(partial ^{j}A_{i}+A_{k}Gamma _{i}^{jk}){vec {e}}^{~i}dx_{j}=D^{j}A_{i}.{vec {e}}^{~i}dx_{j}}$

Definiując Kowarianty pochodne o :

{DisplayStyle d^{j} a_ {i} = częściowo^{j} a_ {i}+gamma _ {i}^{jk} a_ {k}}

${displaystyle D^{j}A_{i}=partial ^{j}A_{i}+Gamma _{i}^{jk}A_{k}}$

Nieruchomość :

{DisplayStyle d^{j} a_ {il} = odchylenie {j} a_ {iL}+gamma _ {i}^{jk} a_ {Kl}+gamma _ {l}^{jk} a_ {ik}}

${displaystyle D^{j}A_{il}=partial ^{j}A_{il}+Gamma _{i}^{jk}A_{kl}+Gamma _{l}^{jk}A_{ik}}$

{DisplayStyle d^{j} a_ {i}^{l} = częściowo^{j} a_ {i}^{l}+gamma _ {i}^{jk} a_ {k}^{L} -Gamma _ {k}^{jl} a_ {i}^{k}}

${displaystyle D^{j}A_{i}^{l}=partial ^{j}A_{i}^{l}+Gamma _{i}^{jk}A_{k}^{l}-Gamma _{k}^{jl}A_{i}^{k}}$

I tak dalej ze wszystkimi wskazówkami tensora, zgodnie z ich pozycjami.

Gdzie znajdujemy tensory Riemanna, itp. [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Korzystając z pochodnej kowarianty i po kilku obliczeniach stwierdzamy:

{displayStyle lewy (d^{i} d^{j} -d^{j} d^{i} right) a_ {k} = r_ {k}^{l, ij} dx_ {i} dx_ {j} Glin}}

${displaystyle left(D^{i}D^{j}-D^{j}D^{i}right)A_{k}=R_{k}^{l,ij}dx_{i}dx_{j}A_{l}}$ .

Dlatego otrzymujemy pojęcia już wprowadzone „w sposób Elie Cartan”.

Równości i przydatne właściwości [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Twierdzenie Ricci: ${DisplayStyle d_ {k} g^{ij} = 0 ~ quad ~}$

Na stawianiu ${DisplayStyle g = det (g^{ij}) qquad}$

Ostrogradski Twierdzenie: ${DisplayStyle int _ {v} {sqrt {-g}} ~ d_ {i} a^{i} ~ Domega = Oint _ {parial v} {sqrt {-g}} a^{i} ~ ~ ds_ {i} }$

Projekty równych demonstracji

Suma, różnica i podsumowanie einsteina tensorów zdefiniowanych w tej samej przestrzeni stycznej dają tensor; Z drugiej strony, jeśli są to tensory zdefiniowane w różnych przestrzeniach stycznych, nie jest pewne, czy daje to tensor.

Na przykład: Symbol Christoffela jest zdefiniowany na podstawie tensora metrycznego. Równanie geodezyjne

{DisplayStyle gamma _ {i} ^{jk} .v_ {k} = częściowo ^{j} v_ {i}}

Wyrównanie tynczyka wykazana w dowolnym momencie, ale przy użyciu określonej ramki odniesienia jest w tym momencie prawdziwa równość i dla wszystkich punktów porównawczych: jest to główne zainteresowanie używania tensorów.

Na przykład pod każdym względem istnieje nieważki (w wolnym upadku w polu grawitacyjnym), to znaczy

{DisplayStyle gamma _ {i}^{jk} = 0}

Równania Einsteina w polu grawitacyjnym w na wolnym powietrzu [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

TENSORY są używane, aby zapewnić, że równość jest prawdziwa, niezależnie od punktu obserwacji fizyka i jego repozytorium. TENSERY niosą tylko informacje związane z punktem obserwacyjnym i jego przestrzenią styczną, nagle wykorzystane tam informacje i które są produkowane, są tylko lokalne: są to informacje o tensorach, oprócz powszechnie ważnych danych, takich jak stała C, G i inne że możemy tam znaleźć.

Pierwszym przypadkiem równań pola jest przypadek, w którym nie ma materiału (lokalnie): mówimy o „przypadku zewnętrznym”, wdrożonym „w sprawie”.

W tym przypadku jedynym składnikiem działania jest składnik pola grawitacyjnego

{DisplayStyle S_ {g} = k.int {sqrt {-g}}. r.domega}

${displaystyle S_{g}=K.int {sqrt {-g}}.R.dOmega }$ , Lub

{DisplayStyle K}

${displaystyle K}$ jest stale powiązane z wyborem jednostek: dla jednostek MKSA bierzemy

{DisplayStyle k =-{frac {c^{3}} {4pi g}}}

${displaystyle K=-{frac {c^{3}}{4pi G}}}$ , Znak

{DisplayStyle -}

${displaystyle -}$ wynikając z zasady minimalizacji działania.

Aby znaleźć równania pola grawitacyjnego w postaci tensorów gęstości energii, które są symetryczne, łatwiej jest przekształcić Lagrangian pod całką działania niż użycie równań Eulera-Lagrange. Zasada wariacyjna jest stosowana przez zmianę warunków metryki

{DisplayStyle g^{ij}}

${displaystyle g^{ij}}$ , który jest manifestacją grawitacji Lagrangian, zgodnie z zasadą równoważności jako odpowiednio powyżej.

Demonstracja równań Einsteina w sprawie zewnętrznej

Przy użyciu równości

{DisplayStyle r = g_ {ij} r^{ij}}

${displaystyle R=g_{ij}R^{ij}}$ , na

{DisplayStyle Delta S_ {g} = k.int delta po lewej ({sqrt {-g}}. g_ {ij} .r^{ij} right) Domega}

${displaystyle delta S_{g}=K.int delta left({sqrt {-g}}.g_{ij}.R^{ij}right)dOmega }$

{displayStyle = k [int delta ({sqrt {-g}}) g_ {ij} r^{ij} Domega +int {sqrt {-g}}. delta (g_ {ij}). r^{ij} Domega +int {sqrt {-g}}. g_ {ij} .delta (r^{ij}) Domega]}

${displaystyle =K[int delta ({sqrt {-g}})g_{ij}R^{ij}dOmega +int {sqrt {-g}}.delta (g_{ij}).R^{ij}dOmega +int {sqrt {-g}}.g_{ij}.delta (R^{ij})dOmega ]}$

{DisplayStyle delta ({sqrt {-g}}}) = {frac {-delta g} {2 {sqrt {-g}}}} =-{1} {2 {sqrt {-G}} g .g_ { i}. Delta g^{i} =-{frac {1} {2}} {sqrt {-g}^{i} delta g_ {i}}}}}

${displaystyle delta ({sqrt {-g}})={frac {-delta g}{2{sqrt {-g}}}}=-{frac {1}{2{sqrt {-g}}}}g.g_{ik}.delta g^{ik}=-{frac {1}{2}}{sqrt {-g}}.g^{ik}delta g_{ik}}$ samochód

{DisplayStyle g^{i} .g_ {i} = 4to delta (g^{i}). G_ {i} = -g^{i} .delta (g_ {i})}

${displaystyle g^{ik}.g_{ik}=4to delta (g^{ik}).g_{ik}=-g^{ik}.delta (g_{ik})}$

Dla Pierwszy ^OdnośnieIntegral, mamy

{displayStyle int delta ({sqrt {-g}}) g_ {ij} r^{ij} dopeG = int delta ({sqrt {-g}) rdomega =-{frac {1} {2}} int g^ {ij} .r. {sqrt {-G}}. Delta g_ {ij} Domega}

${displaystyle int delta ({sqrt {-g}})g_{ij}R^{ij}dOmega =int delta ({sqrt {-g}})RdOmega =-{frac {1}{2}}int g^{ij}.R.{sqrt {-g}}.delta g_{ij}dOmega }$

. 2 ^{To jest}Równość pozostaje niezmieniona.

Dla 3 ^{To jest}integralna, aby uprościć obliczenia, umieszczamy się w repozytorium nieważalności i dlatego mamy

{DisplayStyle r^{ij} = częściowo^{l} gamma _ {l}^{ij} -partial^{i} gamma _ {l}^{lj}}

${displaystyle R^{ij}=partial ^{l}Gamma _{l}^{ij}-partial ^{i}Gamma _{l}^{lj}}$ . (Ale generalnie

{DisplayStyle Partial^{L} gamma _ {l}^{ij} neq d^{l} gamma _ {l}^{ij}}}

${displaystyle partial ^{l}Gamma _{l}^{ij}neq D^{l}Gamma _{l}^{ij}}$ Ponieważ symbol Christoffela nie jest tensor).

Skąd

{DisplayStyle Delta lewy (r ^{ij} right) = delta częściowe ^{l} gamma _ {l} ^{ij} -delta częściowo ^{i} gamma _ {l} ^{lj} = partia ^{l} delta gamma _ {l}^{ij} -partial^{i} delta gamma _ {l}^{lj}}

${displaystyle delta left(R^{ij}right)=delta partial ^{l}Gamma _{l}^{ij}-delta partial ^{i}Gamma _{l}^{lj}=partial ^{l}delta Gamma _{l}^{ij}-partial ^{i}delta Gamma _{l}^{lj}}$ zakładając, że zmienność

{DisplayStyle g^{ij}}

${displaystyle g^{ij}}$ Pozostawia referencję w tym punkcie, która wciąż pozostawia nieskończoność możliwych odmian dla

{DisplayStyle g^{ij}}

${displaystyle g^{ij}}$ .

W dowolnym repozytorium,

{DisplayStyle Delta gamma _ {l}^{ij} = gamma _ {l}^}^} -Left (gamma _ {l}^{} right) ‘}

${displaystyle delta Gamma _{l}^{ij}=Gamma _{l}^{ij}-left(Gamma _{l}^{ij}right)'}$ gdzie symbol

{DisplayStyle lewy (gamma _ {l}^{ij} right) ‘}

${displaystyle left(Gamma _{l}^{ij}right)'}$ jest symbolem Christoffela w tym samym punkcie

{DisplayStyle gamma _ {l}^{ij}}

${displaystyle Gamma _{l}^{ij}}$ Ale z warunkami

{DisplayStyle g^{ij}}

${displaystyle g^{ij}}$ zmodyfikowane

{DisplayStyle gamma _ {k}^{ij} .v_ {j} = partia^{j} v_ {i} do delta gamma _ {k}^{ij} .v_ {j} = gamma _ {l}^{ ij} .v_ {j} -Left (gamma _ {l} ^{ij} right) ‘. v_ {j} = parial ^{j} v_ {i} -left (częściowo ^{j} v_ {i} right prawa ) ‘}

${displaystyle Gamma _{k}^{ij}.V_{j}=partial ^{j}V_{i}to delta Gamma _{k}^{ij}.V_{j}=Gamma _{l}^{ij}.V_{j}-left(Gamma _{l}^{ij}right)'.V_{j}=partial ^{j}V_{i}-left(partial ^{j}V_{i}right)'}$ co jest różnicą między dwoma tenserami zdefiniowanymi w tym samym punkcie, dlatego

{DisplayStyle Delta gamma _ {k}^{ij}}}

${displaystyle delta Gamma _{k}^{ij}}$ jest tensor (w przeciwieństwie do symbolu Christoffela).

A dla tego tensora, w repozytorium nieważalności (i pozostawione jako takie, do punktu rozważanego przez zmianę

{DisplayStyle g^{ij}}

${displaystyle g^{ij}}$ ),

{DisplayStyle Partial ^^ {L} Delta gamma _ {k}^{ij} = d^{l} delta gamma _ {k}^{ij}}

${displaystyle partial ^{l}delta Gamma _{k}^{ij}=D^{l}delta Gamma _{k}^{ij}}$ , Skąd

{DisplayStyle Delta lewy (r^{ij} right) = częściowo^{l} delta gamma _ {l}^{ij} -partial^{i} delta gamma _ {l}^{lj} = d^{l} Delta gamma _ {l}^{ij} -d^{i} delta gamma _ {l}^{lj}}

${displaystyle delta left(R^{ij}right)=partial ^{l}delta Gamma _{l}^{ij}-partial ^{i}delta Gamma _{l}^{lj}=D^{l}delta Gamma _{l}^{ij}-D^{i}delta Gamma _{l}^{lj}}$

{displayStyle {sqrt {-g}}. g_ {ij} .delta r^{ij} = {sqrt {-g}}. [g_ {ij} .d^{l} Delta gamma _ {l}^{ij } -g_ {ij} .d^{i} delta gamma _ {l}^{lj}] = {sqrt {-g}}. [D^{L} left (g_ {ij} .delta gamma _ {l {L. }^{ij} right) -d^{i} lewy (g_ {ij} .delta gamma _ {l}^{lj} right)]}

${displaystyle {sqrt {-g}}.g_{ij}.delta R^{ij}={sqrt {-g}}.[g_{ij}.D^{l}delta Gamma _{l}^{ij}-g_{ij}.D^{i}delta Gamma _{l}^{lj}]={sqrt {-g}}.[D^{l}left(g_{ij}.delta Gamma _{l}^{ij}right)-D^{i}left(g_{ij}.delta Gamma _{l}^{lj}right)]}$

samochód

{DisplayStyle ~ quad d_ {k} g_ {ij} = 0 ~}

${displaystyle ~quad D_{k}g_{ij}=0~}$ i również

{DisplayStyle ~ quad d^{k} g_ {ij} = 0 ~}

${displaystyle ~quad D^{k}g_{ij}=0~}$

Skąd

{displayStyle ~ quad {sqrt {-g}}. g_ {ij} .delta r^{ij} = {sqrt {-g}}. ^{ij} -G_ {lj} .delta gamma _ {i}^{ij} right) = {sqrt {-g}}. d^{l} a_ {l}}

${displaystyle ~quad {sqrt {-g}}.g_{ij}.delta R^{ij}={sqrt {-g}}.D^{l}left(g_{ij}.delta Gamma _{l}^{ij}-g_{lj}.delta Gamma _{i}^{ij}right)={sqrt {-g}}.D^{l}A_{l}}$ .

Stąd za pomocą twierdzenia Ostogradskiego,

{DisplayStyle int {sqrt {-g}}. g_ {ij} .delta r^{ij} dopeG = int {sqrt {-g}}. }}. A_ {l} .ds^{l} = 0}

${displaystyle int {sqrt {-g}}.g_{ij}.delta R^{ij}dOmega =int {sqrt {-g}}.D^{l}A_{l}dOmega =int {sqrt {-g}}.A_{l}.dS^{l}=0}$

Nieważność ostatniej całki jest spowodowana faktem, że jest ona obliczana na temat nadwodników wyznaczających objętość integracji i faktu, że zmiany

{DisplayStyle g^{ij}}

${displaystyle g^{ij}}$ są zerowe na granicy integracji.

Otrzymujemy:

{DisplayStyle Delta S_ {g} = k.int opuścił (r^{ij}-{frac {1} {2}} g^{ij} rright) {sqrt {-g}}.

${displaystyle delta S_{g}=K.int left(R^{ij}-{frac {1}{2}}g^{ij}Rright){sqrt {-g}}.delta g_{ij}dOmega }$

Zasada mniejszych działań, mówiąc o tym

{DisplayStyle Delta S_ {g} = 0}

${displaystyle delta S_{g}=0}$ i warianty

{DisplayStyle Delta g_ {ij}}

${displaystyle delta g_{ij}}$ Będąc jakim, dostajemy

{DisplayStyle r^{ij}-{frac {1} {2}} g^{ij} r = 0}

${displaystyle R^{ij}-{frac {1}{2}}g^{ij}R=0}$ , co jest często napisane (i demonstruje) poprzez obniżenie wskazówek.

Odliczone równania to:

{DisplayStyle r_ {ij}-{frac {1} {2}} g_ {ij} r = 0}

${displaystyle R_{ij}-{frac {1}{2}}g_{ij}R=0}$

Tworząc „skurcz”

{DisplayStyle g^{ij} r_ {ij}-{frac {1} {2}} g^{ij} .g_ {ij} r = 0}

${displaystyle g^{ij}R_{ij}-{frac {1}{2}}g^{ij}.g_{ij}R=0}$ , otrzymujemy

{DisplayStyle r = 0}

${displaystyle R=0}$ , co nie oznacza, że przestrzeń jest płaska, ale raczej, że jest minimalną powierzchnią o czterech wymiarach, napięty między różnymi masami, które tam ewoluują.

Równania Einsteina w sprawie zewnętrznej są zatem:

{DisplayStyle r_ {ij} = 0}

${displaystyle R_{ij}=0}$

Równania Einsteina w polu grawitacyjnym w przypadek wewnętrzny [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Drugim przypadkiem równań pola jest przypadek, w którym istnieje materia (lokalnie): mówimy o „sprawie wewnętrznej”, to znaczy „w materii”.

W tym przypadku działanie składa się z działania pola grawitacyjnego

{DisplayStyle S_ {g} = k.int {sqrt {-g}}. r.domega}

${displaystyle S_{g}=K.int {sqrt {-g}}.R.dOmega }$ oraz działanie materii, w tym pole elektromagnetyczne, które piszemy

{DisplayStyle S_ {m} = {frac {1} {c}} int {sqrt {-g}}. Lambda _ {m} Domega}

${displaystyle S_{m}={frac {1}{c}}int {sqrt {-g}}.Lambda _{m}dOmega }$ .

Demonstracja równań Einsteina w przypadku wewnętrznego

Odliczone równania to:

{DisplayStyle r_ {ij}-{frac {1} {2}} g_ {ij} r = chi t_ {ij}}

${displaystyle R_{ij}-{frac {1}{2}}g_{ij}R=chi T_{ij}}$

Z skurczem podobnym do na wolnym powietrzu , wiedząc to

{DisplayStyle g_ {ij} g^{ij} = 4}

${displaystyle g_{ij}g^{ij}=4}$ i pozując

{DisplayStyle t = g^{ij} t_ {ij}}

${displaystyle T=g^{ij}T_{ij}}$ , na

{DisplayStyle r = -chi t}

${displaystyle R=-chi T}$ . Główna krzywizna jest zatem proporcjonalna do Całkowita gęstość energii

{DisplayStyle t = g^{ij} t_ {ij}}

${displaystyle T=g^{ij}T_{ij}}$ (Lub Ślad tensor

${DisplayStyle t_ {ij}}$

${displaystyle T_{ij}}$ ).

Dlatego możemy również napisać:

{DisplayStyle r_ {ij} = chi left (t_ {ij}-{frac {1} {2}} g_ {ij} tright)}

${displaystyle R_{ij}=chi left(T_{ij}-{frac {1}{2}}g_{ij}Tright)}$

↑ Jean-Claude Boudenot po 1916 roku, strona 162 jego książki Relatywistyczny elektromagnetyzm i grawitacja , Ellipse (1989), (ISBN 2-7298-8936-1 ) ; W Lev Landau et evgueni lifchits, Fizyka teoretyczna W T. 2: Teoria pola [Szczegóły wydań] , §93 Uwaga na dole strony na początku akapitu mówi się, że metodę tę sugerował Hilbert w 1915 r., Co potwierdza Jean-Paul Auffray P. 247 (ustęp Hilbert idzie na ryby ) z jego książki Einstein i Poincaré , edycja Jabłoni , 1999, (ISBN 2 746 5015 9 ) .
↑ Elie Cartan, Diary of Pure and Applied Mathematics, 1, 1922, P. 141-203 .

Jean-Claude Boudenot; Relatywistyczny elektromagnetyzm i grawitacja , Ellipse (1989), (ISBN 2-7298-8936-1 )
Jean-Louis Basdevant; Zasady wariacyjne i dynamiczne , Vuibert (2005), (ISBN 2711771725 ) .
Edgard Elbaz; Ogólna względność i grawitacja , Ellipse (1986).

Lev Landau et evgueni lifchits, Fizyka teoretyczna W T. 2: Teoria pola [Szczegóły wydań]
Richard P. Feynman, Robert B. Leighton et Matthew Sands (W) W Kurs fizyki Feynmana [Szczegóły edycji] W Elektromagnetyzm (i) , rozdz. 19, intereditions, 1979 (ISBN 2-7296-0028-0 ) ; trzcina. Dunod, 2000 (ISBN 2-10-004861-9 )
Florence Martin-Robine, Historia zasady mniejszego działania , Vuibert, 2006 (ISBN 2711771512 )

after-content-x4

Zasada niższego działania i ogólna względność – Wikipedia

Cząstka w polu grawitacji [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Cząstka w polu elektromagnetycznym [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Gęstość Lagrangian w zakrzywionej przestrzeni [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Definicje tensorów Riemanna, Ricci i krzywizny [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Narzędzia analityczne [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Zastosowanie zasady bezwładności w zakrzywionej przestrzeni [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Kowarianty pochodne [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Gdzie znajdujemy tensory Riemanna, itp. [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Równości i przydatne właściwości [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Równania Einsteina w polu grawitacyjnym w na wolnym powietrzu [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Równania Einsteina w polu grawitacyjnym w przypadek wewnętrzny [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ]

Recent Posts

Recent Comments

Archives

Categories

Meta