[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/carte-de-kodaira-spencer-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/carte-de-kodaira-spencer-wikipedia\/","headline":"Carte de Kodaira – Spencer – Wikipedia wiki","name":"Carte de Kodaira – Spencer – Wikipedia wiki","description":"En math\u00e9matiques, le Carte de Kodaira – Spencer , introduit par Kunihiko Kodaira et Donald C. Spencer, est une carte","datePublished":"2017-03-06","dateModified":"2017-03-06","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/c9645c498c9701c88b89b8537773dd7c?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/c9645c498c9701c88b89b8537773dd7c?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/carte-de-kodaira-spencer-wikipedia\/","wordCount":25968,"articleBody":"En math\u00e9matiques, le Carte de Kodaira – Spencer , introduit par Kunihiko Kodaira et Donald C. Spencer, est une carte associ\u00e9e \u00e0 une d\u00e9formation d’un sch\u00e9ma ou d’un collecteur complexe X , prenant un espace tangent d’un point de l’espace de d\u00e9formation vers le premier groupe de cohomologie de l’agence des champs vectoriels sur X .  D\u00e9finition [ modifier ]] Motivation historique [ modifier ]] La carte Kodaira-Spencer a \u00e9t\u00e9 initialement construite dans le cadre de vari\u00e9t\u00e9s complexes. \u00c9tant donn\u00e9 un collecteur analytique complexe M {displaystyle m} avec des graphiques DANS je {Displaystyle u_ {i}} et les cartes biho-corpliques F J k {displayStyle f_ {jk}} Envoi en cours Avec k \u2192 Avec J = ( Avec J d’abord , … , Avec J n ) {displayStyle z_ {k} \u00e0 z_ {j} = (z_ {j} ^ {1}, ldots, z_ {j} ^ {n})} Coller les graphiques ensemble, l’id\u00e9e de la th\u00e9orie de la d\u00e9formation est de remplacer ces cartes de transition F J k ( Avec k ) {displayStyle f_ {jk} (z_ {k})} par des cartes de transition param\u00e9tris\u00e9es F J k ( Avec k , t d’abord , … , t k ) {displayStyle f_ {jk} (z_ {k}, t_ {1}, ldots, t_ {k})} sur une base B {displaystyle b} (ce qui pourrait \u00eatre un v\u00e9ritable vari\u00e9t\u00e9) avec des coordonn\u00e9es t d’abord , … , t k {displayStyle t_ {1}, ldots, t_ {k}} , tel que F J k ( Avec k , 0 , … , 0 ) = F J k ( Avec k ) {displayStyle f_ {jk} (z_ {k}, 0, ldots, 0) = f_ {jk} (z_ {k})} . Cela signifie les param\u00e8tres t je {displayStyle t_ {i}} d\u00e9forme la structure complexe du collecteur complexe d’origine M {displaystyle m} . Ensuite, ces fonctions doivent \u00e9galement satisfaire \u00e0 une condition de cocycle, qui donne un cocycle sur M {displaystyle m} avec des valeurs dans son faisceau tangent. \u00c9tant donn\u00e9 que la base peut \u00eatre suppos\u00e9e \u00eatre un polydisque, ce processus donne une carte entre l’espace tangent H d’abord ( M , T M ) {displayStyle h ^ {1} (m, t_ {m})} Appel\u00e9 la carte Kodaira-Spencer. [d’abord] D\u00e9finition originale [ modifier ]] Plus formellement, le Carte de Kodaira – Spencer est [2] K S : T 0B \u2192 H 1( M , T M) {displayStyle ks: t_ {0} bto h ^ {1} (m, t_ {m})} o\u00f9 Si dans {DisplayStyle V} est dans T 0 B {displayStyle t_ {0} b} , alors son image K S ( dans ) {DisplayStyle KS (V)} est appel\u00e9 le Classe Kodaira-Spencer de dans {DisplayStyle V} . [ modifier ]] \u00c9tant donn\u00e9 que la th\u00e9orie de la d\u00e9formation a \u00e9t\u00e9 \u00e9tendue \u00e0 plusieurs autres contextes, tels que des d\u00e9formations dans la th\u00e9orie du sch\u00e9ma ou un topoi annel\u00e9, il existe des constructions de la carte Kodaira-Spencer pour ces contextes. Dans la th\u00e9orie du sch\u00e9ma sur un champ de base k {displaystyle k} de caract\u00e9ristique 0 {DisplayStyle 0} , il y a une bijection naturelle entre les classes d’isomorphismes de X \u2192 S = Sp\u00e9cifier \u2061 ( k [ t ]] \/ \/ t 2 ) {displayStyle {Mathcal {x}} \u00e0 s = \u200b\u200bop\u00e9ratorname {spec} (k [t] \/ t ^ {2})} et H d’abord ( X , T X ) {DisplayStyle h ^ {1} (x, tx)} . Construction [ modifier ]] Utilisation d’infinisimaux [ modifier ]] Condition de coco pour les d\u00e9formations [ modifier ]] Trop caract\u00e9ristique 0 {DisplayStyle 0} La construction de la carte Kodaira-Spencer [4] Peut \u00eatre fait en utilisant une interpr\u00e9tation infinit\u00e9simale de la condition de coco. Si nous avons un collecteur complexe X {displaystyle x} couvert par des graphiques finis DANS = { DANS un } un \u2208 je {displayStyle {Mathcal {u}} = {U_ {alpha}} _ {alpha dans i}} avec coordonn\u00e9es Avec un = ( Avec un d’abord , … , Avec un n ) {displayStyle z_ {alpha} = (z_ {alpha} ^ {1}, ldots, z_ {alpha} ^ {n})} et fonctions de transition F \u03b2\u03b1: DANS \u03b2|U\u03b1\u03b2\u2192 DANS \u03b1|U\u03b1\u03b2{displayStyle f_ {beta alpha}: u_ {b\u00eata} | _ {u_ {alpha beta}} \u00e0 u_ {alpha} | _ {u_ {alpha beta}}} o\u00f9 F \u03b1\u03b2( Avec \u03b2) = Avec \u03b1{displayStyle f_ {alpha beta} (z_ {b\u00eata}) = z_ {alpha}} Rappelons qu’une d\u00e9formation est donn\u00e9e par un diagramme commutatif X\u2192X\u2193\u2193Spec(C)\u2192Spec(C[\u03b5]){displayStyle {begin {matrix} x & to & {mathfrak {x}} \\ downarrow && downarrow \\ {text {spec}} (mathbb {c}) & to & {text {spec}} (mathbb {C} [Varsilon]) matrice}}} o\u00f9 C [ e ]] {displaystyle mathbb {C} [varepsilon ]} est l’anneau de deux nombres et les cartes verticales sont plates, la d\u00e9formation a l’interpr\u00e9tation cohomologique comme des cocycles f~un b ( Avec b , e ) {displayStyle {Tilde {f}} _ {alpha b\u00eata} (z_ {b\u00eata}, varepsilon)} sur DANS un \u00d7 Sp\u00e9cifier ( C [ e ]] ) {displayStyle u_ {alpha} Times {text {spec}} (mathbb {c} [varepsilon])} o\u00f9 Avec \u03b1= f~\u03b1\u03b2( Avec \u03b2, e ) = F \u03b1\u03b2( Avec \u03b2) + e b \u03b1\u03b2( Avec \u03b2) {displayStyle z_ {alpha} = {Tilde {f}} _ {alpha b\u00eata} (z_ {b\u00eata}, varepsilon) = f_ {alpha beta} (z_ {beta}) + varepsilon b_ {alpha b\u00eata} (z_ {beta} )} Si la f~un b {displayStyle {Tilde {f}} _ {Alpha Beta}} satisfaire l’\u00e9tat de cocycle, puis ils collent \u00e0 la d\u00e9formation X {displayStyle {mathfrak {x}}} . Cela peut \u00eatre lu comme f~\u03b1\u03b3(z\u03b3,\u03b5)=f~\u03b1\u03b2(f~\u03b2\u03b3(z\u03b3,\u03b5),\u03b5)=f\u03b1\u03b2(f\u03b2\u03b3(z\u03b3)+\u03b5b\u03b2\u03b3(z\u03b3))+\u03b5b\u03b1\u03b2(f\u03b2\u03b3(z\u03b3)+\u03b5b\u03b2\u03b3(z\u03b3)){DisplayStyle {begin {aligned} {tilde {f}} _ {alpha gamma} (z_ {gamma}, vanapsilon) = & {Tilde {f}} _ {alpha b\u00eata} ({Tilde {f}} _ {bta gamma} ({Tilde {f}} _ {bta gamma Gamma } (Z_ {gamma}, Vanepsilon, Vepsilon) \\ = & f_ {alpha b\u00eata} (f_ {b\u00eata gamma} (z_ {gamma}) + Varenepsilon b_ {beta gamma} (z_ {gamma gamma}) \\ & + vepsilon b_ { Alpha Beta} (F_ {Beta Gamma} (Z_ {Gamma}) + Varenepsilon B_ {Beta Gamma} (Z_ {gamma})) end {align\u00e9}} En utilisant les propri\u00e9t\u00e9s des deux nombres, \u00e0 savoir g ( un + b e ) = g ( un ) + e g \u2032 ( un ) b {displayStyle g (a + bvarepsilon) = g (a) + varepsilon g ‘(a) b} , nous avons f\u03b1\u03b2(f\u03b2\u03b3(z\u03b3)+\u03b5b\u03b2\u03b3(z\u03b3))=f\u03b1\u03b2(f\u03b2\u03b3(z\u03b3))+\u03b5\u2202f\u03b1\u03b2\u2202z\u03b1(z\u03b1)b\u03b2\u03b3(z\u03b3){displayStyle {begin {aligned} f_ {alpha b\u00eata} (f_ {b\u00eata gamma} (z_ {gamma}) + varepsilon b_ {b\u00eata gamma} (z_ {gamma})) = & f_ {alpha b\u00eata} (f_ {beta gamma} (z_ {gamma})) + varepsilon {frac {partiel f_ {alpha b\u00eata}} {partiel z_ {alpha}}} (z_ {alpha}) b_ {b\u00eata _ {gamma}} (z_ {gamma}) \\ fin { align\u00e9}}} et \u03b5b\u03b1\u03b2(f\u03b2\u03b3(z\u03b3)+\u03b5b\u03b2\u03b3(z\u03b3))=\u03b5b\u03b1\u03b2(f\u03b2\u03b3(z\u03b3))+\u03b52\u2202b\u03b1\u03b2\u2202z\u03b1(z\u03b1)b\u03b2\u03b3(z\u03b3)=\u03b5b\u03b1\u03b2(f\u03b2\u03b3(z\u03b3))=\u03b5b\u03b1\u03b2(z\u03b2){DisplayStyle {begin {align\u00e9} Valepsilon b_ {alpha beta} (f_ {b\u00eata gamma} (z_ {gamma} + varenepsilon b_ {beta gamma} (z_ {gamma}) = & Vepsilon b_ {alpha beta} (f_ {b\u00eata} (Z_ {gamma}) + VanePsilon ^ {2} {frac {partiel b_ {alpha b\u00eata}} {partiel z_ {alpha}}} (z_ {alpha}) b_ {beta _ {bamma} (z_ {z_ {gamma} ) \\ = & VanePsillon B_ {Alpha Beta} (F_ {Beta Gamma} (Z_ {Gamma}) \\ = & Vanepsilon B_ {Alpha Beta} (Z_ {Beta}) end {align\u00e9}} D’o\u00f9 l’\u00e9tat de cocycle sur DANS un \u00d7 Sp\u00e9cifier ( C [ e ]] ) {displayStyle u_ {alpha} Times {text {spec}} (mathbb {c} [varepsilon])} est les deux r\u00e8gles suivantes b \u03b1\u03b3= \u2202f\u03b1\u03b2\u2202z\u03b2b \u03b2\u03b3+ b \u03b1\u03b2{displayStyle b_ {alpha gamma} = {frac {partiel f_ {alpha beta}} {partiel z_ {b\u00eata}}} b_ {b\u00eata gamma} + b_ {alpha beta}} F \u03b1\u03b3= F \u03b1\u03b2\u2218 F \u03b2\u03b3{displayStyle f_ {alpha gamma} = f_ {alpha b\u00eata} circ f_ {b\u00eata gamma}} Conversion en cocycles de champs vectoriels [ modifier ]] La cocycle de la d\u00e9formation peut facilement \u00eatre convertie en cocycle de champs vectoriels e = { e un b } \u2208 C d’abord ( DANS , T X ) {displayStyle theta = {theta _ {alpha beta}} dans c ^ {1} ({mathcal {u}}, t_ {x})} comme suit: Compte tenu de la coco f~un b = F un b + e b un b {displayStyle {Tilde {f}} _ {alpha beta} = f_ {alpha beta} + varepsilon b_ {alpha b\u00eata}} Nous pouvons former le champ vectoriel e \u03b1\u03b2= \u2211 i=1nb \u03b1\u03b2i\u2202\u2202z\u03b1i{displaystyle theta _ {alpha beta} = sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {alpha beta} ^ {i} {frac {partial} {partiel z_ {alpha} ^ {i}}}} partiel z_ {alpha} ^ {i}}}} qui est un 1 cochain. Puis la r\u00e8gle pour les cartes de transition de b un c {displayStyle b_ {alpha gamma}} donne ce 1 cochain en 1 cocycle, d’o\u00f9 une classe [ e ]] \u2208 H d’abord ( X , T X ) {displayStyle [theta] dans h ^ {1} (x, t_ {x})} . Utilisation des champs vectoriels [ modifier ]] L’une des constructions originales de cette carte a utilis\u00e9 des champs vectoriels dans les param\u00e8tres de la g\u00e9om\u00e9trie diff\u00e9rentielle et de l’analyse complexe. [d’abord] Compte tenu de la notation ci-dessus, la transition d’une d\u00e9formation \u00e0 la condition de cocycle est transparente sur une petite base de dimension, donc il n’y a qu’un seul param\u00e8tre t {displayStyle t} . Ensuite, l’\u00e9tat de cocycle peut \u00eatre lu comme F ik\u03b1( Avec k, t ) = F ij\u03b1( F kj1( Avec k, t ) , … , F kjn( Avec k, t ) , t ) {displayStyle f_ {ik} ^ {alpha} (z_ {k}, t) = f_ {ij} ^ {alpha} (f_ {kj} ^ {1} (z_ {k}, t), ldots, f_ {kj } ^ {n} (z_ {k}, t), t)} Alors, le d\u00e9riv\u00e9 de F je k un ( Avec k , t ) {displayStyle f_ {ik} ^ {alpha} (z_ {k}, t)} en ce qui concerne t {displayStyle t} peut \u00eatre calcul\u00e9 \u00e0 partir de l’\u00e9quation pr\u00e9c\u00e9dente comme \u2202fik\u03b1(zk,t)\u2202t=\u2202fij\u03b1(zj,t)\u2202t+\u2211\u03b2=0n\u2202fij\u03b1(zj,t)\u2202fjk\u03b2(zk,t)\u22c5\u2202fjk\u03b2(zk,t)\u2202t{displayStyle {begin {align\u00e9} {frac {partial f_ {ik} ^ {alpha} (z_ {k}, t)} {partiel t}} & = {frac {partial f_ {ij} ^ {alpha} (z_ {partial f_ j}, t)} {partial t}} + sum _ {beta = 0} ^ {n} {frac {partiel f_ {ij} ^ {alpha} (z_ {j}, t)} {partiel f_ {jk} ^ {b\u00eata} (z_ {k}, t)}} cdot {frac {partiel f_ {jk} ^ {b\u00eata} (z_ {k}, t)} {partiel t}} \\ end {align\u00e9}}} Noter parce que Avec J b = F J k b ( Avec k , t ) {displayStyle z_ {j} ^ {b\u00eata} = f_ {jk} ^ {b\u00eata} (z_ {k}, t)} et Avec je un = F je J un ( Avec J , t ) {displayStyle z_ {i} ^ {alpha} = f_ {ij} ^ {alpha} (z_ {j}, t)} , alors le d\u00e9riv\u00e9 se lit comme \u2202fik\u03b1(zk,t)\u2202t=\u2202fij\u03b1(zj,t)\u2202t+\u2211\u03b2=0n\u2202zi\u03b1\u2202zj\u03b2\u22c5\u2202fjk\u03b2(zk,t)\u2202t{displayStyle {begin {align\u00e9} {frac {partial f_ {ik} ^ {alpha} (z_ {k}, t)} {partiel t}} & = {frac {partial f_ {ij} ^ {alpha} (z_ {partial f_ j},t)}{partial t}}+sum _{beta =0}^{n}{frac {partial z_{i}^{alpha }}{partial z_{j}^{beta }}}cdot { frac {partiel f_ {jk} ^ {b\u00eata} (z_ {k}, t)} {partiel t}} \\ end {align\u00e9}}} Avec un changement de coordonn\u00e9es de la partie du champ vectoriel holomorphe pr\u00e9c\u00e9dent ayant ces d\u00e9riv\u00e9s partiels comme coefficients, nous pouvons \u00e9crire \u2202\u2202zj\u03b2= \u2211 \u03b1=1n\u2202zi\u03b1\u2202zj\u03b2\u22c5 \u2202\u2202zi\u03b1{displayStyle {frac {partiel} {partiel z_ {j} ^ {beta}}} = sum _ {alpha = 1} ^ {n} {frac {partiel z_ {i} ^ {alpha}} {partiel z_ {j} ^ {b\u00eata}}} cdot {frac {partiel} {partiel z_ {i} ^ {alpha}}}} Nous pouvons donc r\u00e9diger l’\u00e9quation ci-dessus comme l’\u00e9quation suivante des champs vectoriels \u2211\u03b1=0n\u2202fik\u03b1(zk,t)\u2202t\u2202\u2202zi\u03b1=\u2211\u03b1=0n\u2202fij\u03b1(zj,t)\u2202t\u2202\u2202zi\u03b1+\u2211\u03b2=0n\u2202fjk\u03b2(zk,t)\u2202t\u2202\u2202zj\u03b2{displayStyle {begin {align\u00e9} sum _ {alpha = 0} ^ {n} {frac {partiel f_ {ik} ^ {alpha} (z_ {k}, t)} {partiel t}} {frac {partiel} {T)} {partiel T}} {FRAC {partiel} { z_ {i} ^ {alpha}}} = & sum _ {alpha = 0} ^ {n} {frac {Partial f_ {ij} ^ {alpha} (z_ {j}, t)} {partial t} {{j_ {j}, t)} {partial T} {{ frac {partiel} {partiel z_ {i} ^ {alpha}}} \\ & + sum _ {b\u00eata = 0} ^ {n} {frac {partiel f_ {jk} ^ {b\u00eata} (z_ {k}, t) } {Partial t}} {frac {partiel} {partiel z_ {j} ^ {b\u00eata}}} \\ end {align\u00e9}}} R\u00e9\u00e9crire cela en tant que champs vectoriels e ik( t ) = e ij( t ) + e jk( t ) {displayStyle theta _ {ik} (t) = theta _ {ij} (t) + theta _ {jk} (t)} o\u00f9 e ij( t ) = \u2202fij\u03b1(zj,t)\u2202t\u2202\u2202zi\u03b1{affichestyle theta _ {ij} (t) = {frac {partial f_ {ij} ^ {alpha} (z_ {j}, t)} {partial t}} {frac {partial} {partial z_ {i} ^ {{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{ce que alpha}}}} donne la condition de coco. Ainsi e je J {displaystyle th\u00eata _ {ij}} a une classe associ\u00e9e dans [ e je J ]] \u2208 H d’abord ( M , T M ) {displayStyle [theta _ {ij}] dans h ^ {1} (m, t_ {m})} de la d\u00e9formation originale f~je J {DisplayStyle {Tilde {f}} _ {ij}} de F je J {displayStyle f_ {ij}} . En th\u00e9orie du sch\u00e9ma [ modifier ]] D\u00e9formations d’une vari\u00e9t\u00e9 lisse [5] X\u2192X\u2193\u2193Spec(k)\u2192Spec(k[\u03b5]){displayStyle {begin {matrix} x & to & {mathfrak {x}} \\ downarrow && downarrow \\ {text {spec}} (k) & to & {text {spec}} (k [varsilon]) end {matrix}}} faire construire une classe de Kodaira-Spencer cohomologiquement. Associ\u00e9 \u00e0 cette d\u00e9formation est la s\u00e9quence exacte 0 \u2192 Pi \u2217Oh Spec(k[\u03b5])1\u2192 Oh X1\u2192 Oh X\/S1\u2192 0 {displaystyle 0to pi ^ {*} omega _ {{text {spec}}} (k [varepsilon])} ^ {1} \u00e0 omega _ {mathfrak {x}} ^ {1} \u00e0 omega _ {{mathfrak {x} } \/ S} ^ {1} \u00e0 0} (o\u00f9 Pi : X \u2192 Sp\u00e9cifier ( k [ e ]] ) {displayStyle pi: {mathfrak {x}} \u00e0 {text {spec}} (k [varepsilon])} ) qui lorsqu’il est tendu par le OX{displayStyle {mathcal {o}} _ {mathfrak {x}}} -module OX {displayStyle {Mathcal {o}} _ {x}} Donne la s\u00e9quence exacte courte 0 \u2192 OX\u2192 Oh X1\u2297 OX\u2192 Oh X1\u2192 0 } En utilisant des cat\u00e9gories d\u00e9riv\u00e9es, cela d\u00e9finit un \u00e9l\u00e9ment dans RHom(\u03a9X1,OX[+1])\u2245RHom(OX,TX[+1])\u2245Ext1(OX,TX)\u2245H1(X,TX){displayStyle {begin {aligned} mathbf {r} {text {hom}}} (om\u00e9ga _ {x} ^ {1}, {mathcal {o}} _ {x} [+ 1]) & congmbf {r} {text {Hom}} ({mathcal {o}} _ {x}, t_ {x} [+ 1]) \\ & cong {text {ext}} ^ {1} ({mathcal {o}} _ {x}, t_ {X}) \\ & cong h ^ {1} (x, t_ {x}) fin {align\u00e9}}} G\u00e9n\u00e9ralisation de la carte Kodaira-Spencer. Remarquez que cela pourrait \u00eatre g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9 \u00e0 toute carte fluide F : X \u2192 ET {displaystyle f: xto y} dans Sch \/ \/ S {displayStyle {text {sch}} \/ s} en utilisant la s\u00e9quence cotangente, en donnant un \u00e9l\u00e9ment H d’abord ( X , T X \/ET \u2297 F \u2217 ( Oh ET \/AVEC d’abord ) ) {displayStyle h ^ {1} (x, t_ {x \/ y} otimes f ^ {*} (omega _ {y \/ z} ^ {1}))} . De topoi an\u00e9n\u00e9 [ modifier ]] L’une des constructions les plus abstraites des cartes Kodaira-Spencer provient des complexes cotangents associ\u00e9s \u00e0 une composition de cartes de topoi ancr\u00e9 X \u2192 fET \u2192 AVEC {displayStyle xxRightArrow {f} yto z} Ensuite, associ\u00e9 \u00e0 cette composition est un triangle distingu\u00e9 F \u2217LY\/Z\u2192 LX\/Z\u2192 LX\/Y\u2192 [+1]{displayStyle f ^ {*} mathbf {l} _ {y \/ z} \u00e0 mathbf {l} _ {x \/ z} \u00e0 mathbf {l} _ {x \/ y} xRightArrow {[+1]}} Et cette carte limite forme la carte Kodaira-Spencer [6] (ou cours de cohomologie, indiqu\u00e9 K ( X \/ \/ ET \/ \/ AVEC ) {displayStyle k (x \/ y \/ z)} ). Si les deux cartes de la composition sont des cartes lisses de sch\u00e9mas, alors cette classe co\u00efncide avec la classe H d’abord ( X , T X \/ET \u2297 F \u2217 ( Oh ET \/AVEC d’abord ) ) {displayStyle h ^ {1} (x, t_ {x \/ y} otimes f ^ {*} (omega _ {y \/ z} ^ {1}))} . Exemples [ modifier ]] Avec des germes analytiques [ modifier ]] La carte Kodaira-Spencer lors de l’examen des germes analytiques est facilement calculable en utilisant la cohomologie tangente dans la th\u00e9orie de la d\u00e9formation et ses d\u00e9formations versal. [7] Par exemple, \u00e9tant donn\u00e9 le germe d’un polyn\u00f4me F ( Avec d’abord , … , Avec n ) \u2208 C { Avec d’abord , … , Avec n } = H {displayStyle f (z_ {1}, ldots, z_ {n}) dans mathbb {c} {z_ {1}, ldots, z_ {n}} = h} , son espace de d\u00e9formations peut \u00eatre donn\u00e9 par le module T 1= Hdf\u22c5Hn{displayStyle t ^ {1} = {frac {h} {dfcdot h ^ {n}}}} Par exemple, si F = et 2 – X 3 {displayStyle f = y ^ {2} -x ^ {3}} Ensuite, ses d\u00e9formations Versal sont donn\u00e9es par T 1= C{x,y}(y,x2){displayStyle t ^ {1} = {frac {mathbb {c} {x, y}} {(y, x ^ {2})}}} par cons\u00e9quent une d\u00e9formation arbitraire est donn\u00e9e par F ( X , et , un d’abord , un 2 ) = et 2 – X 3 + un d’abord + un 2 X {displayStyle f (x, y, a_ {1}, a_ {2}) = y ^ {2} -x ^ {3} + a_ {1} + a_ {2} x} . Puis pour un vecteur dans \u2208 T 0 ( C 2 ) {displayStyle vin t_ {0} (mathbb {c} ^ {2})} , qui a la base \u2202\u2202a1, \u2202\u2202a2{displayStyle {frac {partial} {partial a_ {1}}}, {frac {partial} {partiel a_ {2}}}} L\u00e0 la carte K S : dans \u21a6 dans ( F ) {DisplayStyle KS: VMAPSTO V (F)} Envoi en cours \u03d51\u2202\u2202a1+\u03d52\u2202\u2202a2\u21a6\u03d51\u2202F\u2202a1+\u03d52\u2202F\u2202a2=\u03d51+\u03d52\u22c5x{displayStyle {begin {align\u00e9} phi _ {1} {frac {partial} {partial a_ {1}}} + phi _ {2} {frac {partial} {partiel a_ {2}}}} Mapsto & phi _ {1} {frac {partial f} {partiel a_ {1}}} + phi _ {2} {frac {partial f} {partial a_ {2}}} \\ & = phi _ {1} + phi _ {2} CDOT xend {align\u00e9}}} Sur des hypersurfaces affines avec le complexe cotangent [ modifier ]] Pour une hypersurface affine je : X 0 \u21aa UN n \u2192 Sp\u00e9cifier ( k ) {displayStyle i: x_ {0} HookRightArrow Mathbb {a} ^ {n} \u00e0 {text {spec}} (k)} sur un champ k {displaystyle k} d\u00e9fini par un polyn\u00f4me F {displaystyle f} , il y a le triangle fondamental associ\u00e9 je \u2217LAn\/Spec(k)\u2192 LX0\/Spec(k)\u2192 LX0\/An\u2192 [+1]{displayStyle i ^ {*} mathbf {l} _ {mathbb {a} ^ {n} \/ {text {spec}} (k)} \u00e0 mathbf {l} _ {x_ {0} \/ {text {spec}}} (k)} \u00e0 mathbf {l} _ {x_ {0} \/ mathbb {a} ^ {n}} xrightarrow {[+1]}} Ensuite, en appliquant R H O m ( – , OX0) {displayStyle mathbf {rhom} (-, {mathcal {o}} _ {x_ {0}})} donne la s\u00e9quence exacte longue RHom(i\u2217LAn\/Spec(k),OX0[+1])\u2190RHom(LX0\/Spec(k),OX0[+1])\u2190RHom(LX0\/An,OX0[+1])\u2190RHom(i\u2217LAn\/Spec(k),OX0)\u2190RHom(LX0\/Spec(k),OX0)\u2190RHom(LX0\/An,OX0){displaystyle {‘Beginration{theled}&{TextBf {ion} a}_{x_{1) _{the1] {0}.[1])\\leftarrow &{he}(the^{\u00b7*}mathbf { { Mathcal {o}} _ {x_ {x_ {Cientarrows {textB {} (mathbf _ {r} \/ mathb {a}, mathcal) ed {alaled}} pas Rappelons qu’il y a l’isomorphisme RHom( LX0\/Spec(k), OX0[ + d’abord ]] ) \u2245 Ext1( LX0\/Spec(k), OX0) {displayStyle {textB {} (mathb _ {0 {0 {0 {0 {0}} (k}} {matcal {text {ext {ext}} (mathbf _ {l}}}} {0}}}} } okiser [je ci-dessus) De la th\u00e9orie g\u00e9n\u00e9rale des cat\u00e9gories d\u00e9riv\u00e9es, et le groupe EXT classe les d\u00e9formations du premier ordre. Ensuite, gr\u00e2ce \u00e0 une s\u00e9rie de r\u00e9ductions, ce groupe peut \u00eatre calcul\u00e9. Premi\u00e8rement, depuis L An\/Spec( k ) \u2245 Oh An\/Spec( k ) d’abord {DisplayStyle Mathbf {l} _ {mathbb {a} ^ {n} \/ {text {spee}} (k)} CANG OMEGA _ {MathBB {a} ^ {n} \/ {Text {spee}}} (k) } ^ {1}} est un module gratuit, Ro rom ( je \u2217 L An\/Spec( k ) , OX0[ + d’abord ]] ) = 0 {affichage {textbf {} (i ^ thesers 0} + . Aussi parce que L X0\/An\u2245 je \/ \/ I2 [ + d’abord ]] {displayStyle Mathbf {l} _ {x_ {0} \/ mathbb {a} ^ {n}} cong {mathcal {i}} \/ {Mathcal {i}} ^ {2} [+1] , il y a des isomorphismes RHom(LX0\/An,OX0[+1])\u2245RHom(I\/I2[+1],OX0[+1])\u2245RHom(I\/I2,OX0)\u2245Ext0(I\/I2,OX0)\u2245Hom(I\/I2,OX0)\u2245OX0{DiclayStyle {texbf {} (mathb ward {b} 1] cong & {textB {ion} ({mathcal {aphesphel \/ {mathcal {a}} {2} +]) \\ cong & {conm {ion} \/ {mathcalal {a} \/ {Mathcal {ion}, {2} a {thehcal ext}} (mathcal {i}} \/ mathcals {a}} ^ Mathcal {a}} {00}}} Embroider) {Mathcal {APhesphel \/ {{ Mathcal {a} a {sater {ophe} ACO Alered}} pas Le dernier isomorphisme vient de l’isomorphisme je \/ \/ I2 \u2245 je \u2297 OAnOX0{DisplayStyle {mathcal {i}} \/ {mathcal {i}}} ^ {2} cong {mathcal {i}}}}} {{Mathcal {o}}} _ {mathbb {a {n}}}}} {Mathcal {o}} _ {x_ {0}}} et un morphisme dans HomOX0( I\u2297 OAnOX0, OX0) {DisplayStyle {text {homem}} _ {{Mathcal {o}} _ {x_ {0}}}} ({Mathcal {i}}}}}} {{{Mathcal {o}}} _ {Mathbb {a un } ^ {N} ^}} {Mathcal {o}} _ {x_ {0}}, {Mathcal {o}} _ _ {x_ {0}})} envoyer [ g F ]] \u21a6 g \u2032 g + ( F ) {displayStyle [gf] mapsto g’g + (f)} Donner l’isomorphisme souhait\u00e9. De la s\u00e9quence cotangente (f)(f)2\u2192 [g]\u21a6dg\u22971Oh An1\u2297 OX0\u2192 Oh X0\/Spec(k)1\u2192 0 {displayStyle {frac {(f)} {(f) ^ {2}}} xrightarrow {[g] mapsto dgotimes 1} omega _ {mathbb {a} ^ {n}} ^ {1} otimetimes {mathcal {o} } _ {X_ {0}} \u00e0 omega _ {x_ {0} \/ {text {spec}} (k)} ^ {1} \u00e0 0} (qui est une version tronqu\u00e9e du triangle fondamental) La carte de connexion de la s\u00e9quence exacte longue est le double de [ g ]] \u21a6 d g \u2297 d’abord {displaystyle [g] mapsto dgotimes 1} , donnant l’isomorphisme Ext1( LX0\/k, OX0) \u2245 k[x1,\u2026,xn](f,\u2202f\u2202x1,\u2026,\u2202f\u2202xn){displayStyle {text {ext}} ^ {1} (mathbf {l} _ {x_ {0} \/ k}, {mathcal {o}} _ {x_ {0}}) cong {frac {k [x_ {1 }, ldots, x_ {n}]} {Left (f, {frac {partiel f} {partiel x_ {1}}}, ldots, {frac {partiel f} {partiel x_ {n}}} droit)}} } Remarque Ce calcul peut \u00eatre effectu\u00e9 en utilisant la s\u00e9quence cotangente et l’informatique Ext d’abord ( Oh X0d’abord , OX0) {DisplayStyle {text {ext}} ^ {1} (omega _ {x_ {0}} ^ {1}, {Mathcal {o}}} _ {x_ {0}})} . [8] Ensuite, la carte Kodaira-Spencer envoie une d\u00e9formation k[\u03b5][x1,\u2026,xn]f+\u03b5g{displayStyle {frac {k [varepsilon] [x_ {1}, ldots, x_ {n}]} {f + varepsilon g}}} \u00e0 l’\u00e9l\u00e9ment g \u2208 Ext d’abord ( L X0\/k , OX0) {displayStyle gin {text {ext}} ^ {1} (mathbf {l} _ {x_ {0} \/ k}, {mathcal {o}} _ {x_ {0}})} . Voir \u00e9galement [ modifier ]] Les r\u00e9f\u00e9rences [ modifier ]] ^ un  b  Kodaira (2005). Vari\u00e9t\u00e9s complexes et d\u00e9formation des structures complexes . Classiques en math\u00e9matiques. Pp. 182 \u2013184, 188\u2013189. est ce que je: 10.1007 \/ b138372 . ISBN 978-3-540-22614-7 .  ^  Huybrechts 2005, 6.2.6.  ^  La principale diff\u00e9rence entre un collecteur complexe et un espace complexe est que ce dernier est autoris\u00e9 \u00e0 avoir un nilpotent.  ^  Arbarello; Cornalba; Griffiths (2011). G\u00e9om\u00e9trie des courbes alg\u00e9briques II . Enseignement de base des sciences math\u00e9matiques, Arbarello, e. Et al: Courbes alg\u00e9briques I, II. Springer. Pp. 172\u2013174. ISBN 9783540426882 .  ^  SERNESI. “Un aper\u00e7u de la th\u00e9orie classique de la d\u00e9formation”  (PDF) . Archiv\u00e9  (PDF) de l’original le 2020-04-27.  ^  Illusie, L. Complexe cotangent\u00a0; application a la theorie des deformations  (PDF) . Archiv\u00e9 de l’original  (PDF) le 2020-11-25 . R\u00e9cup\u00e9r\u00e9 2020-04-27 .  ^  Palamodov (1990). “D\u00e9formations des espaces complexes”. Plusieurs variables complexes IV . Encyclop\u00e9die des sciences math\u00e9matiques. Vol. 10. pp. 138, 130. doi: 10.1007 \/ 978-3-642-61263-3_3 . ISBN 978-3-642-64766-6 .  ^  Talpo, Mattia; Vistoli, Angelo (2011-01-30). “Th\u00e9orie de la d\u00e9formation du point de vue des cat\u00e9gories en fibres” Pp. 25, exercice ArXiv: 1006 0497 [ Math.ag ].   "},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/carte-de-kodaira-spencer-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Carte de Kodaira – Spencer – Wikipedia wiki"}}]}]