Construction proj – Wikipedia wiki
En géométrie algébrique, Proj est une construction analogue à la construction de schémas de schémas affine, qui produit des objets avec les propriétés typiques des espaces projectifs et des variétés projectives. La construction, bien qu’elle ne soit pas fonctorial, est un outil fondamental dans la théorie des schémas.
Dans cet article, toutes les anneaux seront supposés comme commutatifs et avec identité.
Proj d’un anneau classé [ modifier ]]
Proj comme un ensemble [ modifier ]]
Laisser
être un anneau classé, où
est la décomposition de somme directe associée à la gradation. L’idéal non pertinent de
est l’idéal des éléments de degré positif
Par conciliation, nous écrivons parfois
pour
.
Proj comme espace topologique [ modifier ]]
Nous pouvons définir une topologie, appelée la topologie Zariski, sur
en définissant les ensembles fermés comme ceux de la forme
où
est un idéal homogène de
. Comme dans le cas des schémas affines, il est rapidement vérifié que le
former les ensembles fermés d’une topologie sur
.
En effet, si
sont une famille d’idéaux, alors nous avons
Et si l’ensemble d’indexation je est fini, alors
.
De manière équivalente, nous pouvons prendre les ensembles ouverts comme point de départ et définir
Un sténographie commun est de désigner
par
, où
est l’idéal généré par
. Pour tout idéal
, les ensembles
et
sont complémentaires, et donc la même preuve qu’avant montre que les ensembles
former une topologie sur
. L’avantage de cette approche est que les ensembles
, où
varie sur tous les éléments homogènes de l’anneau
, former une base pour cette topologie, qui est un outil indispensable pour l’analyse de
, tout comme le fait analogue pour le spectre d’un anneau est également indispensable.
Proj comme schéma [ modifier ]]
Nous construisons également une gerbe
, appelé «Structure Sheaf» comme dans le cas affine, ce qui en fait un schéma. Comme dans le cas de la construction de spécifications, il existe de nombreuses façons de procéder: la plus directe, qui est également très suggérée de la construction de fonctions régulières sur une variété projective en géométrie algébrique classique, est la suivante. Pour tout ensemble ouvert
de
(qui est par définition un ensemble d’idéaux de premier ordre homogènes de
pas contenant
) Nous définissons l’anneau
être l’ensemble de toutes les fonctions
(où
désigne le sous-nage de l’anneau de fractions
composé de fractions d’éléments homogènes du même degré) tels que pour chaque idéal de premier ordre
de
:
- est un élément de ;
- Il existe un sous-ensemble ouvert contenant et des éléments homogènes de du même degré tel que pour chaque idéal principal de :
- n’est pas dans ;
Il résulte immédiatement de la définition que le
former une gerbe de bagues
sur
, et il peut être démontré que la paire (
,
) est en fait un schéma (cela est accompli en montrant que chacun des sous-ensembles ouverts
est en fait un schéma affine).
L’agence associée à un module classé [ modifier ]]
La propriété essentielle de
pour la construction ci-dessus était la capacité de former des localisations
Pour chaque idéal de premier ordre
de
. Cette propriété est également possédée par n’importe quel module gradué
sur
, et donc avec les modifications mineures appropriées, la section précédente construit pour un tel
une gerbe, indiquée
, de
-Modules sur
. Cette gerbe est quasicohérente par construction. Si
est généré par de nombreux éléments de degré
(par exemple, un anneau polynomial ou un quotient homogène), toutes les gerbes quasicohérentes sur
découlent de modules classés par cette construction. [d’abord] Le module classé correspondant n’est pas unique.
La gerbe torsadée de Serre [ modifier ]]
Un cas particulier de l’agence associée à un module gradué est lorsque nous prenons
être
lui-même avec un classement différent: à savoir, nous avons laissé le diplôme
des éléments de
être le degré
des éléments de
, donc
et dénoter
. Nous obtenons ensuite
comme une gerbe quasi-héritage sur
, indiqué
ou simplement
, appelé la gerbe torsadée de Serre. On peut vérifier que
est en fait une gerbe inversible.
Une raison de l’utilité de
est qu’il récupère les informations algébriques de
qui a été perdu lorsque, dans la construction de
, nous sommes passés aux fractions du degré zéro. Dans le cas de la spécification UN pour une bague UN , les sections mondiales de la forme de la structure UN lui-même, alors que les sections mondiales de
ici ne forme que les éléments de degré zéro de
. Si nous définissons
alors chacun
contient le degré
des informations sur
, indiqué
et pris ensemble, ils contiennent toutes les informations de classement qui ont été perdues. De même, pour toute gerbe de note
-modules
nous définissons
et attendez-vous à ce que cette gerbe «tordue» contienne des informations de classement sur
. En particulier, si
l’agence est-elle associée à un
-module
Nous nous attendons également à ce qu’il contienne des informations de classement perdues sur
. Cela suggère, bien que par erreur, que
peut en fait être reconstruit à partir de ces gerbes; comme
Cependant, cela est vrai dans le cas que
est une bague polynomiale ci-dessous. Cette situation doit être contrastée avec le fait que le Fonctor Spec est adjoint au Fonctor Global Sections dans la catégorie des espaces ancrés localement.
Projectif n -espace [ modifier ]]
Si
est un anneau, nous définissons le projectif n -space
être le schéma
Le classement sur l’anneau polynomial
est défini en laissant chacun
avoir un degré un et chaque élément de
, degré zéro. Comparer cela à la définition de
, ci-dessus, nous voyons que les sections de
sont en fait des polynômes homogènes linéaires, générés par le
eux-mêmes. Cela suggère une autre interprétation de
, à savoir l’agence des «coordonnées» pour
, depuis le
sont littéralement les coordonnées du projectif
-espace.
Exemples de proj [ modifier ]]
Proj sur la ligne affine [ modifier ]]
Si nous laissons l’anneau de base être
, alors
a un morphisme projectif canonique à la ligne affine
dont les fibres sont des courbes elliptiques sauf aux points
où les courbes se dégénèrent en courbes nodales. Il y a donc une fibration
qui est également un morphisme lisse des schémas (qui peut être vérifié en utilisant le critère jacobien).
Hypersurfaces et variétés projectives [ modifier ]]
L’hypersurface projective
est un exemple de triple quintique de Fermat qui est également un collecteur Calabi – Yau. En plus des hypersurfaces projectives, toute variété projective découpée par un système de polynômes homogènes
dans
-Les variables peuvent être converties en un schéma projectif à l’aide de la construction ProJ pour l’algèbre graduée
Donner une intégration de variétés projectives dans des schémas projectifs.
Espace projectif pondéré [ modifier ]]
Les espaces projectifs pondérés peuvent être construits à l’aide d’un cycle polynomial dont les variables ont des degrés non standard. Par exemple, l’espace projectif pondéré
correspond à la prise
de l’anneau
où
avoir du poids
alors que
a du poids 2.
Anneaux de grossesse [ modifier ]]
La construction ProJ s’étend aux anneaux bigraded et multigradés. Géométriquement, cela correspond à la prise de produits de schémas projectifs. Par exemple, étant donné les anneaux classés
avec le degré de chaque générateur
. Ensuite, le produit tenseur de ces algèbres
donne l’algèbre bigraded
où le
avoir du poids
et le
avoir du poids
. Ensuite, la construction proj donne
qui est un produit de schémas projectifs. Il y a une intégration de tels schémas dans un espace projectif en prenant l’algèbre totale
où un diplôme
L’élément est considéré comme un diplôme
élément. Cela signifie le
-th
est le module
De plus, le schéma
Vient maintenant avec des gerbes bigReded
qui sont le produit tenseur des gerbes
où
et
sont les projections canoniques provenant des injections de ces algèbres à partir du diagramme du produit du tenseur des algèbres commutatives.
Proj Global [ modifier ]]
Une généralisation de la construction proj remplace l’anneau S avec une gerbe d’algèbres et produit, en conséquence, un schéma qui pourrait être considéré comme une fibration de proj’s des anneaux. Cette construction est souvent utilisée, par exemple, pour construire des faisceaux d’espace projective sur un schéma de base.
Hypothèses [ modifier ]]
Formellement, laissez X être n’importe quel schéma et S être une gerbe de note
-Lebras (dont la définition est similaire à la définition de
-Modules sur un espace sonnent localement): c’est-à-dire une gerbe avec une décomposition à somme directe
où chacun
est un
-Module tel que pour chaque sous-ensemble ouvert DANS de X , S ( DANS ) est un
-Lebra et la décomposition de somme directe qui en résulte
est un classement de cette algèbre comme un anneau. Ici, nous supposons que
. Nous faisons l’hypothèse supplémentaire que S est une gerbe quasi-cohérente; Il s’agit d’une hypothèse de «cohérence» sur les sections sur différents ensembles ouverts qui sont nécessaires pour que la construction se déroule.
Construction [ modifier ]]
Dans cette configuration, nous pouvons construire un schéma
et une carte «projection» p sur X tel que pour chaque affine ouvert DANS de X ,
Cette définition suggère que nous construisons
en définissant d’abord les schémas
Pour chaque affine ouvert DANS , en définissant
et cartes
, puis montrant que ces données peuvent être collées «sur» chaque intersection de deux affines ouvertes DANS et DANS pour former un schéma ET que nous définissons pour être
. Il n’est pas difficile de montrer que définir chacun
être la carte correspondant à l’inclusion de
dans S ( DANS ) Comme les éléments du degré zéro rendent la cohérence nécessaire du
, tandis que la cohérence du
eux-mêmes découlent de l’hypothèse de quasi-cohérence sur S .
La gerbe torsadée [ modifier ]]
Si S a la propriété supplémentaire qui
est une gerbe cohérente et génère localement S sur
(c’est-à-dire lorsque nous passons à la tige de l’agence S à un moment donné X de X , qui est une algèbre graduée dont les éléments de degré zéro forment l’anneau
Ensuite, les éléments de degré-un forment un module généré par une fin
et générer également la tige sous forme d’algèbre), nous pouvons alors faire une nouvelle construction. Sur chaque affine ouvert DANS , Proj S ( DANS ) porte une gerbe inversible o (1), et l’hypothèse que nous venons de faire garantit que ces gerbes peuvent être collés comme le
au-dessus de; l’agence résultante sur
est également noté O (1) et sert à peu près le même but pour
comme le fait la torsion sur le proj d’un anneau.
Proj d’un shef quasi-cohérent [ modifier ]]
Laisser
être une gerbe quasi-cohérente sur un programme
. La banque d’algèbres symétriques
est naturellement une gerbe quasi-cohérente de note
-Modules, générés par des éléments de degré 1. Le schéma résultant est noté par
. Si
est de type fini, puis son morphisme canonique
est un morphisme projectif . [2]
Pour toute
, la fibre du morphisme ci-dessus
est l’espace projectif
associé au double de l’espace vectoriel
sur
.
Si
est une gerbe quasi-cohérente de note
-Modules, générés par
Et tel que
est de type fini, alors
est un sous-volet fermé de
et est alors projectif sur
. En fait, chaque sous-pythème fermé d’un projectif
est de cette forme. [3]
Bundles spatiaux projectifs [ modifier ]]
Comme un cas particulier, quand
est localement exempt de rang
, nous obtenons un bundle projectif
sur
de dimension relative
. En effet, si nous prenons une couverture ouverte de X par des affines ouvertes
de sorte que lorsqu’il est limité à chacun d’eux,
est gratuit UN , alors
et donc
est un pack spatial projectif. De nombreuses familles de variétés peuvent être construites comme des sous-efforts de ces faisceaux projectifs, tels que la famille Weierstrass de courbes elliptiques. Pour plus de détails, consultez l’article principal.
Exemple de Proj global [ modifier ]]
Global ProJ peut être utilisé pour construire des crayons Lefschetz. Par exemple, laissez
et prendre des polynômes homogènes
du degré k. Nous pouvons considérer l’agence idéale
de
et construire un proj global de cette gerbe des algèbres
. Cela peut être décrit explicitement comme le morphisme projectif
.
Voir également [ modifier ]]
Les références [ modifier ]]
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