Analyse non standard – Wikipedia wiki

Calcul en utilisant une notion logiquement rigoureuse de nombres infinitésimaux

L’histoire du calcul est lourde de débats philosophiques sur la signification et la validité logique des fluxions ou des nombres infinitésimaux. Le moyen standard de résoudre ces débats est de définir les opérations du calcul en utilisant les procédures d’Epsilon – lelta plutôt que d’infinisisimals. Analyse non standard ^{[d’abord] [2] [3]} reformule le calcul en utilisant une notion logiquement rigoureuse de nombres infinitésimaux.

Une analyse non standard est née au début des années 1960 par le mathématicien Abraham Robinson. ^{[4] [5]} Il a écrit:

… l’idée d’infiniment petit ou infinitésimal Les quantités semblent faire appel naturellement à notre intuition. En tout cas, l’utilisation des infinitésimaux était répandue pendant les étapes formatrices du calcul différentiel et intégral. Quant à l’objection … que la distance entre deux nombres réels distincts ne peut pas être infiniment petit, Gottfried Wilhelm Leibniz a fait valoir que la théorie des infinitésimaux implique l’introduction de nombres idéaux qui pourraient être infiniment petits ou infiniment grands par rapport aux nombres réels mais qui qui étaient posséder les mêmes propriétés que ce dernier.

Robinson a fait valoir que cette loi de continuité de celle de Leibniz est un précurseur du principe de transfert. Robinson a continué:

Cependant, ni lui ni ses disciples et successeurs n’ont pu donner un développement rationnel menant à un système de ce genre. En conséquence, la théorie des infinitésimaux s’est progressivement dénoncée et a finalement été remplacée par la théorie classique des limites. ^[6]

Robinson continue:

… Les idées de Leibniz peuvent être pleinement justifiées et … elles conduisent à une approche nouvelle et fructueuse de l’analyse classique et à de nombreuses autres branches de mathématiques. La clé de notre méthode est fournie par l’analyse détaillée de la relation entre les langues mathématiques et les structures mathématiques qui se trouvent au bas de la théorie du modèle contemporain.

En 1973, l’intuitionniste Arend Heyting a félicité une analyse non standard comme “un modèle standard de recherche mathématique importante”. ^[7]

Introduction [ modifier ]]

Un élément non nul d’un champ ordonné

${displaystyle mathbb {f}}$

est infinitésimal si et seulement si sa valeur absolue est plus petite que n’importe quel élément de

${displaystyle mathbb {f}}$

de la forme

${displayStyle {frac {1} {n}}}$

, pour

${displaystyle n}$

un nombre naturel standard. Les champs ordonnés qui ont des éléments infinitésimaux sont également appelés non-archimediens. Plus généralement, l’analyse non standard est toute forme de mathématiques qui repose sur des modèles non standard et le principe de transfert. Un champ qui satisfait le principe de transfert pour les nombres réels est appelé un vrai champ fermé, et une analyse réelle non standard utilise ces champs comme modèles non standard des nombres réels.

L’approche originale de Robinson était basée sur ces modèles non standard du domaine des nombres réels. Son livre fondamental classique sur le sujet Analyse non standard a été publié en 1966 et est toujours imprimé. ^[8] À la page 88, Robinson écrit:

L’existence de modèles non standard de l’arithmétique a été découverte par Thoralf Skolem (1934). La méthode de Skolem préfigure la construction ultrapower […]

Plusieurs problèmes techniques doivent être résolus pour développer un calcul d’infinisisimals. Par exemple, il ne suffit pas de construire un champ ordonné avec des infinitésimaux. Voir l’article sur les nombres hyperréaux pour une discussion sur certaines des idées pertinentes.

Définitions basiques [ modifier ]]

Dans cette section, nous décrivons l’une des approches les plus simples pour définir un champ hyperréal

${displayStyle ^ {*} mathbb {r}}$

. Laisser

${displayStyle Mathbb {r}}$

être le domaine des nombres réels et laisser

${displaystyle mathbb {N} }$

être le semiring des nombres naturels. Indiquer

${displayStyle Mathbb {r} ^ {Mathbb {n}}}$

L’ensemble de séquences de nombres réels. Un champ

${displayStyle ^ {*} mathbb {r}}$

est défini comme un quotient approprié de

${displayStyle Mathbb {r} ^ {Mathbb {n}}}$

, comme suit. Prendre un ultrafiltre non praticien

${displayStyle fSubSeteq p (mathbb {n})}$

. En particulier,

${displaystyle f}$

Contient le filtre Fréchet. Considérez une paire de séquences

${DisplayStyle u = (u_ {n}), v = (v_ {n}) dans mathbb {r} ^ {mathbb {n}}}}$

Nous disons que

${displaystyle u}$

et

${DisplayStyle V}$

sont équivalents s’ils coïncident sur un ensemble d’indices qui est membre de l’ultrafilter, ou en formules:

${DisplayStyle {nin mathbb {n}: u_ {n} = v_ {n}} dans f}$

Le quotient de

${displayStyle Mathbb {r} ^ {Mathbb {n}}}$

par la relation d’équivalence qui en résulte est un champ hyperréal

${displayStyle ^ {*} mathbb {r}}$

, une situation résumé par la formule

${displayStyle ^ {*} mathbb {r} = {mathbb {r} ^ {mathbb {n}}} / {f}}$

.

Motivation [ modifier ]]

Il y a au moins trois raisons de considérer l’analyse non standard: historique, pédagogique et technique.

Historique [ modifier ]]

Une grande partie du premier développement du calcul infinitésimal par Newton et Leibniz a été formulé à l’aide d’expressions telles que numéro infinitésimal et Quantité de disparition . Comme indiqué dans l’article sur les nombres hyperréaux, ces formulations ont été largement critiquées par George Berkeley et autres. Le défi de développer une théorie cohérente et satisfaisante de l’analyse en utilisant des infinitésimaux a été rencontrée pour la première fois par Abraham Robinson. ^[6]

En 1958, Curt Forge et Detlef Laugwitz ont publié l’article “Une expansion du calcul infinitésimal” ^[9] (“Une extension du calcul infinitésimal”) qui a proposé une construction d’un anneau contenant des infinitésimaux. L’anneau a été construit à partir de séquences de nombres réels. Deux séquences ont été considérées comme équivalentes si elles ne différaient que par un nombre fini d’éléments. Les opérations arithmétiques étaient définies élémentaires. Cependant, l’anneau construit de cette manière contient zéro diviseurs et ne peut donc pas être un champ.

Pédagogique [ modifier ]]

H. Jerome Keisler, David Tall et d’autres éducateurs soutiennent que l’utilisation des infinitésimaux est plus intuitive et plus facilement saisie par les étudiants que l’approche “Epsilon – Delta” des concepts analytiques. ^[dix] Cette approche peut parfois fournir des preuves plus faciles de résultats que la formulation d’Epsilon – Delta correspondante de la preuve. Une grande partie de la simplification vient de l’application de règles très faciles d’arithmétique non standard, comme suit:

infinitésimal × fini = infinitésimal

infinitésimal + infinitésimal = infinitésimal

avec le principe de transfert mentionné ci-dessous.

Une autre application pédagogique de l’analyse non standard est le traitement par Edward Nelson de la théorie des processus stochastiques. ^[11]

Technique [ modifier ]]

Certains travaux récents ont été effectués dans l’analyse en utilisant des concepts de l’analyse non standard, en particulier dans l’étude des processus limitants des statistiques et de la physique mathématique. Sergio Albeverio et al. ^[douzième] Discutez de certaines de ces applications.

Approches de l’analyse non standard [ modifier ]]

Il existe deux principales approches différentes de l’analyse non standard: l’approche sémantique ou théorique et l’approche syntaxique. Ces deux approches s’appliquent à d’autres domaines de mathématiques au-delà de l’analyse, notamment la théorie des nombres, l’algèbre et la topologie.

La formulation originale de Robinson de l’analyse non standard entre dans la catégorie du approche sémantique . Comme développé par lui dans ses articles, il est basé sur l’étude de modèles (en particulier les modèles saturés) d’une théorie. Depuis que le travail de Robinson est apparu pour la première fois, une approche sémantique plus simple (en raison d’Elias Zakon) a été développée à l’aide d’objets théoriques purement définis appelés superstructures. Dans cette approche Un modèle d’une théorie est remplacé par un objet appelé un superstructure DANS ( S ) sur un ensemble S . À partir d’une superstructure DANS ( S ) L’un construit un autre objet * DANS ( S ) Utilisation de la construction ultrapower avec une cartographie DANS ( S ) → * DANS ( S ) qui satisfait le principe de transfert. La carte * relie les propriétés formelles de DANS ( S ) et * DANS ( S ) . De plus, il est possible de considérer une forme plus simple de saturation appelée saturation dénombrable. Cette approche simplifiée convient également à une utilisation par des mathématiciens qui ne sont pas des spécialistes de la théorie des modèles ou de la logique.

Le approche syntaxique nécessite beaucoup moins de logique et de théorie du modèle pour comprendre et utiliser. Cette approche a été développée au milieu des années 1970 par le mathématicien Edward Nelson. Nelson a introduit une formulation entièrement axiomatique de l’analyse non standard qu’il a appelé la théorie des ensembles internes (IST). ^[13] IST est une extension de la théorie des ensembles de Zermelo – Fraenkel (ZF) dans les côtés de la relation de base de l’adhésion binaire ∈, il introduit un nouveau prédicat unaire standard , qui peut être appliqué aux éléments de l’univers mathématique avec certains axiomes pour raisonner avec ce nouveau prédicat.

L’analyse syntaxique non standard nécessite beaucoup de soins dans l’application du principe de la formation d’ensembles (officiellement connue sous le nom de l’axiome de la compréhension), que les mathématiciens tiennent généralement pour acquis. Comme le souligne Nelson, une erreur de raisonnement dans IST est celle de Formation des ensembles illégaux . Par exemple, il n’y a aucun ensemble dans ist dont les éléments sont précisément les entiers standard (ici standard est compris dans le sens du nouveau prédicat). Pour éviter la formation de l’ensemble illégal, il ne faut utiliser que des prédicats de ZFC pour définir des sous-ensembles. ^[13]

Un autre exemple de l’approche syntaxique est la théorie des ensembles alternatifs ^[14] Introduit par Petr Vopěnka, essayant de trouver des axiomes de théorie définie plus compatibles avec l’analyse non standard que les axiomes de ZF.

Livre de Robinson [ modifier ]]

Livre d’Abraham Robinson Analyse non standard a été publié en 1966. Certains des sujets développés dans le livre étaient déjà présents dans son article de 1961 par le même titre (Robinson 1961). ^[15] En plus de contenir le premier traitement complet de l’analyse non standard, le livre contient une section historique détaillée où Robinson remet en question certaines des opinions reçues sur l’histoire des mathématiques basées sur la perception de l’analyse pré-standard des infinitésimaux en tant qu’entités incohérentes. Ainsi, Robinson remet en question l’idée que le “Théorème de la somme” d’Augustin-Louis Cauchy dans les cours d’analyser concernant la convergence d’une série de fonctions continues était incorrecte et propose une interprétation infinitésimale de son hypothèse qui se traduit par un théorème correct.

Problème de sous-espace invariant [ modifier ]]

Abraham Robinson et Allen Bernstein ont utilisé une analyse non standard pour prouver que chaque opérateur linéaire polynomialement compact sur un espace Hilbert a un sous-espace invariant. ^[16]

Étant donné un opérateur T Sur l’espace Hilbert H , considérez l’orbite d’un point dans dans H sous les itérés de T . L’application de Gram – Schmidt One obtient une base orthonormale ( C’est _je ) pour H . Laisser ( H _je ) être la séquence imbriquée correspondante de sous-espaces “coordonnés” H . La matrice un _{I, J} exprimant T en ce qui concerne ( C’est _je ) est presque supérieur triangulaire, dans le sens où les coefficients un _{je +1, je} sont les seuls coefficients sous-diagonaux non nuls. Bernstein et Robinson montrent que si T est polynomialement compact, alors il y a un indice hyperfinite Dans tel que le coefficient de matrice un _{Dans +1, Dans} est infinitésimal. Ensuite, considérez le sous-espace H _Dans de * H . Si et dans H _Dans a une norme finie, alors T ( et ) est infiniment proche de H _Dans .

Maintenant, laisse T _Dans être l’opérateur

${displayStyle p_ {w} circ T}$

agissant sur H _Dans , où P _Dans La projection orthogonale est-elle de H _Dans . Indiquer q le polynôme tel que q ( T ) est compact. Le sous-espace H _Dans est interne de la dimension hyperfinite. En transférant la triangularisation supérieure des opérateurs de l’espace vectoriel complexe de dimension finie, il existe une base interne de l’espace Hilbert orthonormal ( C’est _k ) pour H _Dans où k Court de d’abord pour Dans , tel que chacun des k – sous-espaces dimensionnels ET _k est T -Invariant. Indiquer Pi _k la projection au sous-espace ET _k . Pour un vecteur non nulle X de norme finie dans H , on peut supposer que q ( T ) ( X ) est non zéro, ou | q ( T ) ( X ) | > 1 Pour réparer les idées. Depuis q ( T ) est un opérateur compact, ( q ( T _Dans )) ( X ) est infiniment proche de q ( T ) ( X ) et donc on a aussi | q ( T _Dans ) ( X ) | > 1 . Maintenant, laisse J être le plus grand index tel que

${displayStyle | q (t_ {w}) gauche (pi _ {j} (x) droit) | <{tfrac {1} {2}}}$

. Puis l’espace de tous les éléments standard infiniment près de ET _J est le sous-espace invariant souhaité.

En lisant une préimpression du papier de Bernstein et Robinson, Paul Halmos a réinterprété leur preuve en utilisant des techniques standard. ^[17] Les deux articles sont apparus consécutifs dans le même numéro de la Pacific Journal of Mathematics . Certaines des idées utilisées dans la preuve de Halmos ont réapparu plusieurs années plus tard dans le propre travail de Halmos sur les opérateurs quasi-triangulaires.

Autres applications [ modifier ]]

D’autres résultats ont été reçus le long de la ligne de réinterprétation ou de suppression des résultats précédemment connus. La preuve de Teturo Kamae ^[18] du théorème ergodique individuel ou de L. van den sèche et du traitement d’Alex Wilkie ^[19] du théorème de Gromov sur des groupes de croissance polynomiale. L’analyse non standard a été utilisée par Larry Manevitz et Shmuel Weinberger pour prouver le résultat d’une topologie algébrique. ^[20]

Les véritables contributions de l’analyse non standard résident cependant dans les concepts et les théorèmes qui utilisent le nouveau langage étendu de la théorie des ensembles non standard. Parmi la liste des nouvelles applications en mathématiques, il existe de nouvelles approches de la probabilité, ^[11] hydrodynamique, ^[21] Mesurer la théorie, ^[22] Analyse non lisse et harmonique, ^[23] etc.

Il existe également des applications d’analyse non standard à la théorie des processus stochastiques, en particulier les constructions du mouvement brownien comme promenades aléatoires. Albeverio et al. ^[douzième] avoir une excellente introduction à ce domaine de recherche.

Applications au calcul [ modifier ]]

En tant qu’application à l’éducation mathématique, H. Jerome Keisler a écrit Calcul élémentaire: une approche infinitésimale . ^[dix] Couvrant un calcul non standard, il développe un calcul différentiel et intégral en utilisant les nombres hyperréaux, qui incluent des éléments infinitésimaux. Ces applications d’analyse non standard dépendent de l’existence de la partie standard d’un hyperréal fini r . La partie standard de r , indiqué St( r ) , est un nombre réel standard infiniment proche de r . L’un des dispositifs de visualisation que Keisler utilise est celui d’un microscope imaginaire d’agrément infini pour distinguer les points infiniment près les uns des autres. Le livre de Keisler est maintenant épuisé, mais est disponible librement sur son site Web; Voir les références ci-dessous.

La critique [ modifier ]]

Malgré l’élégance et l’attrait de certains aspects de l’analyse non standard, des critiques ont également été exprimées, telles que celles d’Errett Bishop, Alain Connes et Paul Halmos, telles que documentées lors de la critique de l’analyse non standard.

Cadre logique [ modifier ]]

Étant donné n’importe quel ensemble S , le superstructure sur un ensemble S est l’ensemble DANS ( S ) défini par les conditions

${displayStyle v_ {0} (s) = s,}$

${DisplayStyle v_ {n + 1} (s) = v_ {n} (s) cup wp (v_ {n} (s)),}$

$m Discutez de ce Yleple Puxt () = Pabbook$

Ainsi la superstructure sur S est obtenu en commençant par S et itérer le fonctionnement de la cargaison de puissance S et prendre l’union de la séquence résultante. La superstructure sur les nombres réels comprend une multitude de structures mathématiques: par exemple, il contient des copies isomorphes de tous les espaces métriques séparables et des espaces vectoriels topologiques métrichables. Pratiquement toutes les mathématiques qui intéressent un analyste DANS ( R ) .

La vue de travail de l’analyse non standard est un ensemble * R Et une cartographie *: DANS ( R ) → DANS (* R ) qui satisfait certaines propriétés supplémentaires. Pour formuler ces principes, nous énonçons d’abord certaines définitions.

Une formule a quantification délimitée Si et seulement si les seuls quantificateurs qui se produisent dans la formule ont une plage restreinte sur les ensembles, c’est-à-dire que la forme:

${displayStyle pour toute xin a, phi (x, alpha _ {1}, ldots, alpha _ {n})}$

${DisplayStyle existe xin a, phi (x, alpha _ {1}, ldots, alpha _ {n})}$

Par exemple, la formule

${displaystyle pour toute xin a, existe yin 2 ^ {b}, quad xin y}$

a bordé la quantification, la variable universellement quantifiée X s’échapper UN , la variable quantifiée existentiellement et s’étend sur la puissance de B . D’autre part,

${displaystyle pour toute xin a, existe y, quad xin y}$

n’a pas de quantification délimitée car la quantification de et est sans restriction.

Ensembles internes [ modifier ]]

Un ensemble X est interne si et seulement si X est un élément de * UN pour certains éléments UN de DANS ( R ) . * UN lui-même est interne si UN appartient à DANS ( R ) .

Nous formulons maintenant le cadre logique de base de l’analyse non standard:

• Principe de prolongation : Le mappage * est l’identité sur R .
• Principe de transfert : Pour toute formule P ( X _d’abord , …, X _n ) avec quantification limitée et avec des variables libres X _d’abord , …, X _n , et pour tous les éléments UN _d’abord , …, UN _n de DANS ( R ) , l’équivalence suivante est soutenue:

${displayStyle p (a_ {1}, ldots, a_ {n}) iff p (* a_ {1}, ldots, * a_ {n})}$

• Saturation dénombrable : Si { UN _k } _{k ∈ N} est une séquence décroissante d’ensembles internes non vides, avec k allant sur les nombres naturels, alors

${displayStyle bigcap _ {k} a_ {k} neq videset}$

On peut montrer en utilisant des ultraproducts qu’il existe une telle carte *. Des éléments de DANS ( R ) sont appelés standard . Des éléments de * R sont appelés nombres hyperréaux.

Premières conséquences [ modifier ]]

Le symbole * N indique les nombres naturels non standard. Par le principe d’extension, il s’agit d’un superset de N . L’ensemble * N – N est non vide. Pour voir cela, appliquez une saturation dénombrable à la séquence des ensembles internes

${DisplayStyle a_ {7} = {kin {^ {*} mathbf {^ {*} mathbf {n}}:$

La séquence { UN _n } _{n ∈ N} a une intersection non vide, prouvant le résultat.

Nous commençons par quelques définitions: hyperréals r , s sont infiniment proche si et seulement si

${displayStyle rcong Siff forall theta in mathbf {r} ^ {+}, | r-s | leq theta}$

Un hyperréal r est infinitésimal Si et seulement s’il est infiniment proche de 0. Par exemple, si n est un hyperinteger, c’est-à-dire un élément de * N – N , alors d’abord/ n est un infinitésimal. Un hyperréal r est limité (ou fini ) Si et seulement si sa valeur absolue est dominée par (moins de) un entier standard. Les hyperréaux limités forment une sous-nage de * R contenant les réels. Dans cet anneau, les hyperréaux infinitésimaux sont un idéal.

L’ensemble des hyperréals limités ou l’ensemble des hyperréaux infinitésimaux sont externe sous-ensembles DANS (* R ) ; Cela signifie dans la pratique, c’est cette quantification limitée, où la limite est un ensemble interne, ne va jamais sur ces ensembles.

Exemple : L’avion ( X , et ) avec X et et allant * R est interne et est un modèle de géométrie euclidienne plane. L’avion avec X et et Limité à des valeurs limitées (analogue au plan DEHN) est externe et dans ce plan limité, le postulat parallèle est violé. Par exemple, toute ligne passant par le point (0, 1) sur le et -axis et avoir une pente infinitésimale est parallèle au X -axe.

Théorème. Pour tout hyperréal limité r il y a un vrai standard unique indiqué St( r ) infiniment proche de r . La cartographie St est un homomorphisme annulaire de l’anneau d’hyperréal limité à R .

Le mappage ST est également externe.

Une façon de penser la partie standard d’un hyperréal est en termes de coupes de Dedekind; Tout hyperréal limité s définit une coupe en considérant la paire d’ensembles ( L , DANS ) où L est l’ensemble des rationnels standard un moins que s et DANS est l’ensemble des rationnels standard b plus grand que s . Le nombre réel correspondant à ( L , DANS ) peut être vu pour satisfaire l’état d’être la partie standard de s .

Une caractérisation intuitive de la continuité est la suivante:

Théorème. Une fonction réelle F sur l’intervalle [ un , b ]] est continu si et seulement si pour chaque hyperréal X dans l’intervalle * [ un , b ]] , nous avons: * F ( X ) ≅ * F (St( X )) .

(Voir Microcontinuité pour plus de détails). De la même manière,

Théorème. Une fonction réelle F est différenciable à la valeur réelle X Si et seulement si pour chaque nombre hyperréal infinitésimal H , la valeur

${displayStyle f ‘(x) = opératorname {st} Left ({frac {{^ {*} f} (x + h) – {^ {*} f} (x)} {h}} droit)}$

existe et est indépendant de H . Dans ce cas F ′ ( X ) est un nombre réel et est le dérivé de F à X .

K -saturation [ modifier ]]

Il est possible d’améliorer la saturation en permettant à des collections de cardinalité plus élevée. Un modèle est K -Saturé si chaque fois

${displayStyle {a_ {i}} _ {iin i}}$

est une collection d’ensembles internes avec la propriété d’intersection finie et

${displayStyle | i | leq kappa}$

,

${displayStyle bigcap _ {iin i} a_ {i} neq videset}$

Ceci est utile, par exemple, dans un espace topologique X , où nous pouvons vouloir | 2 ^X | -Saturation pour s’assurer que l’intersection d’une base de quartier standard n’est pas vide. ^[24]

Pour tout cardinal K , un K -Les extensions saturées peuvent être construites. ^[25]

Voir également [ modifier ]]

Dès la lecture [ modifier ]]

Les références [ modifier ]]

Bibliographie [ modifier ]]

Liens externes [ modifier ]]