Formule de résumé d’Abel – Wikipedia wiki

Intégration par parties version de la méthode d’Abel pour la sommation par parties

En mathématiques, Formule de sommation d’Abel , introduit par Niels Henrik Abel, est intensivement utilisé dans la théorie du nombre analytique et l’étude des fonctions spéciales pour calculer les séries.

Formule [ modifier ]]

Laisser

${DisplayStyle (a_ {n}) _ {n = 0} ^ {infty}}$

être une séquence de nombres réels ou complexes. Définir la fonction de somme partielle

${displaystyle a}$

par

${displayStyle a (t) = sum _ {0leq nleq t} a_ {n}}$

pour tout nombre réel

${displayStyle t}$

. Correction des nombres réels

${displaystyle x$

, et laissez

${displaystyle phi}$

être une fonction continuellement différenciable sur

${displayStyle [x, y]}$

. Alors:

${AffichageStyle Sum _ {x$

La formule est dérivée en appliquant l’intégration par des parties pour une intégrale de Riemann – Sieltjes aux fonctions

${displaystyle a}$

et

${displaystyle phi}$

.

Variations [ modifier ]]

Prendre le point de terminaison gauche pour être

${Displaystyle -1}$

donne la formule

${DisplayStyle sum _ {0leq nleq x} a_ {n} phi (n) = a (x) phi (x) -int _ {0} ^ {x} a (u) phi ‘(u), du.}$

Si la séquence

${displayStyle (a_ {n})}$

est indexé à partir de

${displayStyle n = 1}$

, alors nous pouvons définir officiellement

${displayStyle a_ {0} = 0}$

. La formule précédente devient

${DisplayStyle sum _ {1leq nleq x} a_ {n} non (n) = a (x) phi (x) -int _ {1} ^ {x} a (u) phi ‘(u), du.}$

Une façon courante d’appliquer la formule de sommation d’Abel est de prendre la limite de l’une de ces formules comme

${displayStyle xto infty}$

. Les formules résultantes sont

${displayStyle {begin {aligné} sum _ {n = 0} ^ {infty} a_ {n} phi (n) & = lim _ {xto infty} {bigl (} a (x) phi (x) {bigr)} -int _ {0} ^ {infty} a (u) phi ‘(u), du, \ sum _ {n = 1} ^ {infty} a_ {n} phi (n) & = lim _ {xto infty} {bigl (} a (x) phi (x) {bigr)} – int _ {1} ^ {infty} a (u) phi ‘(u), du.end {aligné}}}$

Ces équations tiennent chaque fois que les deux limites sur le côté droit existent et sont finies.

Un cas particulièrement utile est la séquence

${displayStyle a_ {n} = 1}$

pour tous

${displayStyle ngeq 0}$

. Dans ce cas,

${displayStyle a (x) = lfloor x + 1rfloor}$

. Pour cette séquence, la formule sommation d’Abel se simplifie

${displayStyle sum _ {0leq nleq x} phi (n) = lfloor x + 1rfloor phi (x) -int _ {0} ^ {x} lfloor u + 1rfloor phi ‘(u), du.}$

De même, pour la séquence

${displayStyle a_ {0} = 0}$

et

${displayStyle a_ {n} = 1}$

pour tous

${displaystyle ngeq 1}$

, la formule devient

${displayStyle sum _ {1leq nleq x} phi (n) = lfloor xrfloor phi (x) -int _ {1} ^ {x} lfloor urfloor phi ‘(u), du.}$

En prenant la limite comme

${displayStyle xto infty}$

, nous trouvons

${displayStyle {begin {aligné} sum _ {n = 0} ^ {infty} phi (n) & = lim _ {xto infty} {bigl (} lfloor x + 1rfloor phi (x) {bigr)} – int {{{ 0} ^ {infty} lfloor u + 1rfloor phi ‘(u), du, \ sum _ {n = 1} ^ {infty} phi (n) & = lim _ {xto infty} {bigl (} lfloor xrfloor phi ( x) {bigr)} – int _ {1} ^ {infty} lfloor urfloor phi ‘(u), du, end {aligné}}}$

En supposant que les deux termes sur le côté droit existent et sont finis.

La formule sommation d’Abel peut être généralisée au cas où

${displaystyle phi}$

n’est supposé que si l’intégrale est interprétée comme une intégrale de Riemann – Sieltjes:

${AffichageStyle Sum _ {x$

En prenant

${displaystyle phi}$

Pour être la fonction de somme partielle associée à une séquence, cela conduit à la sommation par des parties de la formule.

Exemples [ modifier ]]

Nombres harmoniques [ modifier ]]

Si

${displayStyle a_ {n} = 1}$

pour

${displaystyle ngeq 1}$

et

${DisplayStyle phi (x) = 1 / x,}$

alors

${displayStyle a (x) = lfloor xrfloor}$

et la formule donne

${displayStyle Sum _ {n = 1} ^ {lfloor xrfloor} {frac {1} {n}} = {frac {lfloor xrfloor} {x}} + int _ {1} ^ {x} {frac {lfloor urfloor} {u ^ {2}}}, du.}$

Le côté gauche est le numéro harmonique

${displayStyle h_ {lfloor xrfloor}}$

.

Représentation de la fonction Zeta de Riemann [ modifier ]]

Correction d’un nombre complexe

${DisplayStyle S}$

. Si

${displayStyle a_ {n} = 1}$

pour

${displaystyle ngeq 1}$

et

${DisplayStyle phi (x) = x ^ {- s},}$

alors

${displayStyle a (x) = lfloor xrfloor}$

Et la formule devient

${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {lfloor xrfloor} {frac {1} {n ^ {s}}} = {frac {lfloor xrfloor} {x ^ {s}}} + sint {1} ^ {{x ^ {s}}} + sint {1} ^ {X ^ x} {frac {lfloor urfloor} {u ^ {1 + s}}}, du.}$

Si

${displayStyle re (s)> 1}$

${displayStyle xto infty}$

existe et donne la formule

${displayStyle zeta (s) = sint _ {1} ^ {infty} {frac {lfloor urfloor} {u ^ {1 + s}}}, du.}$

Cela peut être utilisé pour dériver le théorème de Dirichlet que

${displaystyle zeta (s)}$

a un poteau simple avec les résidus 1 à s = 1 .

Réciproque de la fonction Riemann Zeta [ modifier ]]

La technique de l’exemple précédent peut également être appliquée à d’autres séries Dirichlet. Si

${DisplayStyle a_ {n} = mu (n)}$

est la fonction Möbius et

${DisplayStyle phi (x) = x ^ {- s}}$

, alors

${DisplayStyle a (x) = m (x) = sum _ {nleq x} mu (n)}$

est la fonction Mertens et

${DisplayStyle {frac {1} {zeta (s)}} = sum _ {n = 1} ^ {infty} {frac {mu (n)} {n ^ {s}}}}}}}} = sint _ {1} ^ {infty} {frac {m (u)} {u ^ {1 + s}}}, du.}$

Cette formule contient

${displayStyle re (s)> 1}$

Voir également [ modifier ]]

Les références [ modifier ]]