Analyse Procrustes – Wikipedia wiki

Technique d’analyse de la forme statistique

Superposition de Procrustes. La figure montre les trois étapes de transformation d’un Procrustes ordinaire ajusté pour deux configurations de points de repère. (a) Mise à l’échelle des deux configurations à la même taille; (b) transposition à la même position du centre de gravité; (c) Rotation à l’orientation qui fournit la somme minimale des distances carrés entre les repères correspondants.

En statistiques, Analyse Procrustes est une forme d’analyse de forme statistique utilisée pour analyser la distribution d’un ensemble de formes. Le nom Proclusion (Grec: Prochaume ) fait référence à un bandit de la mythologie grecque qui a fait en sorte que ses victimes s’adaptent à son lit en étirant les membres ou en les coupant.

En mathématiques:

• Un problème de procrustes orthogonal est une méthode qui peut être utilisée pour découvrir l’optimal rotation et / ou réflexion (c’est-à-dire la transformation linéaire orthogonale optimale) pour la superposition Procrustes (PS) d’un objet par rapport à un autre.
• Un problème de procrustes orthogonal contraint, sous réserve de DET ( R ) = 1 (où R est une matrice de rotation), est une méthode qui peut être utilisée pour déterminer l’optimal rotation pour le PS d’un objet par rapport à un autre (la réflexion n’est pas autorisée). Dans certains contextes, cette méthode est appelée l’algorithme Kabsch.

Lorsqu’une forme est comparée à un autre ou qu’un ensemble de formes est comparé à une forme de référence sélectionnée arbitrairement, l’analyse de Procrustes est parfois qualifiée en tant que classique ou ordinaire , par opposition à Analyse généralisée de Procrustes (GPA), qui compare trois formes ou plus à une “forme moyenne” déterminée de manière optimale.

Introduction [ modifier ]]

Pour comparer les formes de deux ou plusieurs objets, les objets doivent d’abord être «superposés» de manière optimale. Superposition de Procrustes (PS) est effectué en traduisant de manière optimale, rotatif et à l’échelle uniformément des objets. En d’autres termes, le placement dans l’espace et la taille des objets sont librement ajustés. L’objectif est d’obtenir un placement et une taille similaires, en minimisant une mesure de la différence de forme appelée distance de Procrustes entre les objets. C’est parfois appelé complet , par opposition à partiel Ps, dans lequel la mise à l’échelle n’est pas effectuée (c’est-à-dire que la taille des objets est conservée). Notez qu’après le PS complet, les objets coïncideront exactement si leur forme est identique. Par exemple, avec PS complet, deux sphères avec des rayons différents coïncideront toujours, car elles ont exactement la même forme. Inversement, avec le PS partiel, ils ne coïncideront jamais. Cela implique que, par la définition stricte du terme forme En géométrie, l’analyse de forme doit être effectuée en utilisant PS complet. Une analyse statistique basée sur le PS partiel n’est pas une analyse de forme pure car elle n’est pas seulement sensible aux différences de forme, mais aussi aux différences de taille. Le PS plein et partiel parviendra jamais à correspondre parfaitement à deux objets avec une forme différente, comme un cube et une sphère, ou une main droite et une main gauche.

Dans certains cas, le PS plein et partiel peut également inclure la réflexion. La réflexion permet, par exemple, une superposition réussie (peut-être parfaite) d’une main droite à une main gauche. Ainsi, le PS partiel avec la réflexion a permis de conserver la taille mais permet la traduction, la rotation et la réflexion, tandis que le PS complet avec la réflexion permettait la traduction, la rotation, la mise à l’échelle et la réflexion.

La traduction et la mise à l’échelle optimales sont déterminées avec des opérations beaucoup plus simples (voir ci-dessous).

Analyse ordinaire de Procrustes [ modifier ]]

Ici, nous considérons simplement les objets composés d’un numéro fini k des points dans n dimensions. Souvent, ces points sont sélectionnés sur la surface continue des objets complexes, comme un os humain, et dans ce cas, ils sont appelés points de repère.

La forme d’un objet peut être considérée comme un membre d’une classe d’équivalence formée en supprimant les composantes de mise à l’échelle de la translation, de rotation et uniformes.

Traduction [ modifier ]]

Par exemple, les composants de translation peuvent être supprimés d’un objet en traduisant l’objet afin que la moyenne de tous les points de l’objet (c’est-à-dire son centroïde) se trouve à l’origine.

Mathématiquement: prendre

points en deux dimensions, disons

${displayStyle ((x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2}), Dots, (x_ {k}, y_ {k})),}$

.

La moyenne de ces points est

où

$gens y_ {2} + cdots + y_ {k}} {k}}.}$

Traduisez maintenant ces points afin que leur moyenne soit traduite par l’origine

, donnant le point

.

Mise à l’échelle uniforme [ modifier ]]

De même, le composant de l’échelle peut être supprimé en faisant l’échelle de l’objet de sorte que la distance carrée moyenne racine ( RMSD ) des points à l’origine traduite est 1. Ce RMSD est une mesure statistique de l’objet escalader ou taille :

${displayStyle s = {sqrt {{(x_ {1} – {bar {x}}) ^ {2} + (y_ {1} – {bar {y}}) ^ {2} + cdots} sur K}} }$

L’échelle devient 1 lorsque les coordonnées ponctuelles sont divisées par l’échelle initiale de l’objet:

${displayStyle ((x_ {1} – {bar {x}}) / s, (y_ {1} – {bar {y}}) / s)}$

.

Notez que d’autres méthodes de définition et de suppression de l’échelle sont parfois utilisées dans la littérature.

Rotation [ modifier ]]

La suppression du composant de rotation est plus complexe, car une orientation de référence standard n’est pas toujours disponible. Considérez deux objets composés du même nombre de points avec l’échelle et la traduction supprimés. Que les points de ceux-ci soient

,

. Un de ces objets peut être utilisé pour fournir une orientation de référence. Fixez l’objet de référence et tournez l’autre autour de l’origine, jusqu’à ce que vous trouviez un angle de rotation optimal

de sorte que la somme des distances carrés ( SSD ) entre les points correspondants est minimisé (un exemple de technique des moindres carrés).

Une rotation par angle

donner

${displayStyle (u_ {1}, v_ {1}) = (cos theta, w_ {1} -sin thêta, z_ {1} ,, sin thêta, w_ {1} + costa, z_ {1}) ,! }$

.

où (u, v) sont les coordonnées d’un point tourné. Prendre le dérivé de

en ce qui concerne

et résoudre pour

Lorsque le dérivé est zéro

${displayStyle theta = tan ^ {- 1} Left ({frac {sum _ {i = 1} ^ {k} (w_ {i} y_ {i} -z_ {i} x_ {i})} {sum {{{ i = 1} ^ {k} (w_ {i} x_ {i} + z_ {i} y_ {i})}} droit).}$

Lorsque l’objet est tridimensionnel, la rotation optimale est représentée par une matrice de rotation 3 x 3 R , plutôt qu’un simple angle, et dans ce cas, la décomposition de valeur singulière peut être utilisée pour trouver la valeur optimale pour R (Voir la solution du problème des procresxes orthogonales contraises, sous réserve de Det ( R ) = 1).

Comparaison de forme [ modifier ]]

La différence entre la forme de deux objets ne peut être évaluée qu’après avoir “superposé” les deux objets en les traduisant, en les faisant évoluer et en les tournant de manière optimale comme expliqué ci-dessus. La racine carrée du SSD mentionné ci-dessus entre les points correspondants peut être utilisée comme mesure statistique de cette différence de forme:

${displayStyle d = {sqrt {(u_ {1} -x_ {1}) ^ {2} + (v_ {1} -y_ {1}) ^ {2} + cdots}}.}$

Cette mesure est souvent appelée Distance de Procrustes . Notez que d’autres définitions plus complexes de la distance de Procrustes et d’autres mesures de la «différence de forme» sont parfois utilisées dans la littérature.

Superposer un ensemble de formes [ modifier ]]

Nous avons montré comment superposer deux formes. La même méthode peut être appliquée pour superposer un ensemble de trois formes ou plus, en ce qui concerne l’orientation de référence mentionnée ci-dessus pour chacun d’eux. Cependant, l’analyse généralisée de Procrustes fournit une meilleure méthode pour atteindre cet objectif.

Analyse généralisée de Procrustes (GPA) [ modifier ]]

GPA applique la méthode d’analyse Procrustes pour superposer de manière optimale un ensemble d’objets, au lieu de les superposer à une forme sélectionnée arbitrairement.

L’analyse des procrustes généralisées et ordinaires ne diffèrent que par leur détermination d’une orientation de référence pour les objets, qui dans la première technique est déterminé de manière optimale et, dans le second, est arbitrairement sélectionné. La mise à l’échelle et la traduction sont effectuées de la même manière par les deux techniques. Lorsque seules deux formes sont comparées, le GPA équivaut à l’analyse ordinaire des Procrustes.

Le contour de l’algorithme est le suivant:

1. Choisissez arbitrairement une forme de référence (généralement en la sélectionnant parmi les instances disponibles)
2. superposer toutes les instances de la forme de référence actuelle
3. Calculez la forme moyenne de l’ensemble actuel de formes superposées
4. Si la distance de Procrustes entre la moyenne et la forme de référence est supérieure à un seuil, définissez la référence à la forme moyenne et continuez à l’étape 2.

Variations [ modifier ]]

Il existe de nombreuses façons de représenter la forme d’un objet.
La forme d’un objet peut être considérée comme un membre d’une classe d’équivalence formée en prenant l’ensemble de tous les ensembles de k pointe dans n dimensions, c’est-à-dire R ^KN et en tenant compte de l’ensemble de toutes les traductions, rotations et échelles. Une représentation particulière de la forme est trouvée en choisissant une représentation particulière de la classe d’équivalence. Cela donnera un variateur de dimension KN -4. Procrustes est une méthode pour le faire avec une justification statistique particulière.

Bookstein obtient une représentation de forme en fixant la position de deux points
appelé la ligne des bases. Un point sera fixé à l’origine et l’autre à (1,0)
les points restants forment le Libstein coordonnées.

Il est également courant de considérer forme et échelle C’est-à-dire avec les composants de translation et de rotation supprimés.

Exemples [ modifier ]]

L’analyse de forme est utilisée dans les données biologiques pour identifier les variations des caractéristiques anatomiques caractérisées par des données historiques, par exemple pour considérer la forme des os de la mâchoire. ^[d’abord]

Une étude de David George Kendall a examiné les triangles formés par des pierres debout pour déduire si elles étaient souvent disposées en ligne droite. La forme d’un triangle peut être représentée comme un point sur la sphère, et la distribution de toutes les formes peut être considérée à une distribution sur la sphère.
La distribution des échantillons à partir des pierres debout a été comparée à la distribution théorique pour montrer que la survenue de lignes droites n’était plus que la moyenne. ^[2]

Voir également [ modifier ]]

Les références [ modifier ]]

• F.L. Bookstein, Outils morphométriques pour les données historiques , Cambridge University Press, (1991).
• J.C. Gower, G.B. Dijksterhuis, Problèmes de proclusion , Oxford University Press (2004).
• I.L.Dryden, K.V. Mardia, Analyse de la forme statistique , Wiley, Chichester, (1998).

Liens externes [ modifier ]]