Potentiel H-stable – Wikipedia wiki

En mécanique statistique des systèmes continus, un potentiel pour un système à plusieurs corps est appelé H-stable (ou simplement écurie ) Si l’énergie potentielle par particule est bornée en dessous par une constante qui est indépendante du nombre total de particules. Dans de nombreuses circonstances, si un potentiel n’est pas stable en H, il n’est pas possible de définir une grande fonction de partition canonique en volume fini, en raison de configurations catastrophiques avec des particules infinies situées dans un espace fini.

Mécanique statistique classique [ modifier ]]

Définition [ modifier ]]

Considérez un système de particules en position

${displayStyle x_ {1}, x_ {2}, ldots dans r ^ {nu}}$

; le interaction ou potentiel entre une particule en position

${displayStyle x_ {i}}$

et une particule en position

${displayStyle x_ {j}}$

est

${DisplayStyle phi (x_ {i} -x_ {j}),}$

où

${Displaystyle phi (x)}$

est une fonction réelle, même (peut-être illimitée). Alors

${Displaystyle phi (x)}$

est H-stable s’il existe

${displaystyle b> 0}$

${displaystyle ngeq 1}$

et n’importe quel

${displayStyle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n} dans r ^ {nu}}$

,

${displayStyle v_ {n} (x_ {1}, x_ {2}, ldots x_ {n}): = sum _ {i$

Applications [ modifier ]]

• Si
  ${displaystyle phi (0)$

  Et, pour chaque

  ${displaystyle ngeq 1}$

  et chaque

  ${displayStyle x_ {1}, x_ {2}, ldots x_ {n} dans r ^ {nu}}$

  , ça tiens

${DisplayStyle sum _ {i, j = 1} ^ {n} phi (x_ {i} -x_ {j}) geq 0}$

puis le potentiel

${Displaystyle phi (x)}$

est stable (avec la constante

${displaystyle b}$

donné par

${DisplayStyle {frac {phi (0)} {2}}}$

). Cette condition s’applique par exemple aux potentiels qui sont: a) des fonctions positives; b) fonctions de définition positive.

• Si le potentiel
  ${Displaystyle phi (x)}$

  est stable, alors, pour tout domaine borné

  ${displaystyle lambda}$

  , n’importe quel

  ${DisplayStyle Beta> 0}$

  

  ${displaystyle z> 0}$

  

  ${displaystyle sum _ {ngeq 1} {frac {z ^ {n}} {n!}} int _ {lambda ^ {n}}! dx_ {1} cdots dx_ {n}; exp [-beta v_ {n} (x_ {1}, x_ {2}, ldots x_ {n})]}$

  

  est convergent. En fait, pour les potentiels limités et-semi-continues, l’hypothèse est non seulement suffisante, mais aussi nécessaire!

  ${displayStyle xi (beta, z, lambda): = 1 + sum _ {ngeq 1} {frac {z ^ {n}} {n!}} int _ {Lambda ^ {n}}! Dx_ {1} CDOTs dx_ {n}; exp [-beta v_ {n} (x_ {1}, x_ {2}, ldots x_ {n})]}$

  

  Par conséquent, la stabilité H est une condition suffisante pour que la fonction de partition existe en volume fini .

  • La stabilité H n’implique pas l’existence du volume infini pression. Par exemple, dans un système Coulomb (en dimension trois), le potentiel est

  ${DisplayStyle phi (x) = {frac {1} {4pi | x |}}}}$

  

  Et, si les charges de toutes les particules sont égales, alors l’énergie potentielle est

  ${displayStyle v_ {n} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = sum _ {i$

  

  Et le système est stable avec H avec

  ${displayStyle b = 0}$

  ; Mais la limite thermodynamique n’existe pas, car le potentiel n’est pas tempéré.

  • Si le potentiel n’est pas limité, la stabilité H n’est pas une condition nécessaire à l’existence de la grande fonction de partition canonique en volume fini. Par exemple, dans le cas de l’interaction Yukawa en deux dimensions,

  ${DisplayStyle phi (x) sim – {frac {1} {2pi}} ln {m | x |$

  

  Si les particules peuvent avoir des charges avec différents signes, l’énergie potentielle est

  ${affichestyle h_ {n} ({sous-licenciement {q}}, {sous$

  

  où

  ${displayStyle q_ {j}}$

  est la charge de la particule

  ${displaystyle j}$

  .

  ${displayStyle h_ {n} ({sous-licenciement {q}}, {sous-licenciement {x}})}$

  dans non délimité par le bas: par exemple, quand

  ${displayStyle n = 2}$

  et

  ${displayStyle q_ {1} q_ {2} = 1}$

  , les deux potentiels corporels ont un intime

  ${DisplayStyle inf _ {x_ {1}, x_ {2}}} (x_ {1} -x_ {2}) = -infty}$

  

  Pourtant, Frohlich ^[d’abord] prouvé l’existence de la limite de thermodynamique pour

  ${DisplayStyle Beta <4pi}$

  .

  Mécanique statistique quantique [ modifier ]]

  La notion de stabilité H en mécanique quantique est plus subtile.
  Bien que dans le cas classique, la partie cinétique de l’hamiltonien n’est pas importante car elle peut être nulle indépendamment de la position des particules, dans le cas quantique, le terme cinétique joue un rôle important dans la limite inférieure de l’énergie totale en raison de l’incertitude principe. (En fait, la stabilité de la matière était la raison historique de l’introduction d’un tel principe en mécanique.)
  La définition de la stabilité est:

  ${displayStyle existe b: {frac {e_ {0}} {n}}> – b ,,}$

  Les références [ modifier ]]