[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/zasada-nizszego-dzialania-i-ogolna-wzglednosc-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/zasada-nizszego-dzialania-i-ogolna-wzglednosc-wikipedia\/","headline":"Zasada ni\u017cszego dzia\u0142ania i og\u00f3lna wzgl\u0119dno\u015b\u0107 – Wikipedia","name":"Zasada ni\u017cszego dzia\u0142ania i og\u00f3lna wzgl\u0119dno\u015b\u0107 – Wikipedia","description":"before-content-x4 Jeste\u015bmy winni Davidowi Hilbertowi w 1915 r., Pierwsze u\u017cycie Zasada ni\u017cszego dzia\u0142ania Aby uzyska\u0107 r\u00f3wnania og\u00f3lna teoria wzgl\u0119dno\u015bci ,","datePublished":"2019-06-14","dateModified":"2019-06-14","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/44a4cee54c4c053e967fe3e7d054edd4?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/b0d554803fffead08dbf14e08276551c79bf81ba","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/b0d554803fffead08dbf14e08276551c79bf81ba","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/zasada-nizszego-dzialania-i-ogolna-wzglednosc-wikipedia\/","wordCount":31340,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4Jeste\u015bmy winni Davidowi Hilbertowi w 1915 r., Pierwsze u\u017cycie Zasada ni\u017cszego dzia\u0142ania Aby uzyska\u0107 r\u00f3wnania og\u00f3lna teoria wzgl\u0119dno\u015bci , w szczeg\u00f3lno\u015bci r\u00f3wnania pola grawitacyjnego [[[ Pierwszy ] .        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4W przypadku og\u00f3lnej wzgl\u0119dno\u015bci, jak w przypadku ograniczonej wzgl\u0119dno\u015bci, r\u00f3wnania mo\u017cna uzyska\u0107 bez wzywania zasady ni\u017cszego dzia\u0142ania: zasada r\u00f3wnowa\u017cno\u015bci, wyra\u017cona w formie \u201eZawsze mo\u017cemy znale\u017a\u0107 repozytorium lokalnie anulowanie pola grawitacji\u201d, pozwala znale\u017a\u0107 r\u00f3wnania ruchu cz\u0105stki bezpo\u015brednio; i wyj\u0105tkowo\u015b\u0107 kszta\u0142tu geometrycznego tensora, kt\u00f3ry jest anulowany przez kowariantowy pochodna, wyj\u0105tkowo\u015b\u0107 udowodniona przez \u00c9lie Cartan [[[ 2 ] , pozwala znale\u017a\u0107 r\u00f3wnania pola grawitacji, kt\u00f3re by\u0142o oryginaln\u0105 metod\u0105 Einsteina (chocia\u017c w tym czasie nie udowodniono wyj\u0105tkowo\u015bci). Je\u015bli podane s\u0105 r\u00f3wnania og\u00f3lnej wzgl\u0119dno\u015bci, mo\u017cemy wywnioskowa\u0107 dzia\u0142anie w celu zastosowania zasady. W szczeg\u00f3lno\u015bci, w przypadku r\u00f3wna\u0144 geodezyjnych, kt\u00f3re mo\u017cemy znale\u017a\u0107 metryk\u0119 D S 2 {DisplayStyle ds^{2},} powi\u0105zany.        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4  Table of ContentsCz\u0105stka w polu grawitacji [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Cz\u0105stka w polu elektromagnetycznym [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] G\u0119sto\u015b\u0107 Lagrangian w zakrzywionej przestrzeni [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Definicje tensor\u00f3w Riemanna, Ricci i krzywizny [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Narz\u0119dzia analityczne [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Zastosowanie zasady bezw\u0142adno\u015bci w zakrzywionej przestrzeni [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Kowarianty pochodne [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Gdzie znajdujemy tensory Riemanna, itp. [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] R\u00f3wno\u015bci i przydatne w\u0142a\u015bciwo\u015bci [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] R\u00f3wnania Einsteina w polu grawitacyjnym w na wolnym powietrzu [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] R\u00f3wnania Einsteina w polu grawitacyjnym w przypadek wewn\u0119trzny [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Cz\u0105stka w polu grawitacji [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] W tej pracy u\u017cywamy hipotezy, \u017ce cz\u0105stka nie modyfikuje jej \u015brodowiska: masa cz\u0105stki lub jej pozycji nie zmienia pola grawitacji, ta masa musi by\u0107 \u201ema\u0142a\u201d. Zgodnie z zasad\u0105 r\u00f3wnowa\u017cno\u015bci Einsteina grawitacja jest lokalnie r\u00f3wnowa\u017cna wyboru przyspieszonego repozytorium.        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4W kontek\u015bcie ograniczonej wzgl\u0119dno\u015bci, przyjmuj\u0105c przyspieszone repozytorium (dane kontaktowe  ( X 0 \u2032 ; X Pierwszy \u2032 ; X 2 \u2032 ; X 3 \u2032 ) {displayStyle (x ‘_ {0}; x’ _ {1}; x ‘_ {2}; x’ _ {3})} ), lokalne postrzeganie jest zatem pole grawitacji, a zmiana repozytorium w por\u00f3wnaniu z repozytorium bezw\u0142adno\u015bci (wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne  ( X 0 ; X Pierwszy ; X 2 ; X 3 ) {displayStyle (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})} ) nak\u0142ada metryk\u0119 ze wsp\u00f3\u0142czynnikami nietriwalnymi:  D S 2 = ( X 0 ) 2 – ( X Pierwszy ) 2 – ( X 2 ) 2 – ( X 3 ) 2 = G I J ( X \u2032 ) X I \u2032 X J \u2032 {DisplayStyle ds^{2} = (x_ {0})^{2}-(x_ {1})^{2}-(x_ {2})^{2}-(x_ {3})^{2 } = g^{ij} (x ‘) x’ _ {i} x ‘_ {j}} . Wystarczy okre\u015bli\u0107 r\u00f3wnania ruchu w tym repozytorium ze wzgl\u0119du na zasad\u0119 ni\u017cszego dzia\u0142ania w ograniczonej wzgl\u0119dno\u015bci. Zasada r\u00f3wnowa\u017cno\u015bci umo\u017cliwia stwierdzenie, \u017ce prawdziwe pole grawitacyjne (nie z powodu wyboru repozytorium) jest r\u00f3wnie\u017c okre\u015blone przez metryk\u0119  D S 2 {DisplayStyle ds^{2}} (a metryka jest okre\u015blana przez pole grawitacyjne); Chocia\u017c u\u017cycie metryki  D S 2 = G I J ( X ) X I X J = G I J X I X J {DisplayStyle ds^{2} = g^{ij} (x) x_ {i} x_ {j} = g^{ij} x_ {i} x_ {j}} co nie jest spowodowane, a zatem nie jest to kompensowalne poza lokalnym obszarem czasoprzestrzeni, przez zmian\u0119 repozytorium oznacza, \u017ce \u200b\u200bczasoprzestrze i kt\u00f3re nast\u0119pnie opuszczymy ramy ograniczonej wzgl\u0119dno\u015bci, aby zbudowa\u0107 now\u0105 teori\u0119: og\u00f3lna wzgl\u0119dno\u015b\u0107. Mo\u017cemy zatem pozosta\u0107 w ci\u0105g\u0142o\u015bci ograniczonej wzgl\u0119dno\u015bci i potwierdzi\u0107, \u017ce niesko\u0144czenie ma\u0142e dzia\u0142anie punktualnej cz\u0105stki, pod wp\u0142ywem samej grawitacji, og\u00f3lnie jest: D S = – M C gijdxidxj{DisplayStyle ds = -MC {sqrt {g^{ij} dx_ {i} dx_ {j}}}}  gdzie to zak\u0142adamy  G I J = G J I {DisplayStyle g^{ij} = g^{ji}} Bez usuwania niczego z og\u00f3lno\u015bci. U\u017cywaj\u0105c faktu, \u017ce  D S = gijD xiD xj{DisplayStyle ds = {sqrt {g^{ij} dx_ {i} dx_ {j}}}} jest w\u0142a\u015bciwym czasem cz\u0105stki, dzia\u0142anie minimalizowane mi\u0119dzy dwoma punktami czasoprzestrzeni  S = – M C \u222b A B D S {DisplayStyle s = -MCint _ {a}^{b} ds} Pokazuje, \u017ce podobnie jak w ograniczonej wzgl\u0119dno\u015bci, jest to czas czysty, aby przej\u015b\u0107 z punktu A do punktu B, kt\u00f3ry jest maksymalizowany (lokalnie) przez zasad\u0119. Geodezyka to \u015bcie\u017cki, kt\u00f3re maksymalizuj\u0105 (lokalnie) w\u0142a\u015bciwy czas cz\u0105stki . Aby zachowa\u0107 konsystencj\u0119 fizyczn\u0105, musimy to za\u0142o\u017cy\u0107  G I J {DisplayStyle g^{ij}} s\u0105 ci\u0105g\u0142e; Aby m\u00f3c pracowa\u0107 ze znanymi narz\u0119dziami, to znaczy pochodne, ale tak\u017ce zak\u0142adanie, \u017ce pole grawitacyjne jest ci\u0105g\u0142e, musimy za\u0142o\u017cy\u0107, \u017ce s\u0105 to r\u00f3\u017cnice. Nast\u0119pnie w przypadku r\u00f3wna\u0144 Einsteina konieczne b\u0119dzie za\u0142o\u017cenie, \u017ce s\u0105 one C 2 . Bior\u0105c pod uwag\u0119 czas  T 0 {DisplayStyle T_ {0}} ka\u017cdy: dSdt0= L 0= – M C gijViVj{DisplayStyle {frac {ds} {dt_ {0}}} = l_ {0} =-mc {sqrt {g^{ij} v_ {i} v_ {j}}}}}  Zawsze u\u017cywamy r\u00f3wna\u0144 Euler-Lagrange  d\u00a0\u00a0dt0\u2202L0\u2202Vk –  \u2202L0\u2202xk =  0   {displayStyle {frac {d ~~} {dt_ {0}}} {frac {parial l_ {0}} {parial v_ {k}}} – {frac {parial l_ {0}} {parial x_ {k}}}}} } = 0 ~~} Po podzieleniu przez wsp\u00f3\u0142czynnik  – M C {displayStyle -mc} Tutaj bezu\u017cyteczne. Szczeg\u00f3\u0142y demonstracji Otrzymujemy r\u00f3wnanie: V\u02d9m+ C mijW iW j= 0 {DisplayStyle {dot {and}} _ {m}+gamma _ {m}^{ij} v_} v_ {j} = 0}  \u017ce mo\u017cemy r\u00f3wnie\u017c napisa\u0107: d2xkds2+ C kijdxidsxjds= 0 {displayStyle {frac {d^{2} x_ {k}} {ds^{2}}}+gamma _ {k}^{ij} {frac {dx_ {i}} {ds}} {frac {x_ {x_ {x_ {x_ {x_ {x_ {x_ {x_ {x_ {x_ { j}} {ds}} = 0}  Lub : DVkds= 0 {DisplayStyle {frac {dv_ {k}} {ds}} = 0}  z \u201ekowarodn\u0105 pochodn\u0105\u201d: D W k = D W k + C k I J W I D W J {DisplayStyle dv_ {k} = dv_ {k}+gamma _ _ _ q^{ij} v_ {i} dv_ {j}} I D W k = D W k + C I J k W I D W J {DisplayStyle dv^{k} = dv ^^ k}+gamma _ _ _ _ _ q q q q q q q q , Lub  W k = dxkdt0{DisplayStyle v_ {k} = {frac {dx_ {k}} {dt_ {0}}}} Dla  T 0 = {DisplayStyle T_ {0} =} Czysto\u015b\u0107. Symbol Christoffela C k I J {DisplayStyle gamma _ {k}^{ij}} jest na\u0142o\u017cony jako manifestacja grawitacji w r\u00f3wnaniach ruchu. R\u00f3wnania ruchu nie zale\u017c\u0105 od masy cz\u0105stki (tak nazwanej, poniewa\u017c zaniedbali\u015bmy jej zasi\u0119g przestrzenny i wp\u0142yw na jego \u015brodowisko): wszystkie cz\u0105steczki pod\u0105\u017caj\u0105 za tymi samymi trajektoriami (w identycznych warunkach pocz\u0105tkowych), jest to r\u00f3wnanie Geodezyka og\u00f3lna wzgl\u0119dno\u015b\u0107, w obecno\u015bci samej grawitacji. Jednak te r\u00f3wnania ruchu nie s\u0105 wa\u017cne dla cz\u0105stki o zerowej masie, poniewa\u017c w tym przypadku mamy od samego pocz\u0105tku  D S = 0   {DisplayStyle ~ ds = 0 ~~} , kt\u00f3ry zabrania wszystkich oblicze\u0144 przeprowadzonych powy\u017cej; mamy te\u017c  D S = C . D T 0 = 0   {DisplayStyle ~ ds = c.dt_ {0} = 0 ~~} Poniewa\u017c czysta pogoda nie przep\u0142ywa dla cz\u0105stki bez masy (patrz ograniczona wzgl\u0119dno\u015b\u0107), termin V\u02d9M {DisplayStyle {dot {v}} _ {m}} W \u017cadnym wypadku nie ma sensu. Musimy uzna\u0107 fal\u0119 zwi\u0105zan\u0105 z cz\u0105steczk\u0105, kt\u00f3ra ma r\u00f3wnanie o znaczeniu, ponadto \u015bwiat\u0142o by\u0142o rozumiane jako fala (elektromagnetyczna), a nie jako cz\u0105stka (foton, zerowej masy), gdy napisano og\u00f3ln\u0105 wzgl\u0119dno\u015b\u0107. Cz\u0105stka w polu elektromagnetycznym [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Podobnie jak ograniczona wzgl\u0119dno\u015b\u0107, definicja niesko\u0144czenie ma\u0142ego dzia\u0142ania relatywistycznego dzia\u0142ania okre\u015blonej cz\u0105stki obci\u0105\u017cenia  To jest {DisplayStyle e} w polu elektromagnetycznym jest  L . D T =  – M C . gijD xi. D xj– To jest . A J . D X J {DisplayStyle l.dt = -mc. {sqrt {g^{ij} dx_ {i} .dx_ {j}}} -e.a^{j} .dx_ {j}} . Wed\u0142ug ca\u0142kowicie podobnych oblicze\u0144 rysujemy r\u00f3wnania ruchu: M . ( V\u02d9k+ C ijkW iW j) = To jest . W j. F kj{DisplayStyle m. ({dot {v}}^{k}+gamma _ {ij}^{k} v^{i} v^{j}) = e.v_ {j} .f^{kj}}  \u017ce mo\u017cemy napisa\u0107: M C . ( d2xkds2+\u0393ijkdxidsdxjds) = To jest . F kjdxjds{displayStyle mc.Left ({frac {d^{2} x^{k}} {ds^{2}}}+gamma _ {ij}^{k} {frac {dx^{i}} {ds} } {frac {dx^{j}} {ds}} right) = e.f^{kj} {frac {dx_ {j}} {ds}}}}  Lub : M C . DVkds= To jest . F kjW j{DisplayStyle MC. {frac {dv^{k}} {ds}} = e.f^{kj} v_ {j}}  Aby okre\u015bli\u0107 jego g\u0119sto\u015b\u0107 Lagrangian, w\u00f3wczas r\u00f3wnania, konieczne jest opracowanie niekt\u00f3rych rozwa\u017ca\u0144 podanych powy\u017cej, a nawet niekt\u00f3rych wiadomo\u015bci. G\u0119sto\u015b\u0107 Lagrangian w zakrzywionej przestrzeni [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Z powodu niezmienno\u015bci trajektorii pola w stosunku do test\u00f3w por\u00f3wnawczych, z kt\u00f3rych jest obserwowane S G = \u222b L D Oh {DisplayStyle S_ {g} = int ldomega} Musi by\u0107 niezmienna przez zmian\u0119 repozytorium. Szczeg\u00f3\u0142y uzasadniaj\u0105ce g\u0119sto\u015b\u0107 Lagrangiana   By\u0107 Sg=\u222bLd\u03a9=\u222bL\u2032d\u03a9\u2032{DisplayStyle S_ {g} = int ldomega = int l’Ondomega ‘} akcja w dw\u00f3ch r\u00f3\u017cnych standardach. Na : \u00a0d\u03a9=dx0.dx1.dx2.dx3{DisplayStyle Domega = DX_ {0} .dx_ {1} .dx_ {2} .dx_ {3}} I \u00a0d\u03a9\u2032=dx0\u2032.dx1\u2032.dx2\u2032.dx3\u2032=J.dx0.dx1.dx2.dx3{DisplayStyle Domega ‘= dx’ _ {0} .dx ‘_ {1} .dx’ _ {2} .dx ‘_ {3} = J.DX_ {0} .dx_ {1} .dx_ {2}. dx_ {3}}  Lub \u00a0J{DisplayStyle J} jest jakobijaninem do zmiany zmiennych. Na : J=|det(\u2202xi\u2032\u2202xj)|\u00a0{displayStyle j = lewy | det po lewej ({frac {cz\u0119\u015bciowe x ‘_ {i}} {cz\u0119\u015bciowe x_ {j}}} prawe) prawe | ~}  Lub : ds2=gijdxidxj=g\u2032kldxk\u2032dxl\u2032\u2192\u00a0gkl=\u2202xi\u2032\u2202xk.\u2202xj\u2032\u2202xlg\u2032ij\u2192g=J2.g\u2032{DisplayStyle ds^{2} = g^{ij} dx_ {i} dx_ {j} = g ‘^{Kl} dx’ _ {k} dx ‘_ {l} do g^{Kl} = {frac {frac {frac {frac {frac {frac {frac { cz\u0119\u015bciowo x ‘_ {i}} {parial x_ {k}}}. {frac {parial x’ _ {j}} {cz\u0119\u015bciowe x_ {l}}} g ‘^{ij} do g = J^{2} .G’} , bior\u0105c determinanty. WI\u0118C : J=|g|12|g\u2032|12{DisplayStyle j = {frac {| g |^{frac {1} {2}}} {| g ‘|^{frac {1} {2}}}}}}  Wi\u0119c Sg=\u222bLd\u03a9=\u222bL\u2032d\u03a9\u2032=\u222bL\u2032.Jd\u03a9\u2192L=L\u2032.J\u2192L.|g|\u221212=L\u2032.|g\u2032|\u221212=\u039b{DisplayStyle S_ {g} = int ldomega = int l’Odomega ‘= int l’.jdomega to l = l’.jto l. | g |^{-{frac {1} {2}}} = l’. | g ‘|^{-{frac {1} {2}}} = lambda} jest sta\u0142\u0105 pola w por\u00f3wnaniu ze zmianami test\u00f3w por\u00f3wnawczych. Celem jest zatem znalezienie skalarno\u015bci pola, niezmienno\u015bci w odniesieniu do zmian standard\u00f3w.  W Notant  L {DisplayStyle Lambda} Skalar pola, niezmienny w odniesieniu do zmian standard\u00f3w, g\u0119sto\u015b\u0107 Lagrangian b\u0119dzie:  L = L . |. G |. 12{DisplayStyle l = lambda. | g |^{frac {1} {2}}}  Definicje tensor\u00f3w Riemanna, Ricci i krzywizny [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Jak \u00c9lie Cartan  W kategoriach matematycznych przestrze\u0144 kwadraryczna zdefiniowana przez powy\u017csze rozwa\u017cania to r\u00f3\u017cnorodno\u015b\u0107 c 2 gdzie kwadri-vitesse s\u0105 wektorami nale\u017c\u0105cymi do stycznej przestrzeni wektorowej do tego  G I J {DisplayStyle g^{ij}} . Pami\u0119taj, \u017ce dane kontaktowe ( X 0 ; X Pierwszy ; X 2 ; X 3 ) {displayStyle (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})} s\u0105 wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnymi punktami odmiany, dostarczonymi z dowolnym uk\u0142adem wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnych, reprezentuj\u0105cych dowolny wyb\u00f3r fizycznych ram obserwatora. Miara grawitacji, kt\u00f3ra wp\u0142ywa na geodezyk\u0119, mo\u017cna wykona\u0107 poprzez r\u00f3\u017cnic\u0119 w orientacji mi\u0119dzy dwoma wektorami wynikaj\u0105cymi z transportu pojedynczego oryginalnego wektora przez dwie r\u00f3\u017cne \u015bcie\u017cki geodezyjne do tego samego punktu ko\u0144cowego. R\u00f3wnanie geodezyjne V\u02d9m+ C mijW iW j= 0 {DisplayStyle {dot {and}} _ {m}+gamma _ {m}^{ij} v_} v_ {j} = 0} jest r\u00f3wna dVkdt0= – C kijW iW j{DisplayStyle {frac {dv_ {k}} {dt_ {0}}} = -gamma _ {k}^{ij} v_ {i} v_ {j}}} . To W j= dxjdt0{DisplayStyle v_ {j} = {frac {dx_ {j}} {dt_ {0}}}}} , wywnioskowamy: D W k= – C kijW iD X j{DisplayStyle dv_ {k} = -gamma _ {k}^{{ij} v_ {i} dx_ {j}} ; Wiedz\u0105c, \u017ce mamy C kij= C kji{DisplayStyle Gamma _ _ _ _ _ _ Jak widzimy z jego definicji, mo\u017cemy r\u00f3wnie\u017c pisa\u0107 D W k= – C kijD X iW j{DisplayStyle dv_ {k} = -gamma _ {k}^{{ij} dx_ {i} v_ {j}} . Podobnie otrzymujemy D W k= – C ijkW iD X j{DisplayStyle dv^{k} = -gamma _ {ij} ^^ {k} v Wektor ( Ai) {DisplayStyle lewy (a_ {i} po prawej)} jest powiedziane transportowane r\u00f3wnolegle Wzd\u0142u\u017c geodezyjnej, je\u015bli zmiany w jego danych kontaktowych sprawdz\u0105 D A k= – C kijA iD X j{DisplayStyle DA_ {k} = -Gamma _ {k}^{ij} a_ {i} dx_ {j}}} Kiedy jest przeniesiony  ( D X j) j=0;1;2;3{displayStyle (dx_ {j}) _ {j = 0; 1; 2; 3}} wzd\u0142u\u017c geodezyjnej. Szczeg\u00f3\u0142y metody Elie Cartan Definiujemy Riemann Tensor o : R ijkl= \u2202 jC ilk– \u2202 lC ijk+ C plkC ijp– C pjkC ilp{displayStyle r_ {i}^{jkl} = cz\u0119\u015bciowo^{j} gamma _ {i}^{lk} -partial^{l} gamma _ {i}^{jk}+gamma _ {p}^{lk} Gamma _ {i}^{jp} -gamma _ {p}^{jk} gamma _ {i}^{lp}}  . Ricci Tensor jest skurczem tensora Riemanna: R ij= R kikj{DisplayStyle r^{ij} = r_ {k}^{ij}} Jego formu\u0142a pokazuje, \u017ce jest to symetryczny tensor:  R ij= R jiMOLOTY YLE YLEXT MY\u015aL MATJOYE FUNY HYKHJOJS ZOREGO. . Krzywizna Riemanniana jest liczb\u0105 uzyskan\u0105 przez skurcz tensor ricci:  R = G ijR ij{DisplayStyle r = g_ {ij} r^{ij}} Wszystkie r\u00f3wno\u015bci u\u017cyte w ” Szczeg\u00f3\u0142y metody Elie Cartan \u201eBycie niezale\u017cnym od wybranego repozytorium, a tak\u017ce w przypadku definicji tensor\u00f3w Riemann i Ricci (dlatego pozwalamy sobie na to napinacz ). Tak jest r\u00f3wnie\u017c w przypadku krzywizny  R {DisplayStyle r} kt\u00f3ry jest zatem kandydatem  L {DisplayStyle Lambda} Niezmienny skalar pola grawitacji. \u00c9lie Cartan pokaza\u0142, \u017ce niezmienne skalarie przez zmian\u0119 repozytorium s\u0105 formy  A R + B  {DisplayStyle Alpha R+beta ~} .   A {DisplayStyle ~ alpha} po prostu wskazuje, \u017ce zmiana jednostki jest zawsze mo\u017cliwa,  B {DisplayStyle beta} umo\u017cliwia wprowadzenie sta\u0142ej kosmologicznej. Narz\u0119dzia analityczne [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Zastosowanie zasady bezw\u0142adno\u015bci w zakrzywionej przestrzeni [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Aby nasza praca by\u0142a konsekwencj\u0105 zasady ni\u017cszego dzia\u0142ania, zastosowana tutaj metoda polega na okre\u015bleniu w\u0142a\u015bciwo\u015bci r\u00f3\u017cnorodno\u015bci od metryki jej przestrzeni stycznej. Styczne przestrzenie wektorowe (wymiar 4) maj\u0105 swoj\u0105 \u201enaturaln\u0105\u201d baz\u0119 {   e\u2192\u00a00; e\u2192\u00a01; e\u2192\u00a02; e\u2192\u00a03{DisplayStyle {{rzecz {e}}^{~ 0}; {rzecz {e}} {~ 1}; {rzecz {e}} {~ 2}; {rzecz {e}} {~ 3}}}} }  : I  M ( X 0; X 1; X 2; X 3) {DisplayStyle m (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})} to punkt, w kt\u00f3rym rozwa\u017camy styczn\u0105 przestrze\u0144, pozujemy e\u2192\u00a0i= (\u00a0\u2202xj\u2202xi\u00a0)j=0,1,2,3{DisplayStyle {vec {e}}^{~ i} = lewy (~ {frac {cz\u0119\u015bciowe x_ {j}} {parial x_ {i}}} ~ right) _ {j = 0,1,2,3}}} ; co cz\u0119sto piszemy e\u2192\u00a0i= \u2202\u00a0\u2202xi{displayStyle {vec {e}}^{~ i} = {frac {parial ~} {parial x_ {i}}}}} . R\u00f3wnania geodezyjne to w\u0142a\u015bciwo\u015bci dotycz\u0105ce danych kontaktowych dxidto{DisplayStyle {frac {dx_ {i}} {dt_ {o}}}} Lub dxids{DisplayStyle {frac {dx_ {i}} {ds}}} Z kwadri pr\u0119dko\u015bci wzd\u0142u\u017c tej trajektorii nie podaj\u0105 \u017cadnych wskaz\u00f3wek dla zmienno\u015bci (wyprowadzenia) Quadri-Vector  e\u2192\u00a0i{displayStyle {vec {e}}^{~ i}} Od jednego punktu do drugiego przestrzeni, a nawet do wyprowadzenia wektora Quadri-Speed V\u2192= W ie\u2192\u00a0i{DisplayStyle {rzecz {v}} = v_ {i} {rzecz {e}} {~ i}} . Aby to zrobi\u0107, mo\u017cemy u\u017cy\u0107 fizycznej zasady krawca dla og\u00f3lnej wzgl\u0119dno\u015bci: Zasada bezw\u0142adno\u015bci: wzd\u0142u\u017c geodezji i przy braku interwencji zewn\u0119trznej, wektor pr\u0119dko\u015bci (kwadr-) cz\u0105stki jest sta\u0142y. To jest powiedzie\u0107: D V\u2192= 0\u2192{DisplayStyle d {rzecz {v}} = {rzecz {0}}} Na oponach: D V\u2192= 0\u2192= D W i. e\u2192\u00a0i+ W i. D e\u2192\u00a0i= – C ijkD X jW k. e\u2192\u00a0i+ W i. D e\u2192\u00a0i{DisclaYystyle D {vec {v}} = {vec {0}} = dv_ {i {i {i {vec {e}}}^{~ i {i {i {i {i {i {i {vec {e} ^{~} = -gamma _ {i {i {i {jk} dx_ {j} v_ {k}. {vec {e}}}^~ i}+v_ {i {i {i {i {vec {vec {vec {vec {vec {vec {vec {vec {vec {vec {vec {vec {vec {vec {vec e}}^{~ i}} Pocz\u0105tkowa pr\u0119dko\u015b\u0107 jest kwadraty, dostajemy: D e\u2192\u00a0i= C kijD X je\u2192\u00a0k{DisplayStyle d {rzecz {e}} {~ i} = gamma _ {k} {ij} dx_ {j} {j {e}}^{~ k}}  Analizuj\u0105c r\u00f3wnania geodezyjne lub bior\u0105c pod uwag\u0119, \u017ce \u201eosie\u201d danych kontaktowych niekoniecznie s\u0105 geodezyjne, nie mo\u017cna powiedzie\u0107, \u017ce wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne pr\u0119dko\u015bci kwadrowej s\u0105 sta\u0142e. O wyborze D V\u2192= 0\u2192{DisplayStyle d {rzecz {v}} = {rzecz {0}}} Jazda oznacza \u201eustalenie prawa, co wskazuje kierunek ruchu\u201d. Ca\u0142y problem jest tym, czym jest prawo, gdy uk\u0142ad wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnych jest dowolny, nawet w zakrzywionej przestrzeni; Po ustaleniu linii mo\u017cna zdefiniowa\u0107 wyprowadzenie. W kontek\u015bcie, w kt\u00f3rym nas interesuje, gdy eksperymentator znajduje si\u0119 w przestrzeni Minkowskiego i wybra\u0142 dowolny system wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnych, kt\u00f3ry prawdopodobnie wywo\u0142uje grawitacj\u0119, linie wyprowadzenia s\u0105 przestrzeni Minkowskiego, kt\u00f3re s\u0105 r\u00f3wnie\u017c lini\u0105 bezw\u0142adno\u015bciowej ruch. Chyba \u017ce zdefiniujesz now\u0105 wyprowadzenie, r\u00f3wno\u015b\u0107 dV\u2192=0\u2192{DisplayStyle d {rzecz {v}} = {rzecz {0}}} s’impose. Gdy eksperymentator znajduje si\u0119 w odniesieniu, w kt\u00f3rym wyst\u0119puje grawitacja, a przy braku informacji na temat przyczyn tej grawitacji (z powodu masy lub z powodu przyspieszonego repozytorium lub obu) jedynych praw, do kt\u00f3rych ma dost\u0119p, jako A fizyk, s\u0105 te z ruchu bezw\u0142adno\u015bci: wyprowadzenie jest zatem zdefiniowane przez dV\u2192=0\u2192{DisplayStyle d {rzecz {v}} = {rzecz {0}}} . Ale ten wyb\u00f3r opiera si\u0119 na hipotezie, \u017ce w jego repozytorium ruch bezw\u0142adno\u015bciowy pod\u0105\u017ca za prawem. Je\u015bli eksperymentator wybierze w\u0142a\u015bciwe osie swojego repozytorium, zatem narzuca de\u2192\u00a0i=0\u2192{DisplayStyle d {rzecz {e}} {~ i} = {rzecz {0}}} , obserwowany ruch \u201ebezw\u0142adno\u015bci\u201d nie jest prosty ( dV\u2192\u22600\u2192{DisplayStyle d {rzecz {v}} neq {rzecz {0}}} ) i mo\u017cna interpretowa\u0107 jako si\u0142\u0119 (grawitacji). Te dwie opcje, podobnie jak inne, kt\u00f3re mo\u017cna sobie wyobrazi\u0107, s\u0105 wa\u017cne tylko lokalnie: pierwsza lokalnie asymiluje grawitacj\u0119 do przyspieszonego repozytorium w przestrzeni Minkowskiego, drugi emituje hipotez\u0119 si\u0142y w przestrzeni pocz\u0105tkowo prawej; Dwie opcje, kt\u00f3re wyprostuj\u0105 czas przestrze\u0144 na sw\u00f3j spos\u00f3b, kt\u00f3re mo\u017cna dokona\u0107 tylko lokalnie. Kowarianty pochodne [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Albo A\u2192( X ) = A I e\u2192 I {DisplayStyle {vec {a}} (x) = a_ {i} {vec {e}}}^{~ i}}} kwadrowy wektor w stycznej przestrzeni do rzeczy  M ( X 0 ; X Pierwszy ; X 2 ; X 3 ) {DisplayStyle m (x_ {0}; x_ {1}; x_ {2}; x_ {3})} . Na : D A\u2192( X ) = ( D A I ) e\u2192 I + A I D ( e\u2192 I ) = ( \u2202 J A I + A k C I J k ) e\u2192 I D X J = D J A I . e\u2192 I D X J {displayStyle d {vec {a}} (x) = (da_ {i}) {vec {e}}^{~ i}+a_ {i} d ({vec {e}}^{~ i}) = = (cz\u0119\u015bciowo^{j} a_ {i}+a_ {k} gamma _ {i}^{jk}) {vec {e}}^{~ i} dx_ {j} = d^{j} a_ {i} . {vec {e}}^{~ i} dx_ {j}}  Definiuj\u0105c Kowarianty pochodne o : D jA i= \u2202 jA i+ C ijkA k{DisplayStyle d^{j} a_ {i} = cz\u0119\u015bciowo^{j} a_ {i}+gamma _ {i}^{jk} a_ {k}}  Nieruchomo\u015b\u0107 : D jA il= \u2202 jA il+ C ijkA kl+ C ljkA ik{DisplayStyle d^{j} a_ {il} = odchylenie {j} a_ {iL}+gamma _ {i}^{jk} a_ {Kl}+gamma _ {l}^{jk} a_ {ik}}  D jA il= \u2202 jA il+ C ijkA kl– C kjlA ik{DisplayStyle d^{j} a_ {i}^{l} = cz\u0119\u015bciowo^{j} a_ {i}^{l}+gamma _ {i}^{jk} a_ {k}^{L} -Gamma _ {k}^{jl} a_ {i}^{k}}  I tak dalej ze wszystkimi wskaz\u00f3wkami tensora, zgodnie z ich pozycjami. Gdzie znajdujemy tensory Riemanna, itp. [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Korzystaj\u0105c z pochodnej kowarianty i po kilku obliczeniach stwierdzamy: ( DiDj– DjDi) A k = R k L W I J D X I D X J A L {displayStyle lewy (d^{i} d^{j} -d^{j} d^{i} right) a_ {k} = r_ {k}^{l, ij} dx_ {i} dx_ {j} Glin}} . Dlatego otrzymujemy poj\u0119cia ju\u017c wprowadzone \u201ew spos\u00f3b Elie Cartan\u201d. R\u00f3wno\u015bci i przydatne w\u0142a\u015bciwo\u015bci [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Twierdzenie Ricci:  D kG ij= 0   {DisplayStyle d_ {k} g^{ij} = 0 ~ quad ~} I  D kG ij= 0  {DisplayStyle ~ quad d_ {k} g_ {ij} = 0 ~} Na stawianiu  G = . ( G ij) {DisplayStyle g = det (g^{ij}) qquad} , na : |. G |. = – G G ij. G ij= D ii= 4  D G = G  G ij D G ij{displayStyle | g | = -GQquad g^{ij} .g_ {ij} = delta _ {i}^{i} = 4qquad dg = g ~ g_ {ij} ~ dg^{ij}} Ostrogradski Twierdzenie: \u222b V\u2212g D iA i D Oh = \u222e \u2202V\u2212gA i D S i{DisplayStyle int _ {v} {sqrt {-g}} ~ d_ {i} a^{i} ~ Domega = Oint _ {parial v} {sqrt {-g}} a^{i} ~ ~ ds_ {i} } , Gdy  A i{DisplayStyle a^{i}} jest tensor. Projekty r\u00f3wnych demonstracji Suma, r\u00f3\u017cnica i podsumowanie einsteina tensor\u00f3w zdefiniowanych w tej samej przestrzeni stycznej daj\u0105 tensor; Z drugiej strony, je\u015bli s\u0105 to tensory zdefiniowane w r\u00f3\u017cnych przestrzeniach stycznych, nie jest pewne, czy daje to tensor. Na przyk\u0142ad: Symbol Christoffela jest zdefiniowany na podstawie tensora metrycznego. R\u00f3wnanie geodezyjne C ijk. W k= \u2202 jW i{DisplayStyle gamma _ {i} ^{jk} .v_ {k} = cz\u0119\u015bciowo ^{j} v_ {i}} pokazuje nam, \u017ce mo\u017cna to zdefiniowa\u0107 za pomoc\u0105  \u2202 jW i{DisplayStyle Partial ^{j} v_ {i}} kt\u00f3ry, cho\u0107 tensor, jest zbudowany przez r\u00f3\u017cnic\u0119 mi\u0119dzy dwoma tensorami (kwadratyczni  W l( X m) {DisplayStyle v_ {l} (x_ {m})} I  W l( X m+ D X m) {DisplayStyle v_ {l} (x_ {m}+dx_ {m})} ) Zdefiniowane w dw\u00f3ch r\u00f3\u017cnych przestrzeniach stycznych: symbol Christoffela nie jest tensor (z wyj\u0105tkiem konkretnych przypadk\u00f3w), poniewa\u017c mo\u017cemy pokaza\u0107 przy u\u017cyciu jego formu\u0142y definicji. Wyr\u00f3wnanie tynczyka wykazana w dowolnym momencie, ale przy u\u017cyciu okre\u015blonej ramki odniesienia jest w tym momencie prawdziwa r\u00f3wno\u015b\u0107 i dla wszystkich punkt\u00f3w por\u00f3wnawczych: jest to g\u0142\u00f3wne zainteresowanie u\u017cywania tensor\u00f3w. Na przyk\u0142ad pod ka\u017cdym wzgl\u0119dem istnieje niewa\u017cki (w wolnym upadku w polu grawitacyjnym), to znaczy C ijk= 0 {DisplayStyle gamma _ {i}^{jk} = 0} . W takim odniesieniu mamy R ij,kl= \u2202 jC ilk– \u2202 lC ijk{DisplayStyle r_ {i}^{j, Kl} = cz\u0119\u015bciowo^{j} gamma _ {i}^{lk} -partial^{l} gamma _ {i}^{jk}}} I D jA i= \u2202 jA i{DisplayStyle d ^{j} a_ {i} = cz\u0119\u015bciowo ^{j} a_ {i}} Gdy  A i{DisplayStyle A_ {i}} jest tensor: co jest \u0142atwiejsze do u\u017cycia do uzasadnienia r\u00f3wno\u015bci tylnej, co b\u0119dzie prawdziwe niezale\u017cnie od repozytorium. R\u00f3wnania Einsteina w polu grawitacyjnym w na wolnym powietrzu [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] TENSORY s\u0105 u\u017cywane, aby zapewni\u0107, \u017ce r\u00f3wno\u015b\u0107 jest prawdziwa, niezale\u017cnie od punktu obserwacji fizyka i jego repozytorium. TENSERY nios\u0105 tylko informacje zwi\u0105zane z punktem obserwacyjnym i jego przestrzeni\u0105 styczn\u0105, nagle wykorzystane tam informacje i kt\u00f3re s\u0105 produkowane, s\u0105 tylko lokalne: s\u0105 to informacje o tensorach, opr\u00f3cz powszechnie wa\u017cnych danych, takich jak sta\u0142a C, G i inne \u017ce mo\u017cemy tam znale\u017a\u0107. Pierwszym przypadkiem r\u00f3wna\u0144 pola jest przypadek, w kt\u00f3rym nie ma materia\u0142u (lokalnie): m\u00f3wimy o \u201eprzypadku zewn\u0119trznym\u201d, wdro\u017conym \u201ew sprawie\u201d. W tym przypadku jedynym sk\u0142adnikiem dzia\u0142ania jest sk\u0142adnik pola grawitacyjnego  S G = K . \u222b – G . R . D Oh {DisplayStyle S_ {g} = k.int {sqrt {-g}}. r.domega} , Lub  K {DisplayStyle K} jest stale powi\u0105zane z wyborem jednostek: dla jednostek MKSA bierzemy  K = – c34\u03c0G{DisplayStyle k =-{frac {c^{3}} {4pi g}}} , Znak  – {DisplayStyle -} wynikaj\u0105c z zasady minimalizacji dzia\u0142ania. Aby znale\u017a\u0107 r\u00f3wnania pola grawitacyjnego w postaci tensor\u00f3w g\u0119sto\u015bci energii, kt\u00f3re s\u0105 symetryczne, \u0142atwiej jest przekszta\u0142ci\u0107 Lagrangian pod ca\u0142k\u0105 dzia\u0142ania ni\u017c u\u017cycie r\u00f3wna\u0144 Eulera-Lagrange. Zasada wariacyjna jest stosowana przez zmian\u0119 warunk\u00f3w metryki  G I J {DisplayStyle g^{ij}} , kt\u00f3ry jest manifestacj\u0105 grawitacji Lagrangian, zgodnie z zasad\u0105 r\u00f3wnowa\u017cno\u015bci jako odpowiednio powy\u017cej. Demonstracja r\u00f3wna\u0144 Einsteina w sprawie zewn\u0119trznej   Przy u\u017cyciu r\u00f3wno\u015bci \u00a0R=gijRij{DisplayStyle r = g_ {ij} r^{ij}} , na \u03b4Sg=K.\u222b\u03b4(\u2212g.gij.Rij)d\u03a9{DisplayStyle Delta S_ {g} = k.int delta po lewej ({sqrt {-g}}. g_ {ij} .r^{ij} right) Domega}  =K[\u222b\u03b4(\u2212g)gijRijd\u03a9+\u222b\u2212g.\u03b4(gij).Rijd\u03a9+\u222b\u2212g.gij.\u03b4(Rij)d\u03a9]{displayStyle = k [int delta ({sqrt {-g}}) g_ {ij} r^{ij} Domega +int {sqrt {-g}}. delta (g_ {ij}). r^{ij} Domega +int {sqrt {-g}}. g_ {ij} .delta (r^{ij}) Domega]}  Na \u03b4(\u2212g)=\u2212\u03b4g2\u2212g=\u221212\u2212gg.gik.\u03b4gik=\u221212\u2212g.gik\u03b4gik{DisplayStyle delta ({sqrt {-g}}}) = {frac {-delta g} {2 {sqrt {-g}}}} =-{1} {2 {sqrt {-G}} g .g_ { i}. Delta g^{i} =-{frac {1} {2}} {sqrt {-g}^{i} delta g_ {i}}}}} samoch\u00f3d gik.gik=4\u2192\u03b4(gik).gik=\u2212gik.\u03b4(gik){DisplayStyle g^{i} .g_ {i} = 4to delta (g^{i}). G_ {i} = -g^{i} .delta (g_ {i})}  Dla Pierwszy Odno\u015bnie Integral, mamy \u222b\u03b4(\u2212g)gijRijd\u03a9=\u222b\u03b4(\u2212g)Rd\u03a9=\u221212\u222bgij.R.\u2212g.\u03b4gijd\u03a9{displayStyle int delta ({sqrt {-g}}) g_ {ij} r^{ij} dopeG = int delta ({sqrt {-g}) rdomega =-{frac {1} {2}} int g^ {ij} .r. {sqrt {-G}}. Delta g_ {ij} Domega}  . 2 To jest R\u00f3wno\u015b\u0107 pozostaje niezmieniona. Dla 3 To jest integralna, aby upro\u015bci\u0107 obliczenia, umieszczamy si\u0119 w repozytorium niewa\u017calno\u015bci i dlatego mamy \u00a0Rij=\u2202l\u0393lij\u2212\u2202i\u0393llj{DisplayStyle r^{ij} = cz\u0119\u015bciowo^{l} gamma _ {l}^{ij} -partial^{i} gamma _ {l}^{lj}} . (Ale generalnie \u2202l\u0393lij\u2260Dl\u0393lij{DisplayStyle Partial^{L} gamma _ {l}^{ij} neq d^{l} gamma _ {l}^{ij}}} Poniewa\u017c symbol Christoffela nie jest tensor). Sk\u0105d \u03b4(Rij)=\u03b4\u2202l\u0393lij\u2212\u03b4\u2202i\u0393llj=\u2202l\u03b4\u0393lij\u2212\u2202i\u03b4\u0393llj{DisplayStyle Delta lewy (r ^{ij} right) = delta cz\u0119\u015bciowe ^{l} gamma _ {l} ^{ij} -delta cz\u0119\u015bciowo ^{i} gamma _ {l} ^{lj} = partia ^{l} delta gamma _ {l}^{ij} -partial^{i} delta gamma _ {l}^{lj}} zak\u0142adaj\u0105c, \u017ce zmienno\u015b\u0107 \u00a0gij{DisplayStyle g^{ij}} Pozostawia referencj\u0119 w tym punkcie, kt\u00f3ra wci\u0105\u017c pozostawia niesko\u0144czono\u015b\u0107 mo\u017cliwych odmian dla \u00a0gij{DisplayStyle g^{ij}} . W dowolnym repozytorium, \u03b4\u0393lij=\u0393lij\u2212(\u0393lij)\u2032{DisplayStyle Delta gamma _ {l}^{ij} = gamma _ {l}^}^} -Left (gamma _ {l}^{} right) ‘} gdzie symbol (\u0393lij)\u2032{DisplayStyle lewy (gamma _ {l}^{ij} right) ‘} jest symbolem Christoffela w tym samym punkcie \u00a0\u0393lij{DisplayStyle gamma _ {l}^{ij}} Ale z warunkami \u00a0gij{DisplayStyle g^{ij}} zmodyfikowane na \u0393kij.Vj=\u2202jVi\u2192\u03b4\u0393kij.Vj=\u0393lij.Vj\u2212(\u0393lij)\u2032.Vj=\u2202jVi\u2212(\u2202jVi)\u2032{DisplayStyle gamma _ {k}^{ij} .v_ {j} = partia^{j} v_ {i} do delta gamma _ {k}^{ij} .v_ {j} = gamma _ {l}^{ ij} .v_ {j} -Left (gamma _ {l} ^{ij} right) ‘. v_ {j} = parial ^{j} v_ {i} -left (cz\u0119\u015bciowo ^{j} v_ {i} right prawa ) ‘} co jest r\u00f3\u017cnic\u0105 mi\u0119dzy dwoma tenserami zdefiniowanymi w tym samym punkcie, dlatego \u03b4\u0393kij{DisplayStyle Delta gamma _ {k}^{ij}}} jest tensor (w przeciwie\u0144stwie do symbolu Christoffela). A dla tego tensora, w repozytorium niewa\u017calno\u015bci (i pozostawione jako takie, do punktu rozwa\u017canego przez zmian\u0119 \u00a0gij{DisplayStyle g^{ij}} ), \u2202l\u03b4\u0393kij=Dl\u03b4\u0393kij{DisplayStyle Partial ^^ {L} Delta gamma _ {k}^{ij} = d^{l} delta gamma _ {k}^{ij}} , Sk\u0105d \u03b4(Rij)=\u2202l\u03b4\u0393lij\u2212\u2202i\u03b4\u0393llj=Dl\u03b4\u0393lij\u2212Di\u03b4\u0393llj{DisplayStyle Delta lewy (r^{ij} right) = cz\u0119\u015bciowo^{l} delta gamma _ {l}^{ij} -partial^{i} delta gamma _ {l}^{lj} = d^{l} Delta gamma _ {l}^{ij} -d^{i} delta gamma _ {l}^{lj}}  \u2212g.gij.\u03b4Rij=\u2212g.[gij.Dl\u03b4\u0393lij\u2212gij.Di\u03b4\u0393llj]=\u2212g.[Dl(gij.\u03b4\u0393lij)\u2212Di(gij.\u03b4\u0393llj)]{displayStyle {sqrt {-g}}. g_ {ij} .delta r^{ij} = {sqrt {-g}}. [g_ {ij} .d^{l} Delta gamma _ {l}^{ij } -g_ {ij} .d^{i} delta gamma _ {l}^{lj}] = {sqrt {-g}}. [D^{L} left (g_ {ij} .delta gamma _ {l {L. }^{ij} right) -d^{i} lewy (g_ {ij} .delta gamma _ {l}^{lj} right)]}  samoch\u00f3d \u00a0Dkgij=0\u00a0{DisplayStyle ~ quad d_ {k} g_ {ij} = 0 ~} i r\u00f3wnie\u017c \u00a0Dkgij=0\u00a0{DisplayStyle ~ quad d^{k} g_ {ij} = 0 ~}  Sk\u0105d \u00a0\u2212g.gij.\u03b4Rij=\u2212g.Dl(gij.\u03b4\u0393lij\u2212glj.\u03b4\u0393iij)=\u2212g.DlAl{displayStyle ~ quad {sqrt {-g}}. g_ {ij} .delta r^{ij} = {sqrt {-g}}. ^{ij} -G_ {lj} .delta gamma _ {i}^{ij} right) = {sqrt {-g}}. d^{l} a_ {l}} . St\u0105d za pomoc\u0105 twierdzenia Ostogradskiego, \u222b\u2212g.gij.\u03b4Rijd\u03a9=\u222b\u2212g.DlAld\u03a9=\u222b\u2212g.Al.dSl=0{DisplayStyle int {sqrt {-g}}. g_ {ij} .delta r^{ij} dopeG = int {sqrt {-g}}. }}. A_ {l} .ds^{l} = 0}  Niewa\u017cno\u015b\u0107 ostatniej ca\u0142ki jest spowodowana faktem, \u017ce jest ona obliczana na temat nadwodnik\u00f3w wyznaczaj\u0105cych obj\u0119to\u015b\u0107 integracji i faktu, \u017ce zmiany \u00a0gij{DisplayStyle g^{ij}} s\u0105 zerowe na granicy integracji. Otrzymujemy: \u03b4Sg=K.\u222b(Rij\u221212gijR)\u2212g.\u03b4gijd\u03a9{DisplayStyle Delta S_ {g} = k.int opu\u015bci\u0142 (r^{ij}-{frac {1} {2}} g^{ij} rright) {sqrt {-g}}.  Zasada mniejszych dzia\u0142a\u0144, m\u00f3wi\u0105c o tym \u00a0\u03b4Sg=0{DisplayStyle Delta S_ {g} = 0} i warianty \u00a0\u03b4gij{DisplayStyle Delta g_ {ij}} B\u0119d\u0105c jakim, dostajemy \u00a0Rij\u221212gijR=0{DisplayStyle r^{ij}-{frac {1} {2}} g^{ij} r = 0} , co jest cz\u0119sto napisane (i demonstruje) poprzez obni\u017cenie wskaz\u00f3wek.  Odliczone r\u00f3wnania to:    R ij– 12G ijR = 0 {DisplayStyle r_ {ij}-{frac {1} {2}} g_ {ij} r = 0}    Tworz\u0105c \u201eskurcz\u201d  G I J R I J – Pierwszy 2 G I J . G I J R = 0 {DisplayStyle g^{ij} r_ {ij}-{frac {1} {2}} g^{ij} .g_ {ij} r = 0} , otrzymujemy  R = 0 {DisplayStyle r = 0} , co nie oznacza, \u017ce \u200b\u200bprzestrze\u0144 jest p\u0142aska, ale raczej, \u017ce jest minimaln\u0105 powierzchni\u0105 o czterech wymiarach, napi\u0119ty mi\u0119dzy r\u00f3\u017cnymi masami, kt\u00f3re tam ewoluuj\u0105. R\u00f3wnania Einsteina w sprawie zewn\u0119trznej s\u0105 zatem:  R ij= 0 {DisplayStyle r_ {ij} = 0}  R\u00f3wnania Einsteina w polu grawitacyjnym w przypadek wewn\u0119trzny [[[ modyfikator |. Modyfikator i kod ] Drugim przypadkiem r\u00f3wna\u0144 pola jest przypadek, w kt\u00f3rym istnieje materia (lokalnie): m\u00f3wimy o \u201esprawie wewn\u0119trznej\u201d, to znaczy \u201ew materii\u201d. W tym przypadku dzia\u0142anie sk\u0142ada si\u0119 z dzia\u0142ania pola grawitacyjnego  S G = K . \u222b – G . R . D Oh {DisplayStyle S_ {g} = k.int {sqrt {-g}}. r.domega} oraz dzia\u0142anie materii, w tym pole elektromagnetyczne, kt\u00f3re piszemy  S M = Pierwszy C \u222b – G . L M D Oh {DisplayStyle S_ {m} = {frac {1} {c}} int {sqrt {-g}}. Lambda _ {m} Domega} . Demonstracja r\u00f3wna\u0144 Einsteina w przypadku wewn\u0119trznego Odliczone r\u00f3wnania to:  R ij– 12G ijR = X T ij{DisplayStyle r_ {ij}-{frac {1} {2}} g_ {ij} r = chi t_ {ij}}  Z skurczem podobnym do na wolnym powietrzu , wiedz\u0105c to  G I J G I J = 4 {DisplayStyle g_ {ij} g^{ij} = 4} i pozuj\u0105c  T = G I J T I J {DisplayStyle t = g^{ij} t_ {ij}} , na  R = – X T {DisplayStyle r = -chi t} . G\u0142\u00f3wna krzywizna jest zatem proporcjonalna do Ca\u0142kowita g\u0119sto\u015b\u0107 energii   T = G I J T I J {DisplayStyle t = g^{ij} t_ {ij}} (Lub \u015alad tensor  T ij{DisplayStyle t_ {ij}} ). Dlatego mo\u017cemy r\u00f3wnie\u017c napisa\u0107:  R ij= X ( Tij\u221212gijT) {DisplayStyle r_ {ij} = chi left (t_ {ij}-{frac {1} {2}} g_ {ij} tright)}  \u2191 Jean-Claude Boudenot po 1916 roku, strona 162 jego ksi\u0105\u017cki Relatywistyczny elektromagnetyzm i grawitacja , Ellipse (1989), (ISBN 2-7298-8936-1 ) ; W Lev Landau et evgueni lifchits, Fizyka teoretyczna W T. 2: Teoria pola  [Szczeg\u00f3\u0142y wyda\u0144] , \u00a793 Uwaga na dole strony na pocz\u0105tku akapitu m\u00f3wi si\u0119, \u017ce metod\u0119 t\u0119 sugerowa\u0142 Hilbert w 1915 r., Co potwierdza Jean-Paul Auffray P. 247 (ust\u0119p Hilbert idzie na ryby ) z jego ksi\u0105\u017cki Einstein i Poincar\u00e9 , edycja Jab\u0142oni , 1999, (ISBN 2 746 5015 9 ) .  \u2191 Elie Cartan, Diary of Pure and Applied Mathematics, 1, 1922, P. 141-203 .  Jean-Claude Boudenot; Relatywistyczny elektromagnetyzm i grawitacja , Ellipse (1989), (ISBN 2-7298-8936-1 ) Jean-Louis Basdevant; Zasady wariacyjne i dynamiczne , Vuibert (2005), (ISBN 2711771725 ) . Edgard Elbaz; Og\u00f3lna wzgl\u0119dno\u015b\u0107 i grawitacja , Ellipse (1986). Lev Landau et evgueni lifchits, Fizyka teoretyczna W T. 2: Teoria pola  [Szczeg\u00f3\u0142y wyda\u0144] Richard P. Feynman, Robert B. Leighton et Matthew Sands (W) W Kurs fizyki Feynmana  [Szczeg\u00f3\u0142y edycji] W Elektromagnetyzm (i) , rozdz. 19, intereditions, 1979 (ISBN 2-7296-0028-0 ) ; trzcina. Dunod, 2000 (ISBN 2-10-004861-9 ) Florence Martin-Robine, Historia zasady mniejszego dzia\u0142ania , Vuibert, 2006 (ISBN 2711771512 )       (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/all2pl\/wiki27\/zasada-nizszego-dzialania-i-ogolna-wzglednosc-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Zasada ni\u017cszego dzia\u0142ania i og\u00f3lna wzgl\u0119dno\u015b\u0107 – Wikipedia"}}]}]