[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/analyse-non-standard-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/analyse-non-standard-wikipedia\/","headline":"Analyse non standard – Wikipedia wiki","name":"Analyse non standard – Wikipedia wiki","description":"before-content-x4 Calcul en utilisant une notion logiquement rigoureuse de nombres infinit\u00e9simaux after-content-x4 L’histoire du calcul est lourde de d\u00e9bats philosophiques","datePublished":"2017-12-25","dateModified":"2017-12-25","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/c9645c498c9701c88b89b8537773dd7c?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/c9645c498c9701c88b89b8537773dd7c?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/c\/ce\/Gottfried_Wilhelm_Leibniz%2C_Bernhard_Christoph_Francke.jpg\/220px-Gottfried_Wilhelm_Leibniz%2C_Bernhard_Christoph_Francke.jpg","url":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/c\/ce\/Gottfried_Wilhelm_Leibniz%2C_Bernhard_Christoph_Francke.jpg\/220px-Gottfried_Wilhelm_Leibniz%2C_Bernhard_Christoph_Francke.jpg","height":"272","width":"220"},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/analyse-non-standard-wikipedia\/","wordCount":12478,"articleBody":" (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4Calcul en utilisant une notion logiquement rigoureuse de nombres infinit\u00e9simaux (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4L’histoire du calcul est lourde de d\u00e9bats philosophiques sur la signification et la validit\u00e9 logique des fluxions ou des nombres infinit\u00e9simaux. Le moyen standard de r\u00e9soudre ces d\u00e9bats est de d\u00e9finir les op\u00e9rations du calcul en utilisant les proc\u00e9dures d’Epsilon – lelta plut\u00f4t que d’infinisisimals. Analyse non standard [d’abord] [2] [3] reformule le calcul en utilisant une notion logiquement rigoureuse de nombres infinit\u00e9simaux. Une analyse non standard est n\u00e9e au d\u00e9but des ann\u00e9es 1960 par le math\u00e9maticien Abraham Robinson. [4] [5] Il a \u00e9crit: … l’id\u00e9e d’infiniment petit ou infinit\u00e9simal Les quantit\u00e9s semblent faire appel naturellement \u00e0 notre intuition. En tout cas, l’utilisation des infinit\u00e9simaux \u00e9tait r\u00e9pandue pendant les \u00e9tapes formatrices du calcul diff\u00e9rentiel et int\u00e9gral. Quant \u00e0 l’objection … que la distance entre deux nombres r\u00e9els distincts ne peut pas \u00eatre infiniment petit, Gottfried Wilhelm Leibniz a fait valoir que la th\u00e9orie des infinit\u00e9simaux implique l’introduction de nombres id\u00e9aux qui pourraient \u00eatre infiniment petits ou infiniment grands par rapport aux nombres r\u00e9els mais qui qui \u00e9taient poss\u00e9der les m\u00eames propri\u00e9t\u00e9s que ce dernier. Robinson a fait valoir que cette loi de continuit\u00e9 de celle de Leibniz est un pr\u00e9curseur du principe de transfert. Robinson a continu\u00e9: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Cependant, ni lui ni ses disciples et successeurs n’ont pu donner un d\u00e9veloppement rationnel menant \u00e0 un syst\u00e8me de ce genre. En cons\u00e9quence, la th\u00e9orie des infinit\u00e9simaux s’est progressivement d\u00e9nonc\u00e9e et a finalement \u00e9t\u00e9 remplac\u00e9e par la th\u00e9orie classique des limites. [6] Robinson continue: … Les id\u00e9es de Leibniz peuvent \u00eatre pleinement justifi\u00e9es et … elles conduisent \u00e0 une approche nouvelle et fructueuse de l’analyse classique et \u00e0 de nombreuses autres branches de math\u00e9matiques. La cl\u00e9 de notre m\u00e9thode est fournie par l’analyse d\u00e9taill\u00e9e de la relation entre les langues math\u00e9matiques et les structures math\u00e9matiques qui se trouvent au bas de la th\u00e9orie du mod\u00e8le contemporain. En 1973, l’intuitionniste Arend Heyting a f\u00e9licit\u00e9 une analyse non standard comme “un mod\u00e8le standard de recherche math\u00e9matique importante”. [7] Table of Contents (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Introduction [ modifier ]] D\u00e9finitions basiques [ modifier ]] Motivation [ modifier ]] Historique [ modifier ]] P\u00e9dagogique [ modifier ]] Technique [ modifier ]] Approches de l’analyse non standard [ modifier ]] Livre de Robinson [ modifier ]] Probl\u00e8me de sous-espace invariant [ modifier ]] Autres applications [ modifier ]] Applications au calcul [ modifier ]] La critique [ modifier ]] Cadre logique [ modifier ]] Ensembles internes [ modifier ]] Premi\u00e8res cons\u00e9quences [ modifier ]] K -saturation [ modifier ]] Voir \u00e9galement [ modifier ]] D\u00e8s la lecture [ modifier ]] Les r\u00e9f\u00e9rences [ modifier ]] Bibliographie [ modifier ]] Liens externes [ modifier ]] Introduction [ modifier ]] Un \u00e9l\u00e9ment non nul d’un champ ordonn\u00e9 F {displaystyle mathbb {f}} est infinit\u00e9simal si et seulement si sa valeur absolue est plus petite que n’importe quel \u00e9l\u00e9ment de F {displaystyle mathbb {f}} de la forme d’abord n {displayStyle {frac {1} {n}}} , pour n {displaystyle n} un nombre naturel standard. Les champs ordonn\u00e9s qui ont des \u00e9l\u00e9ments infinit\u00e9simaux sont \u00e9galement appel\u00e9s non-archimediens. Plus g\u00e9n\u00e9ralement, l’analyse non standard est toute forme de math\u00e9matiques qui repose sur des mod\u00e8les non standard et le principe de transfert. Un champ qui satisfait le principe de transfert pour les nombres r\u00e9els est appel\u00e9 un vrai champ ferm\u00e9, et une analyse r\u00e9elle non standard utilise ces champs comme mod\u00e8les non standard des nombres r\u00e9els. L’approche originale de Robinson \u00e9tait bas\u00e9e sur ces mod\u00e8les non standard du domaine des nombres r\u00e9els. Son livre fondamental classique sur le sujet Analyse non standard a \u00e9t\u00e9 publi\u00e9 en 1966 et est toujours imprim\u00e9. [8] \u00c0 la page 88, Robinson \u00e9crit: L’existence de mod\u00e8les non standard de l’arithm\u00e9tique a \u00e9t\u00e9 d\u00e9couverte par Thoralf Skolem (1934). La m\u00e9thode de Skolem pr\u00e9figure la construction ultrapower […] Plusieurs probl\u00e8mes techniques doivent \u00eatre r\u00e9solus pour d\u00e9velopper un calcul d’infinisisimals. Par exemple, il ne suffit pas de construire un champ ordonn\u00e9 avec des infinit\u00e9simaux. Voir l’article sur les nombres hyperr\u00e9aux pour une discussion sur certaines des id\u00e9es pertinentes. D\u00e9finitions basiques [ modifier ]] Dans cette section, nous d\u00e9crivons l’une des approches les plus simples pour d\u00e9finir un champ hyperr\u00e9al \u2217R {displayStyle ^ {*} mathbb {r}} . Laisser R {displayStyle Mathbb {r}} \u00eatre le domaine des nombres r\u00e9els et laisser N {displaystyle mathbb {N} } \u00eatre le semiring des nombres naturels. Indiquer R N{displayStyle Mathbb {r} ^ {Mathbb {n}}} L’ensemble de s\u00e9quences de nombres r\u00e9els. Un champ \u2217R {displayStyle ^ {*} mathbb {r}} est d\u00e9fini comme un quotient appropri\u00e9 de R N{displayStyle Mathbb {r} ^ {Mathbb {n}}} , comme suit. Prendre un ultrafiltre non praticien F \u2286 P ( N ) {displayStyle fSubSeteq p (mathbb {n})} . En particulier, F {displaystyle f} Contient le filtre Fr\u00e9chet. Consid\u00e9rez une paire de s\u00e9quences dans = ( dans n) , dans = ( dans n) \u2208 RN{DisplayStyle u = (u_ {n}), v = (v_ {n}) dans mathbb {r} ^ {mathbb {n}}}} Nous disons que dans {displaystyle u} et dans {DisplayStyle V} sont \u00e9quivalents s’ils co\u00efncident sur un ensemble d’indices qui est membre de l’ultrafilter, ou en formules: { n \u2208 N : dans n= dans n} \u2208 F {DisplayStyle {nin mathbb {n}: u_ {n} = v_ {n}} dans f} Le quotient de R N{displayStyle Mathbb {r} ^ {Mathbb {n}}} par la relation d’\u00e9quivalence qui en r\u00e9sulte est un champ hyperr\u00e9al \u2217R {displayStyle ^ {*} mathbb {r}} , une situation r\u00e9sum\u00e9 par la formule \u2217R = RN\/ \/ F {displayStyle ^ {*} mathbb {r} = {mathbb {r} ^ {mathbb {n}}} \/ {f}} . Motivation [ modifier ]] Il y a au moins trois raisons de consid\u00e9rer l’analyse non standard: historique, p\u00e9dagogique et technique. Historique [ modifier ]] Une grande partie du premier d\u00e9veloppement du calcul infinit\u00e9simal par Newton et Leibniz a \u00e9t\u00e9 formul\u00e9 \u00e0 l’aide d’expressions telles que num\u00e9ro infinit\u00e9simal et Quantit\u00e9 de disparition . Comme indiqu\u00e9 dans l’article sur les nombres hyperr\u00e9aux, ces formulations ont \u00e9t\u00e9 largement critiqu\u00e9es par George Berkeley et autres. Le d\u00e9fi de d\u00e9velopper une th\u00e9orie coh\u00e9rente et satisfaisante de l’analyse en utilisant des infinit\u00e9simaux a \u00e9t\u00e9 rencontr\u00e9e pour la premi\u00e8re fois par Abraham Robinson. [6] En 1958, Curt Forge et Detlef Laugwitz ont publi\u00e9 l’article “Une expansion du calcul infinit\u00e9simal” [9] (“Une extension du calcul infinit\u00e9simal”) qui a propos\u00e9 une construction d’un anneau contenant des infinit\u00e9simaux. L’anneau a \u00e9t\u00e9 construit \u00e0 partir de s\u00e9quences de nombres r\u00e9els. Deux s\u00e9quences ont \u00e9t\u00e9 consid\u00e9r\u00e9es comme \u00e9quivalentes si elles ne diff\u00e9raient que par un nombre fini d’\u00e9l\u00e9ments. Les op\u00e9rations arithm\u00e9tiques \u00e9taient d\u00e9finies \u00e9l\u00e9mentaires. Cependant, l’anneau construit de cette mani\u00e8re contient z\u00e9ro diviseurs et ne peut donc pas \u00eatre un champ. P\u00e9dagogique [ modifier ]] H. Jerome Keisler, David Tall et d’autres \u00e9ducateurs soutiennent que l’utilisation des infinit\u00e9simaux est plus intuitive et plus facilement saisie par les \u00e9tudiants que l’approche “Epsilon – Delta” des concepts analytiques. [dix] Cette approche peut parfois fournir des preuves plus faciles de r\u00e9sultats que la formulation d’Epsilon – Delta correspondante de la preuve. Une grande partie de la simplification vient de l’application de r\u00e8gles tr\u00e8s faciles d’arithm\u00e9tique non standard, comme suit: infinit\u00e9simal \u00d7 fini = infinit\u00e9simal infinit\u00e9simal + infinit\u00e9simal = infinit\u00e9simal avec le principe de transfert mentionn\u00e9 ci-dessous. Une autre application p\u00e9dagogique de l’analyse non standard est le traitement par Edward Nelson de la th\u00e9orie des processus stochastiques. [11] Technique [ modifier ]] Certains travaux r\u00e9cents ont \u00e9t\u00e9 effectu\u00e9s dans l’analyse en utilisant des concepts de l’analyse non standard, en particulier dans l’\u00e9tude des processus limitants des statistiques et de la physique math\u00e9matique. Sergio Albeverio et al. [douzi\u00e8me] Discutez de certaines de ces applications. Approches de l’analyse non standard [ modifier ]] Il existe deux principales approches diff\u00e9rentes de l’analyse non standard: l’approche s\u00e9mantique ou th\u00e9orique et l’approche syntaxique. Ces deux approches s’appliquent \u00e0 d’autres domaines de math\u00e9matiques au-del\u00e0 de l’analyse, notamment la th\u00e9orie des nombres, l’alg\u00e8bre et la topologie. La formulation originale de Robinson de l’analyse non standard entre dans la cat\u00e9gorie du approche s\u00e9mantique . Comme d\u00e9velopp\u00e9 par lui dans ses articles, il est bas\u00e9 sur l’\u00e9tude de mod\u00e8les (en particulier les mod\u00e8les satur\u00e9s) d’une th\u00e9orie. Depuis que le travail de Robinson est apparu pour la premi\u00e8re fois, une approche s\u00e9mantique plus simple (en raison d’Elias Zakon) a \u00e9t\u00e9 d\u00e9velopp\u00e9e \u00e0 l’aide d’objets th\u00e9oriques purement d\u00e9finis appel\u00e9s superstructures. Dans cette approche Un mod\u00e8le d’une th\u00e9orie est remplac\u00e9 par un objet appel\u00e9 un superstructure DANS ( S ) sur un ensemble S . \u00c0 partir d’une superstructure DANS ( S ) L’un construit un autre objet * DANS ( S ) Utilisation de la construction ultrapower avec une cartographie DANS ( S ) \u2192 * DANS ( S ) qui satisfait le principe de transfert. La carte * relie les propri\u00e9t\u00e9s formelles de DANS ( S ) et * DANS ( S ) . De plus, il est possible de consid\u00e9rer une forme plus simple de saturation appel\u00e9e saturation d\u00e9nombrable. Cette approche simplifi\u00e9e convient \u00e9galement \u00e0 une utilisation par des math\u00e9maticiens qui ne sont pas des sp\u00e9cialistes de la th\u00e9orie des mod\u00e8les ou de la logique. Le approche syntaxique n\u00e9cessite beaucoup moins de logique et de th\u00e9orie du mod\u00e8le pour comprendre et utiliser. Cette approche a \u00e9t\u00e9 d\u00e9velopp\u00e9e au milieu des ann\u00e9es 1970 par le math\u00e9maticien Edward Nelson. Nelson a introduit une formulation enti\u00e8rement axiomatique de l’analyse non standard qu’il a appel\u00e9 la th\u00e9orie des ensembles internes (IST). [13] IST est une extension de la th\u00e9orie des ensembles de Zermelo – Fraenkel (ZF) dans les c\u00f4t\u00e9s de la relation de base de l’adh\u00e9sion binaire \u2208, il introduit un nouveau pr\u00e9dicat unaire standard , qui peut \u00eatre appliqu\u00e9 aux \u00e9l\u00e9ments de l’univers math\u00e9matique avec certains axiomes pour raisonner avec ce nouveau pr\u00e9dicat. L’analyse syntaxique non standard n\u00e9cessite beaucoup de soins dans l’application du principe de la formation d’ensembles (officiellement connue sous le nom de l’axiome de la compr\u00e9hension), que les math\u00e9maticiens tiennent g\u00e9n\u00e9ralement pour acquis. Comme le souligne Nelson, une erreur de raisonnement dans IST est celle de Formation des ensembles ill\u00e9gaux . Par exemple, il n’y a aucun ensemble dans ist dont les \u00e9l\u00e9ments sont pr\u00e9cis\u00e9ment les entiers standard (ici standard est compris dans le sens du nouveau pr\u00e9dicat). Pour \u00e9viter la formation de l’ensemble ill\u00e9gal, il ne faut utiliser que des pr\u00e9dicats de ZFC pour d\u00e9finir des sous-ensembles. [13] Un autre exemple de l’approche syntaxique est la th\u00e9orie des ensembles alternatifs [14] Introduit par Petr Vop\u011bnka, essayant de trouver des axiomes de th\u00e9orie d\u00e9finie plus compatibles avec l’analyse non standard que les axiomes de ZF. Livre de Robinson [ modifier ]] Livre d’Abraham Robinson Analyse non standard a \u00e9t\u00e9 publi\u00e9 en 1966. Certains des sujets d\u00e9velopp\u00e9s dans le livre \u00e9taient d\u00e9j\u00e0 pr\u00e9sents dans son article de 1961 par le m\u00eame titre (Robinson 1961). [15] En plus de contenir le premier traitement complet de l’analyse non standard, le livre contient une section historique d\u00e9taill\u00e9e o\u00f9 Robinson remet en question certaines des opinions re\u00e7ues sur l’histoire des math\u00e9matiques bas\u00e9es sur la perception de l’analyse pr\u00e9-standard des infinit\u00e9simaux en tant qu’entit\u00e9s incoh\u00e9rentes. Ainsi, Robinson remet en question l’id\u00e9e que le “Th\u00e9or\u00e8me de la somme” d’Augustin-Louis Cauchy dans les cours d’analyser concernant la convergence d’une s\u00e9rie de fonctions continues \u00e9tait incorrecte et propose une interpr\u00e9tation infinit\u00e9simale de son hypoth\u00e8se qui se traduit par un th\u00e9or\u00e8me correct. Probl\u00e8me de sous-espace invariant [ modifier ]] Abraham Robinson et Allen Bernstein ont utilis\u00e9 une analyse non standard pour prouver que chaque op\u00e9rateur lin\u00e9aire polynomialement compact sur un espace Hilbert a un sous-espace invariant. [16] \u00c9tant donn\u00e9 un op\u00e9rateur T Sur l’espace Hilbert H , consid\u00e9rez l’orbite d’un point dans dans H sous les it\u00e9r\u00e9s de T . L’application de Gram – Schmidt One obtient une base orthonormale ( C’est je ) pour H . Laisser ( H je ) \u00eatre la s\u00e9quence imbriqu\u00e9e correspondante de sous-espaces “coordonn\u00e9s” H . La matrice un I, J exprimant T en ce qui concerne ( C’est je ) est presque sup\u00e9rieur triangulaire, dans le sens o\u00f9 les coefficients un je +1, je sont les seuls coefficients sous-diagonaux non nuls. Bernstein et Robinson montrent que si T est polynomialement compact, alors il y a un indice hyperfinite Dans tel que le coefficient de matrice un Dans +1, Dans est infinit\u00e9simal. Ensuite, consid\u00e9rez le sous-espace H Dans de * H . Si et dans H Dans a une norme finie, alors T ( et ) est infiniment proche de H Dans . Maintenant, laisse T Dans \u00eatre l’op\u00e9rateur P Dans \u2218 T {displayStyle p_ {w} circ T} agissant sur H Dans , o\u00f9 P Dans La projection orthogonale est-elle de H Dans . Indiquer q le polyn\u00f4me tel que q ( T ) est compact. Le sous-espace H Dans est interne de la dimension hyperfinite. En transf\u00e9rant la triangularisation sup\u00e9rieure des op\u00e9rateurs de l’espace vectoriel complexe de dimension finie, il existe une base interne de l’espace Hilbert orthonormal ( C’est k ) pour H Dans o\u00f9 k Court de d’abord pour Dans , tel que chacun des k – sous-espaces dimensionnels ET k est T -Invariant. Indiquer Pi k la projection au sous-espace ET k . Pour un vecteur non nulle X de norme finie dans H , on peut supposer que q ( T ) ( X ) est non z\u00e9ro, ou | q ( T ) ( X ) | > 1 Pour r\u00e9parer les id\u00e9es. Depuis q ( T ) est un op\u00e9rateur compact, ( q ( T Dans )) ( X ) est infiniment proche de q ( T ) ( X ) et donc on a aussi | q ( T Dans ) ( X ) | > 1 . Maintenant, laisse J \u00eatre le plus grand index tel que | q ( T Dans ) ( \u03a0j( X ) ) | < 12{displayStyle | q (t_ {w}) gauche (pi _ {j} (x) droit) | ( DANS n( S ) ) , {DisplayStyle v_ {n + 1} (s) = v_ {n} (s) cup wp (v_ {n} (s)),} DANS ( S ) = \u22c3 n\u2208NDANS n( S ) . m Discutez de ce Yleple Puxt () = Pabbook Ainsi la superstructure sur S est obtenu en commen\u00e7ant par S et it\u00e9rer le fonctionnement de la cargaison de puissance S et prendre l’union de la s\u00e9quence r\u00e9sultante. La superstructure sur les nombres r\u00e9els comprend une multitude de structures math\u00e9matiques: par exemple, il contient des copies isomorphes de tous les espaces m\u00e9triques s\u00e9parables et des espaces vectoriels topologiques m\u00e9trichables. Pratiquement toutes les math\u00e9matiques qui int\u00e9ressent un analyste DANS ( R ) . La vue de travail de l’analyse non standard est un ensemble * R Et une cartographie *: DANS ( R ) \u2192 DANS (* R ) qui satisfait certaines propri\u00e9t\u00e9s suppl\u00e9mentaires. Pour formuler ces principes, nous \u00e9non\u00e7ons d’abord certaines d\u00e9finitions. Une formule a quantification d\u00e9limit\u00e9e Si et seulement si les seuls quantificateurs qui se produisent dans la formule ont une plage restreinte sur les ensembles, c’est-\u00e0-dire que la forme: \u2200 X \u2208 UN , Phi ( X , un 1, … , un n) {displayStyle pour toute xin a, phi (x, alpha _ {1}, ldots, alpha _ {n})} \u2203 X \u2208 UN , Phi ( X , un 1, … , un n) {DisplayStyle existe xin a, phi (x, alpha _ {1}, ldots, alpha _ {n})} Par exemple, la formule \u2200 X \u2208 UN , \u2203 et \u2208 2 B, X \u2208 et {displaystyle pour toute xin a, existe yin 2 ^ {b}, quad xin y} a bord\u00e9 la quantification, la variable universellement quantifi\u00e9e X s’\u00e9chapper UN , la variable quantifi\u00e9e existentiellement et s’\u00e9tend sur la puissance de B . D’autre part, \u2200 X \u2208 UN , \u2203 et , X \u2208 et {displaystyle pour toute xin a, existe y, quad xin y} n’a pas de quantification d\u00e9limit\u00e9e car la quantification de et est sans restriction. Ensembles internes [ modifier ]] Un ensemble X est interne si et seulement si X est un \u00e9l\u00e9ment de * UN pour certains \u00e9l\u00e9ments UN de DANS ( R ) . * UN lui-m\u00eame est interne si UN appartient \u00e0 DANS ( R ) . Nous formulons maintenant le cadre logique de base de l’analyse non standard: Principe de prolongation : Le mappage * est l’identit\u00e9 sur R . Principe de transfert : Pour toute formule P ( X d’abord , …, X n ) avec quantification limit\u00e9e et avec des variables libres X d’abord , …, X n , et pour tous les \u00e9l\u00e9ments UN d’abord , …, UN n de DANS ( R ) , l’\u00e9quivalence suivante est soutenue: P(A1,\u2026,An)\u27faP(\u2217A1,\u2026,\u2217An){displayStyle p (a_ {1}, ldots, a_ {n}) iff p (* a_ {1}, ldots, * a_ {n})} Saturation d\u00e9nombrable : Si { UN k } k \u2208 N est une s\u00e9quence d\u00e9croissante d’ensembles internes non vides, avec k allant sur les nombres naturels, alors \u22c2kAk\u2260\u2205{displayStyle bigcap _ {k} a_ {k} neq videset} On peut montrer en utilisant des ultraproducts qu’il existe une telle carte *. Des \u00e9l\u00e9ments de DANS ( R ) sont appel\u00e9s standard . Des \u00e9l\u00e9ments de * R sont appel\u00e9s nombres hyperr\u00e9aux. Premi\u00e8res cons\u00e9quences [ modifier ]] Le symbole * N indique les nombres naturels non standard. Par le principe d’extension, il s’agit d’un superset de N . L’ensemble * N – N est non vide. Pour voir cela, appliquez une saturation d\u00e9nombrable \u00e0 la s\u00e9quence des ensembles internes UN n= { k \u2208 \u2217N: k \u2265 n } {DisplayStyle a_ {7} = {kin {^ {*} mathbf {^ {*} mathbf {n}}: La s\u00e9quence { UN n } n \u2208 N a une intersection non vide, prouvant le r\u00e9sultat. Nous commen\u00e7ons par quelques d\u00e9finitions: hyperr\u00e9als r , s sont infiniment proche si et seulement si r \u2245 s \u27fa \u2200 e \u2208 R+, | r – s | \u2264 e {displayStyle rcong Siff forall theta in mathbf {r} ^ {+}, | r-s | leq theta} Un hyperr\u00e9al r est infinit\u00e9simal Si et seulement s’il est infiniment proche de 0. Par exemple, si n est un hyperinteger, c’est-\u00e0-dire un \u00e9l\u00e9ment de * N – N , alors d’abord\/ n est un infinit\u00e9simal. Un hyperr\u00e9al r est limit\u00e9 (ou fini ) Si et seulement si sa valeur absolue est domin\u00e9e par (moins de) un entier standard. Les hyperr\u00e9aux limit\u00e9s forment une sous-nage de * R contenant les r\u00e9els. Dans cet anneau, les hyperr\u00e9aux infinit\u00e9simaux sont un id\u00e9al. L’ensemble des hyperr\u00e9als limit\u00e9s ou l’ensemble des hyperr\u00e9aux infinit\u00e9simaux sont externe sous-ensembles DANS (* R ) ; Cela signifie dans la pratique, c’est cette quantification limit\u00e9e, o\u00f9 la limite est un ensemble interne, ne va jamais sur ces ensembles. Exemple : L’avion ( X , et ) avec X et et allant * R est interne et est un mod\u00e8le de g\u00e9om\u00e9trie euclidienne plane. L’avion avec X et et Limit\u00e9 \u00e0 des valeurs limit\u00e9es (analogue au plan DEHN) est externe et dans ce plan limit\u00e9, le postulat parall\u00e8le est viol\u00e9. Par exemple, toute ligne passant par le point (0, 1) sur le et -axis et avoir une pente infinit\u00e9simale est parall\u00e8le au X -axe. Th\u00e9or\u00e8me. Pour tout hyperr\u00e9al limit\u00e9 r il y a un vrai standard unique indiqu\u00e9 St( r ) infiniment proche de r . La cartographie St est un homomorphisme annulaire de l’anneau d’hyperr\u00e9al limit\u00e9 \u00e0 R . Le mappage ST est \u00e9galement externe. Une fa\u00e7on de penser la partie standard d’un hyperr\u00e9al est en termes de coupes de Dedekind; Tout hyperr\u00e9al limit\u00e9 s d\u00e9finit une coupe en consid\u00e9rant la paire d’ensembles ( L , DANS ) o\u00f9 L est l’ensemble des rationnels standard un moins que s et DANS est l’ensemble des rationnels standard b plus grand que s . Le nombre r\u00e9el correspondant \u00e0 ( L , DANS ) peut \u00eatre vu pour satisfaire l’\u00e9tat d’\u00eatre la partie standard de s . Une caract\u00e9risation intuitive de la continuit\u00e9 est la suivante: Th\u00e9or\u00e8me. Une fonction r\u00e9elle F sur l’intervalle [ un , b ]] est continu si et seulement si pour chaque hyperr\u00e9al X dans l’intervalle * [ un , b ]] , nous avons: * F ( X ) \u2245 * F (St( X )) . (Voir Microcontinuit\u00e9 pour plus de d\u00e9tails). De la m\u00eame mani\u00e8re, Th\u00e9or\u00e8me. Une fonction r\u00e9elle F est diff\u00e9renciable \u00e0 la valeur r\u00e9elle X Si et seulement si pour chaque nombre hyperr\u00e9al infinit\u00e9simal H , la valeur F \u2032 ( X ) = St \u2061 ( \u2217f(x+h)\u2212\u2217f(x)h) {displayStyle f ‘(x) = op\u00e9ratorname {st} Left ({frac {{^ {*} f} (x + h) – {^ {*} f} (x)} {h}} droit)} existe et est ind\u00e9pendant de H . Dans ce cas F \u2032 ( X ) est un nombre r\u00e9el et est le d\u00e9riv\u00e9 de F \u00e0 X . K -saturation [ modifier ]] Il est possible d’am\u00e9liorer la saturation en permettant \u00e0 des collections de cardinalit\u00e9 plus \u00e9lev\u00e9e. Un mod\u00e8le est K -Satur\u00e9 si chaque fois { UN je } je \u2208 je {displayStyle {a_ {i}} _ {iin i}} est une collection d’ensembles internes avec la propri\u00e9t\u00e9 d’intersection finie et | je | \u2264 K {displayStyle | i | leq kappa} , \u22c2i\u2208IAi\u2260\u2205{displayStyle bigcap _ {iin i} a_ {i} neq videset} Ceci est utile, par exemple, dans un espace topologique X , o\u00f9 nous pouvons vouloir | 2 X | -Saturation pour s’assurer que l’intersection d’une base de quartier standard n’est pas vide. [24] Pour tout cardinal K , un K -Les extensions satur\u00e9es peuvent \u00eatre construites. [25] Voir \u00e9galement [ modifier ]] D\u00e8s la lecture [ modifier ]] Les r\u00e9f\u00e9rences [ modifier ]] ^ Analyse non standard dans la pratique. \u00c9dit\u00e9 par Francine Diener, Marc Diener. Springer, 1995. ^ Analyse non standard, axiomatiquement. Par V. Vladimir Grigorevich Kanovei, Michael Reeken. 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