Quibenius Rigy – Wikipedia wiki

En mathématiques, en particulier la théorie des anneaux, la classe de Frobenius anneaux Et leurs généralisations sont l’extension du travail effectué sur les algèbres de Frobenius. La généralisation la plus importante est peut-être celle de rings quasi-frobenius (Anneaux QF), qui sont à leur tour généralisés par droit Pseudo-Fobenius anneaux (Anneaux PF) et à droite Pseudo-Fobenius anneaux (Anneaux FPF). D’autres généralisations diverses des anneaux quasi-Fobenus comprennent QF-1 , Qf-2 et QF-3 anneaux.

Ces types d’anneaux peuvent être considérés comme des descendants d’algèbres examinés par Georg Frobenius. Une liste partielle de pionniers dans les anneaux quasi-frobenius comprend R. Brauer, K. Morita, T. Nakayama, C. J. Nesbitt et R. M. Thrall.

Définitions [ modifier ]]

Un anneau R est quasi-frobenus si et seulement si R satisfait l’une des conditions équivalentes suivantes:

1. R est noethrien d’un côté et auto-injectif d’un côté.
2. R est artitin d’un côté et auto-injectif d’un côté.
3. Très bien (ou tout à gauche) R Les modules projectifs sont également injectifs.
4. Très bien (ou tout à gauche) R Les modules injectifs sont également projectifs.

UN Anneau Frobenius R est-on satisfaisant l’une des conditions équivalentes suivantes. Laisser J = J ( R ) être le radical Jacobson de R .

1. R est quasi-frobenius et la socle
   ${displayStyle Mathrm {SOC} (R_ {R}) Cong R / J}$

   en tant que droit R modules.

2. R Il quasi-frobenius et
   ${displayStyle Mathrm {SOC} (_ {r} r) Cong R / J}$

   à gauche R modules.

3. En tant que droit R modules
   ${displayStyle Mathrm {SOC} (R_ {R}) Cong R / J}$

   , et comme à gauche R modules

   ${displayStyle Mathrm {SOC} (_ {r} r) Cong R / J}$

   .

Pour une bague commutative R , les éléments suivants sont équivalents:

1. R est Frobenius
2. R C’est quasi-frobenius
3. R est une somme directe finie d’anneaux artitiniens locaux qui ont des idéaux minimaux uniques. (Ces anneaux sont des exemples de “anneaux locaux de Gorenstein zéro dimensionnel”.)

Un anneau R est Pseudo-Fobenius droit Si l’une des conditions équivalentes suivantes est remplie:

1. Chaque droit fidèle R Le module est un générateur pour la catégorie de droite R modules.
2. R est un bon auto-injectif et est un cogénérateur de mod- R .
3. R est droit auto-injectif et est finiment cogénéré comme droit R module.
4. R est une bonne injective et une bague kasch droite.
5. R est le bon auto-injectif, semi-local et le Socle Soc ( R _R ) est un sous-module essentiel de R .
6. R est un cogénérateur de mod- R et est un anneau kasch gauche.

Un anneau R est à droite pseudo-fobenius Si et seulement si chaque droit fidèle généré par fin R Le module est un générateur de mod- R .

Généralisations QF-1,2,3 de Thrall [ modifier ]]

Dans l’article séminal (Thrall 1948), R. M. Thrall s’est concentré sur trois propriétés spécifiques des algèbres QF (dimension finale) et les a étudiées de manière isolée. Avec des hypothèses supplémentaires, ces définitions peuvent également être utilisées pour généraliser les anneaux QF. Quelques autres mathématiciens pionniers de ces généralisations comprenaient K. Morita et H. Tachikawa.

Suivant (Anderson & Fuller 1992), laissez R Soyez un anneau artitin gauche ou droit:

• R est QF-1 si tous les modules de gauche fidèles et les modules droits fidèles sont des modules équilibrés.
• R est QF-2 si chaque module de droite projectif indécomposable et chaque module de gauche projectif indécomposable a un sous-module minimal unique. (C’est-à-dire qu’ils ont des socles simples.)
• R est qf-3 si les coques injectives e ( R _R ) et e ( _R R ) sont les deux modules projectifs.

Le schéma de numérotation ne décrit pas nécessairement une hiérarchie. Dans des conditions plus laxistes, ces trois classes d’anneaux peuvent ne pas contenir mutuellement. En supposant que R est gauche ou artitin droit cependant, les anneaux QF-2 sont QF-3. Il y a même un exemple de cycle QF-1 et QF-3 qui n’est pas QF-2.

Exemples [ modifier ]]

• Chaque Frobenius k L’algèbre est un anneau Frobenius.
• Chaque anneau semi-simple est quasi-fobenius, car tous les modules sont projectifs et injectifs. Cependant, plus encore est vrai: les anneaux semi-simples sont tous Fobenius. Ceci est facilement vérifié par la définition, car pour les anneaux semi-tissés
  ${displayStyle Mathrm {SOC} (r_ {r}) = mathrm {soc} (_ ​​{r} r) = r}$

  et J = Rad ( R ) = 0.

• L’anneau de quotient
  ${displayStyle Mathbb {z} / nmathbb {z}}$

  est QF pour tout entier positif n > 1.

• Les anneaux de série artitiniens commutatifs sont tous Fobenius, et ont en fait la propriété supplémentaire que chaque quotient ring R / / je est aussi Frobenius. Il s’avère que parmi les anneaux artitiniens commutatifs, les anneaux en série sont exactement les anneaux dont les quotients (non nuls) sont tous Fobenius.
• De nombreux anneaux exotiques PF et FPF peuvent être trouvés comme des exemples dans Faith & Page (1984)

Voir également [ modifier ]]

Les définitions de QF, PF et FPF sont facilement considérées comme des propriétés catégoriques, et elles sont donc préservées par l’équivalence de Morita, mais étant une bague Fobenius n’est pas conservé.

Pour les anneaux notetrians unilatéraux, les conditions de la PF gauche ou droite coïncident toutes deux avec QF, mais les anneaux FPF sont toujours distincts.

Une algèbre de dimension finie R sur un champ k est un frobenius k -algebra si et seulement si R est un anneau Frobenius.

Les anneaux QF ont la propriété que tous leurs modules peuvent être intégrés dans un R module. Cela peut être vu de la manière suivante. Un module M intégrer dans sa coque injective ET ( M ), qui est maintenant également projectif. En tant que module projectif, ET ( M ) est un résumé d’un module gratuit F , et ainsi ET ( M ) s’incline dans F avec la carte d’inclusion. En composant ces deux cartes, M est intégré dans F .

Manuels [ modifier ]]

• Anderson, Frank Wylie; Fuller, Kent R (1992), Anneaux et catégories de modules , Berlin, New York: Springler-Publinging, ISBN 978-0-387-97845-1
• Foi, Carl; Page, Stanley (1984), Théorie des anneaux FPF: modules fidèles et générateurs de mod- $ r $ , London Mathematical Society Lecture Note Series No. 88, Cambridge University Press, DOI: 10.1017 / cbo9780511721250 , Isbn 0-521-27738-8 , M 0754181
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Conférences sur les modules et les anneaux , Graduate Textes in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, DOI: 101007 / 978-1-4612-0525-8 , Isbn 978-0-387-98428-5 , M 1653294
• Nicholson, W. K.; Yousif, M. F. (2003), Rings quasi-frobenius , Cambridge University Press, ISBN 0-521-81593-2

Les références [ modifier ]]

Pour les anneaux QF-1, QF-2, QF-3:

• Morita, Kiiti (1958), “Sur les algèbres pour lesquelles chaque représentation fidèle est son propre deuxième commutateur”, Mathématiques. Z. , 69 : 429–434, doi: 10.1007 / BF01187420 , Issn 0025-5874
• Ringel, Claus Michael; Tachikawa, Hiroyuki (1974), “$ {rm qf} -3 $ anneaux”, J. Reine Angew. Mathématiques. , 272 : 49–72, ISSN 0075-4102
• Thrall, R.M. (1948), “Une généralisation des algèbres quasi-fobenius”, Trans. Amer. Mathématiques. Soc. , soixante-quatre : 173–183, doi: 10.1090 / s0002-9947-1948-0026048-0 , Issn 0002-9947