[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/ellipsoide-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/ellipsoide-wikipedia\/","headline":"Ellipso\u00efde – wikipedia wiki","name":"Ellipso\u00efde – wikipedia wiki","description":"Surface quadrique qui ressemble \u00e0 une sph\u00e8re d\u00e9form\u00e9e Exemples d’ellipso\u00efdes avec \u00e9quation X 2 \/ \/ un 2 + et","datePublished":"2017-08-07","dateModified":"2017-08-07","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/c9645c498c9701c88b89b8537773dd7c?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/c9645c498c9701c88b89b8537773dd7c?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/3\/33\/Ellipsoide.svg\/400px-Ellipsoide.svg.png","url":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/3\/33\/Ellipsoide.svg\/400px-Ellipsoide.svg.png","height":"306","width":"400"},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/ellipsoide-wikipedia\/","wordCount":23507,"articleBody":"Surface quadrique qui ressemble \u00e0 une sph\u00e8re d\u00e9form\u00e9e Exemples d’ellipso\u00efdes avec \u00e9quation X 2 \/ \/ un 2 + et 2 \/ \/ b 2 + Avec 2 \/ \/ c 2 = 1 : Sph\u00e8re , un = b = c = 4 , haut ; Sph\u00e9ro\u00efde , un = b = 5 , c = 3 , en bas \u00e0 gauche ; Tri-axial ellipso\u00efde, un = 4,5 , b = 6 ; c = 3 , en bas \u00e0 droite Un ellipso\u00efde est une surface qui peut \u00eatre obtenue \u00e0 partir d’une sph\u00e8re en la d\u00e9formant au moyen d’\u00e9chelles directionnelles, ou plus g\u00e9n\u00e9ralement, d’une transformation affine. Un ellipso\u00efde est une surface quadrique; c’est-\u00e0-dire une surface qui peut \u00eatre d\u00e9finie comme l’ensemble z\u00e9ro d’un polyn\u00f4me de degr\u00e9 deux en trois variables. Parmi les surfaces quadriques, un ellipso\u00efde est caract\u00e9ris\u00e9 par l’une des deux propri\u00e9t\u00e9s suivantes. Chaque section transversale planaire est soit une ellipse, soit vide, soit r\u00e9duite \u00e0 un seul point (cela explique le nom, ce qui signifie “comme une ellipse”). Il est d\u00e9limit\u00e9, ce qui signifie qu’il peut \u00eatre enferm\u00e9 dans une sph\u00e8re suffisamment grande. Un ellipso\u00efde a trois axes de sym\u00e9trie perpendiculaires par paire qui se croisent \u00e0 un centre de sym\u00e9trie, appel\u00e9 centre de l’ellipso\u00efde. Les segments de ligne qui sont d\u00e9limit\u00e9s sur les axes de sym\u00e9trie par l’ellipso\u00efde sont appel\u00e9s le haches principales , ou simplement des axes de l’ellipso\u00efde. Si les trois axes ont des longueurs diff\u00e9rentes, la figure est un ellipso\u00efde triaxial (rarement ellipso\u00efde scal\u00e8ne ), et les axes sont d\u00e9finis de mani\u00e8re unique. Si deux des axes ont la m\u00eame longueur, alors l’ellipso\u00efde est un ellipso\u00efde de la r\u00e9volution , \u00e9galement appel\u00e9 un sph\u00e9ro\u00efde . Dans ce cas, l’ellipso\u00efde est invariant sous une rotation autour du troisi\u00e8me axe, et il existe donc de nombreuses fa\u00e7ons de choisir les deux axes perpendiculaires de la m\u00eame longueur. Si le troisi\u00e8me axe est plus court, l’ellipso\u00efde est un sph\u00e9ro\u00efde oblat ; Si c’est plus long, c’est un sph\u00e9ro\u00efde prolate . Si les trois axes ont la m\u00eame longueur, l’ellipso\u00efde est une sph\u00e8re. \u00c9quation standard [ modifier ]] L’ellipso\u00efde g\u00e9n\u00e9rale, \u00e9galement connu sous le nom d’ellipso\u00efde triaxial, est une surface quadratique qui est d\u00e9finie dans les coordonn\u00e9es cart\u00e9siennes comme: x2a2+ y2b2+ z2c2= d’abord , {DisplayStyle {frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}} + {frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} + {frac {z ^ {2}}} { C ^ {C ^ {2}}} = 1,} o\u00f9 un {displaystyle a} , b {displaystyle b} et c {DisplayStyle C} sont la longueur des semi-ax\u00e9s. Les points ( un , 0 , 0 ) {displayStyle (a, 0,0)} , ( 0 , b , 0 ) {displayStyle (0, b, 0)} et ( 0 , 0 , c ) {displayStyle (0,0, c)} Allongez-vous \u00e0 la surface. Les segments de ligne de l’origine \u00e0 ces points sont appel\u00e9s les principaux semi-ax\u00e9s de l’ellipso\u00efde, car un , b , c sont la moiti\u00e9 de la longueur des axes principaux. Ils correspondent \u00e0 l’axe semi-majeur et \u00e0 l’axe semi-minor d’une ellipse. Dans le syst\u00e8me de coordonn\u00e9es sph\u00e9riques pour lesquelles ( X , et , Avec ) = ( r p\u00e9ch\u00e9 \u2061 e cos \u2061 Phi , r p\u00e9ch\u00e9 \u2061 e p\u00e9ch\u00e9 \u2061 Phi , r cos \u2061 e ) {displayStyle (x, y, z) = (rsin theta cos varphi, rsin theta sin varphi, rcos theta)} , l’ellipso\u00efde g\u00e9n\u00e9ral est d\u00e9fini comme: r2sin2\u2061\u03b8cos2\u2061\u03c6a2+ r2sin2\u2061\u03b8sin2\u2061\u03c6b2+ r2cos2\u2061\u03b8c2= d’abord , {displayStyle {r ^ {2} sin ^ {2} theta cos ^ {2} varphi sur a ^ {2}} + {r ^ {2} sin ^ {2} theta sin ^ {2} Varphi sur b ^ { 2}} + {r ^ {2} cos ^ {2} theta sur c ^ {2}} = 1,} o\u00f9 e {displaystyle th\u00eata} est l’angle polaire et Phi {displaystyle varphi} est l’angle azimutal. Quand un = b = c {displayStyle a = b = c} , l’ellipso\u00efde est une sph\u00e8re. Quand un = b \u2260 c {displayStyle a = bneq c} , l’ellipso\u00efde est un sph\u00e9ro\u00efde ou un ellipso\u00efde de la r\u00e9volution. En particulier, si c}”>, c’est un sph\u00e9ro\u00efde oblat; si un = b < c {displaystyle a = b , c’est un sph\u00e9ro\u00efde prolate. Param\u00e9trage [ modifier ]] L’ellipso\u00efde peut \u00eatre param\u00e9tr\u00e9 de plusieurs mani\u00e8res, qui sont plus simples \u00e0 exprimer lorsque les axes ellipso\u00efdes co\u00efncident avec des axes de coordonn\u00e9es. Un choix courant est x=asin\u2061(\u03b8)cos\u2061(\u03c6),y=bsin\u2061(\u03b8)sin\u2061(\u03c6),z=ccos\u2061(\u03b8),{DisplayStyle {begin {aligned} x & = asin (theta) cos (varphi), \\ y & = bsin (theta) sin (varphi), \\ z & = ccos), end {align\u00e9},},} o\u00f9 0 \u2264 e \u2264 Pi , 0 \u2264 Phi < 2 Pi . {Displaystyle 0leq le leq pi, quad 0leq varphi )cos\u2061(\u03bb),y=bcos\u2061(\u03b8)sin\u2061(\u03bb),z=csin\u2061(\u03b8),{displayStyle {begmed} x & = acos (theta) cos (lambda), \\ y & = bco (theta) sin (lambda), \\ z & = csin (theta), end {align\u00e9} ,!}}. o\u00f9 – \u03c02\u2264 e \u2264 \u03c02, 0 \u2264 l < 2 Pi , {AfficheSstyle – {tfrac {pi {pi {pi {pi {pi {pi {pi {pi {pi {thfrac {pi {pi illuss e est la latitude r\u00e9duite, la latitude param\u00e9trique ou l’anomalie excentrique et l est l’azimut ou la longitude. Mesurer les angles directement \u00e0 la surface de l’ellipso\u00efde, pas \u00e0 la sph\u00e8re circonscrite, [xyz]= R [cos\u2061(\u03b3)cos\u2061(\u03bb)cos\u2061(\u03b3)sin\u2061(\u03bb)sin\u2061(\u03b3)]{displayStyle {begin {bmatrix} x \\ y \\ zend {bmatrix}} = r {begin {bmatrix} cos (gamma) cos (lambda) \\ cos (gamma) sin (lambda) \\ sin (gamma) end {bmatrix}}} ,!} o\u00f9 R=abcc2(b2cos2\u2061\u03bb+a2sin2\u2061\u03bb)cos2\u2061\u03b3+a2b2sin2\u2061\u03b3,\u2212\u03c02\u2264\u03b3\u2264\u03c02,0\u2264\u03bbun b c . {displayStyle v = {tfrac {4} {3}} pi ABC.} En termes de diam\u00e8tres principaux UN , B , C (o\u00f9 UN = 2 un , B = 2 b , C = 2 c ), le volume est DANS = \u03c06UN B C {displayStyle v = {tfrac {pi} {6}} ABC} . Cette \u00e9quation se r\u00e9duit \u00e0 celle du volume d’une sph\u00e8re lorsque les trois rayons elliptiques sont \u00e9gaux, et \u00e0 celui d’un sph\u00e9ro\u00efde oblat ou prolate lorsque deux d’entre eux sont \u00e9gaux. Le volume d’un ellipso\u00efde est 2 \/ \/ 3 le volume d’un cylindre elliptique circonscrit, et Pi \/ \/ 6 Le volume de la bo\u00eete circonscrite. Les volumes des bo\u00eetes inscrits et circonscrits sont respectivement: DANS inscribed= 833un b c , DANS circumscribed= 8 un b c . {displayStyle v_ {text {inscrit}} = {frac {8} {3 {sqrt {3}}}} ABC, qquad v_ {text {circonscrit}} = 8abc.} Surface [ modifier ]] La surface d’un ellipso\u00efde g\u00e9n\u00e9ral (triaxial) est [2] [3] S = 2 Pi c 2+ 2\u03c0absin\u2061(\u03c6)( E(\u03c6,k)sin2\u2061(\u03c6)+F(\u03c6,k)cos2\u2061(\u03c6)) , {affichestyle s = 2pi c ^ {2} + {frac {2pi ab} {sin (varphi)}} gauche (e (varphi, k), sin ^ {2} (varphi) + f (varphi, k), cos ^ {2} (Varphi) \u00e0 droite),} o\u00f9 cos \u2061 ( Phi ) = ca, k 2= a2(b2\u2212c2)b2(a2\u2212c2), un \u2265 b \u2265 c , {displayStyle cos (varphi) = {frac {c} {a}}, qquad k ^ {2} = {frac {a ^ {2} Left (b ^ {2} -c ^ {2} droit)} {b ^ {2} gauche (a ^ {2} -c ^ {2} \u00e0 droite)}}, Qquad Ageq Bgeq C,} et o\u00f9 F ( Phi , k ) et ET ( Phi , k ) sont des int\u00e9grales elliptiques incompl\u00e8tes respectivement du premier et du deuxi\u00e8me type. [4] La surface de cet ellipso\u00efde g\u00e9n\u00e9ral peut \u00e9galement \u00eatre exprim\u00e9e en utilisant le R F et R D Carlson Formes sym\u00e9triques des int\u00e9grales elliptiques en substituant simplement la formule ci-dessus aux d\u00e9finitions respectives: S = 2 Pi c 2+ 2 Pi un b [ RF(c2a2,c2b2,1)\u221213(1\u2212c2a2)(1\u2212c2b2)RD(c2a2,c2b2,1)]] . {displayStyle s = 2pi c ^ {2} + 2pi capableft [r_ {f} Left ({frac {c ^ {2}} {a ^ {2}}}, {frac {c ^ {2}} {b ^ {2}}}, 1Right) – {frac {1} {3}} Left (1- {frac {C ^ {2}} {a ^ {2}}} droit) gauche (1- {frac {c ^ {2}} {b ^ {2}}} droit) r_ {d} Left ({frac {c ^ {2}} {a ^ {2}}}, {frac {c ^ {2}} {b ^ {2}}}, 1Right) \u00e0 droite].} Contrairement \u00e0 l’expression avec F ( Phi , k ) et ET ( Phi , k ) , la variante bas\u00e9e sur les int\u00e9grales sym\u00e9triques de Carlson donne des r\u00e9sultats valides pour une sph\u00e8re et uniquement l’axe c doit \u00eatre le plus petit, l’ordre entre les deux axes plus gros, un et b peut \u00eatre arbitraire. La surface d’un ellipso\u00efde de r\u00e9volution (ou sph\u00e9ro\u00efde) peut \u00eatre exprim\u00e9e en termes de fonctions \u00e9l\u00e9mentaires: S oblate= 2 Pi un 2( 1+c2ea2artanh\u2061e) , o\u00f9 C’est 2= d’abord – c2a2et ( c < un ) , {displayStyle s_ {text {oblate}} = 2pi a ^ {2} Left (1+ {frac {C ^ {2}} {ea ^ {2}}} Operatorname {artanh} erright), qquad {text {o\u00f9} } e ^ {2} = 1- {frac {c ^ {2}} {a ^ {2}}} {texte {et}} (c ou S oblate= 2 Pi un 2( 1+1\u2212e2eartanh\u2061e) gens ou S oblate= 2 Pi un 2 + \u03c0c2eLN \u2061 1+e1\u2212e{DisplayStyle s_ {text {oblate}} = 2pi a ^ {2} + {frac {pi c et "},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/ellipsoide-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"Ellipso\u00efde – wikipedia wiki"}}]}]