Espace nucléaire – Wikipedia wiki
Une généralisation des espaces euclidiens dimensionnels finis différents des espaces Hilbert
En mathématiques, espaces nucléaires sont des espaces vectoriels topologiques qui peuvent être considérés comme une généralisation des espaces euclidiens dimensionnels finis et partager bon nombre de leurs propriétés souhaitables. Les espaces nucléaires sont cependant très différents des espaces de Hilbert, une autre généralisation des espaces euclidiens dimensionnels finis. Ils ont été présentés par Alexander Grothendieck.
La topologie sur les espaces nucléaires peut être définie par une famille de séminorms dont les balles unitaires diminuent rapidement. Les espaces vectoriels dont les éléments sont «lisses» dans un certain sens ont tendance à être des espaces nucléaires; Un exemple typique d’un espace nucléaire est l’ensemble des fonctions lisses sur un collecteur compact. Tous les espaces vectoriels de dimension finie sont nucléaires. Il n’y a pas d’espaces Banach qui sont nucléaires, à l’exception des dimensions finies. En pratique pas Un espace de Banach, puis il y a de fortes chances qu’il soit nucléaire.
Motivation originale: le théorème du noyau Schwartz [ modifier ]]
Une grande partie de la théorie des espaces nucléaires a été développée par Alexander Grothendieck lors de l’étude du théorème du noyau Schwartz et publiée dans (Grothendieck 1955). Nous décrivons maintenant cette motivation.
Pour tous les sous-ensembles ouverts
et
la carte canonique
est un isomorphisme des téléviseurs (où
a la topologie de la convergence uniforme sur les sous-ensembles délimités) et en outre, ces deux espaces sont canoniquement TVS-isomorphes à
(Où depuis
est nucléaire, ce produit tenseur est simultanément le produit du tenseur injectif et le produit tenseur projectif).
En bref, le théorème du noyau Schwartz déclare que:
où tous ces isomorphismes TVS sont canoniques.
Ce résultat est faux si l’on remplace l’espace
avec
(qui est un espace réflexif qui est même isomorphe à son propre double espace) et remplace
avec le dual de cela
espace.
Pourquoi un tel résultat si agréable est-il valable pour l’espace des distributions et des fonctions de test, mais pas pour l’espace Hilbert
(qui est généralement considéré comme l’un des “plus beaux” téléviseurs)?
Cette question a conduit Grothendieck à découvrir les espaces nucléaires, les cartes nucléaires et le produit du tenseur d’injectif.
Motivations de la géométrie [ modifier ]]
Un autre ensemble d’exemples de motivation vient directement de la géométrie et de la théorie des collecteurs lisses [3] Annexe 2 . Étant donné des variétés lisses
et un espace vecteur topologique HAUSDORFF convexe localement, puis il y a les isomorphismes suivants des espaces nucléaires
En utilisant des produits de tenseur standard pour
En tant qu’espace vectoriel, la fonction
ne peut pas être exprimé en fonction
pour
Cela donne un exemple démontrant qu’il y a une inclusion stricte des ensembles
Définition [ modifier ]]
Cette section répertorie certaines des définitions les plus courantes d’un espace nucléaire. Les définitions ci-dessous sont toutes équivalentes. Notez que certains auteurs utilisent une définition plus restrictive d’un espace nucléaire, en ajoutant la condition que l’espace devrait également être un espace de fréquence. (Cela signifie que l’espace est complet et que la topologie est donnée par un dénombrable Famille de séminorms.)
La définition suivante a été utilisée par Grothendieck pour définir les espaces nucléaires.
Définition 0 : Laisser
Soyez un espace vectoriel topologique localement convexe. Alors
est nucléaire si pour un espace convexe localement
L’espace vectoriel canonique intégration
est une incorporation de téléviseurs dont l’image est dense dans le codomaine (où le domaine
Le produit tenseur projectif est-il et le codomaine est l’espace de toutes les formes bilinéaires continues séparément sur
doté de la topologie de la convergence uniforme sur des sous-ensembles équicontinus).
Nous commençons par rappeler des antécédents. Un espace vectoriel topologique convexe localement
A une topologie définie par une famille de séminorms. Pour tout séminorm, la balle unitaire est un quartier symétrique convexe fermé de l’origine, et inversement tout quartier symétrique convexe fermé de 0 est la boule unitaire d’un séminorm. (Pour les espaces vectoriels complexes, la condition “symétrique” doit être remplacée par “équilibré”.)
Si
est un séminorm sur
alors
indique l’espace Banach donné en complétant l’espace normé auxiliaire en utilisant le séminorm
Il y a une carte naturelle
(pas nécessairement injectif).
Si
est un autre séminorm, plus grand que
(Pointwise en fonction
), alors il y a une carte naturelle de
pour
de telle sorte que la première carte facteurs comme
Ces cartes sont toujours continues. L’espace
est nucléaire lorsqu’une affection plus forte tient, à savoir que ces cartes sont des opérateurs nucléaires. L’état d’être un opérateur nucléaire est subtil et plus de détails sont disponibles dans l’article correspondant.
Définition 1 : UN espace nucléaire est un espace vectoral topologique localement convexe tel que pour tout séminorm
On peut trouver un plus grand séminorm
pour que la carte naturelle
est nucléaire.
De manière informelle, cela signifie que chaque fois que nous recevons la boule de l’unité d’un séminorm, nous pouvons trouver une boule “beaucoup plus petite” d’un autre séminorm à l’intérieur, ou que tout quartier de 0 contient un quartier “beaucoup plus petit”. Il n’est pas nécessaire de vérifier cette condition pour tous les séminorms
; Il suffit de le vérifier pour un ensemble de séminorms qui génèrent la topologie, en d’autres termes, un ensemble de séminorms qui sont une sous-base pour la topologie.
Au lieu d’utiliser des espaces arbitraires de Banach et des opérateurs nucléaires, nous pouvons donner une définition en termes d’espaces Hilbert et d’opérateurs de classe de trace, qui sont plus faciles à comprendre.
(Sur les espaces de Hilbert, les opérateurs nucléaires sont souvent appelés opérateurs de classe de trace.)
Nous dirons qu’un séminorm
est un Hilbert Seminorm si
est un espace Hilbert, ou de manière équivalente si
vient d’une forme de semi-finite positive sesquilinéaire sur
Définition 2 : UN espace nucléaire est un espace vectoriel topologique avec une topologie définie par une famille de Hilbert Seminorms, telle que pour tout Hilbert Seminorm
On peut trouver un plus grand Hilbert Seminorm
afin que la carte naturelle de
pour
est la classe de trace.
Certains auteurs préfèrent utiliser des opérateurs Hilbert – Schmidt plutôt que des opérateurs de classe de trace. Cela fait peu de différence, car tout opérateur de classe de trace est Hilbert – Schmidt, et le produit de deux opérateurs de Hilbert – Schmidt est de classe de trace.
Définition 3 : UN espace nucléaire est un espace vectoriel topologique avec une topologie définie par une famille de Hilbert Seminorms, telle que pour tout Hilbert Seminorm
On peut trouver un plus grand Hilbert Seminorm
afin que la carte naturelle de
pour
est Hilbert – Schmidt.
Si nous sommes disposés à utiliser le concept d’un opérateur nucléaire d’un espace vectoriel topologique arbitraire convexe localement à un espace de Banach, nous pouvons donner des définitions plus courtes comme suit:
Définition 4 : UN espace nucléaire est un espace vectoral topologique localement convexe tel que pour tout séminorm
la carte naturelle de
est nucléaire.
Définition 5 : UN espace nucléaire est un espace vectoral topologique localement convexe, de sorte que toute carte linéaire continue vers un espace Banach est nucléaire.
Grothendieck a utilisé une définition similaire à celle suivante:
Définition 6 : UN espace nucléaire est un espace vectoriel topologique localement convexe
de telle sorte que pour tout espace vecteur topologique convexe localement
la carte naturelle du projectif au produit du tenseur injectif de
et
est un isomorphisme.
En fait, il suffit de vérifier cela uniquement pour les espaces de Banach
ou même juste pour l’espace de banach unique
de séries absolument convergentes.
Caractérisations [ modifier ]]
Laisser
Soyez un espace Hausdorff localement convexe. Ensuite, les éléments suivants sont équivalents:
- est nucléaire;
- pour tout espace convexe localement L’espace vectoriel canonique intégration est une incorporation de téléviseurs dont l’image est dense dans le codomaine;
- pour tout espace de banach L’espace vectoriel canonique intégration est un isomorphisme surjectif de TVSS;
- pour tout espace HAUSDORFF convexe localement L’espace vectoriel canonique intégration est un isomorphisme surjectif de TVSS;
- l’intégration canonique de dans est un isomorphisme surjectif de TVSS;
- la carte canonique de est un isomorphisme TVS surjectif.
- pour tout séminorm On peut trouver un plus grand séminorm pour que la carte naturelle est nucléaire;
- pour tout séminorm On peut trouver un plus grand séminorm afin que l’injection canonique est nucléaire;
- la topologie de est défini par une famille de Hilbert Seminorms, telle que pour tout Hilbert Seminorm On peut trouver un plus grand Hilbert Seminorm pour que la carte naturelle est la classe Trace;
- a une topologie définie par une famille de Hilbert Seminorms, telle que pour tout Hilbert Seminorm On peut trouver un plus grand Hilbert Seminorm pour que la carte naturelle est Hilbert – Schmidt;
- pour tout séminorm la carte naturelle de est nucléaire.
- Toute carte linéaire continue à un espace de Banach est nucléaire;
- Chaque séminorm continu sur est prénucléaire;
- chaque sous-ensemble équicontin de est prénucléaire;
- Chaque carte linéaire d’un espace de Banach dans qui transforme la balle unitaire en un ensemble équicontin, est nucléaire;
- l’achèvement est un espace nucléaire;
Si
est un espace de Fréchet, alors les éléments suivants sont équivalents:
- est nucléaire;
- Chaque séquence sommable dans est absolument sommable;
- le fort dual de est nucléaire;
Conditions suffisantes [ modifier ]]
- Un espace HAUSDORFF convexe localement est nucléaire si et seulement si son achèvement est nucléaire.
- Chaque sous-espace d’un espace nucléaire est nucléaire.
- Chaque espace de quotient Hausdorff d’un espace nucléaire est nucléaire.
- La limite inductive d’une séquence dénombrable d’espaces nucléaires est nucléaire.
- La somme directe convexe localement d’une séquence dénombrable d’espaces nucléaires est nucléaire.
- Le fort dual d’un espace de fréquence nucléaire est nucléaire.
- En général, le solide double d’un espace nucléaire peut ne pas être nucléaire.
- Un espace de fréquence dont le dual fort est le nucléaire est lui-même nucléaire.
- La limite d’une famille d’espaces nucléaires est nucléaire.
- Le produit d’une famille d’espaces nucléaires est nucléaire.
- L’achèvement d’un espace nucléaire est nucléaire (et en fait un espace est nucléaire si et seulement si son achèvement est nucléaire).
- Le produit du tenseur de deux espaces nucléaires est nucléaire.
- Le produit de tenseur projectif, ainsi que son achèvement, de deux espaces nucléaires sont nucléaires.
Supposer que
et
sont des espaces convexes localement avec
est nucléaire.
Exemples [ modifier ]]
Si
est un ensemble de n’importe quelle cardinalité, alors
et
(avec la topologie du produit) sont les deux espaces nucléaires.
Un exemple de dimension infinie relativement simple d’espace nucléaire est l’espace de toutes les séquences diminuées rapidement
(“Diminuer rapidement” signifie que
est délimité pour tout polynôme
). Pour chaque nombre réel
il est possible de définir une norme
par
Si l’achèvement dans cette norme est
Ensuite, il y a une carte naturelle de
chaque fois que
Et c’est nucléaire chaque fois
est alors absolument convergent. En particulier pour chaque norme
Ceci est possible pour trouver une autre norme, disons
tel que la carte
est nucléaire. L’espace est donc nucléaire.
- L’espace des fonctions lisses sur tout collecteur compact est nucléaire.
- L’espace Schwartz des fonctions lisses sur pour lequel les dérivés de tous les ordres diminuent rapidement est un espace nucléaire.
- L’espace des fonctions holomorphes entières sur le plan complexe est nucléaire.
- L’espace des distributions le fort dual de est nucléaire.
Propriétés [ modifier ]]
Les espaces nucléaires sont à bien des égards similaires aux espaces de dimension finie et ont plusieurs de leurs bonnes propriétés.
Le théorème du noyau [ modifier ]]
Une grande partie de la théorie des espaces nucléaires a été développée par Alexander Grothendieck lors de l’étude du théorème du noyau Schwartz et publiée dans (Grothendieck 1955). Nous avons la généralisation suivante du théorème.
Théorème du noyau Schwartz : Supposer que
est nucléaire,
est localement convexe, et
est une forme bilinéaire continue sur
Alors
provient d’un espace de la forme
où
et
sont des sous-ensembles équicontinus appropriés de
et
De manière équivalente,
est de la forme,
où
et chacun de
et
sont équicontinious. De plus, ces séquences peuvent être considérées comme des séquences nulles (c’est-à-dire convergentes vers 0)
et
respectivement.
Théorème de Bochner – Minlos [ modifier ]]
Un fonctionnel continu
sur un espace nucléaire
est appelé un fonctionnel caractéristique si
Et pour tout complexe
Étant donné une fonctionnalité caractéristique sur un espace nucléaire
le Théorème de Bochner – Minlos (Après Salomon Bochner et Robert Adol’fovich Minlos) garantit l’existence et l’unicité de la mesure de probabilité correspondante
sur le double espace
donné par
Cela étend la transformée de Fourier inverse en espaces nucléaires.
En particulier, si
est l’espace nucléaire
où
sont des espaces Hilbert, le théorème de Bochner – Minlos garantit l’existence d’une mesure de probabilité avec la fonction caractéristique
c’est-à-dire l’existence de la mesure gaussienne sur le double espace. Une telle mesure est appelée mesure du bruit blanc . Quand
est l’espace Schwartz, l’élément aléatoire correspondant est une distribution aléatoire.
Espaces nucléaires fortement [ modifier ]]
UN Espace fortement nucléaire est un espace vectoral topologique localement convexe tel que pour tout séminorm
il existe un plus grand séminorm
pour que la carte naturelle
est un nucléaire fortement.
Voir également [ modifier ]]
Les références [ modifier ]]
Bibliographie [ modifier ]]
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