Configuration de Cremona – Richmond – Wikipedia wiki

La configuration Cremona – Richmond

En mathématiques, le Configuration de Cremona – Richmond est une configuration de 15 lignes et 15 points, ayant 3 points sur chaque ligne et 3 lignes à travers chaque point, et ne contenant aucun triangles. Il a été étudié par Cremona (1877) et Richmond (1900). Il s’agit d’un quadrilatère généralisé avec des paramètres (2,2). Son graphique Levi est le graphique tutte-coxet. ^[d’abord]

Symétrie [ modifier ]]

Les points de la configuration Cremona – Richmond peuvent être identifiés avec le

paires d’éléments non ordonnés d’un ensemble à six éléments; ces paires sont appelées duad . De même, les lignes de la configuration peuvent être identifiées avec les 15 façons de partitionner les six mêmes éléments en trois paires; ces partitions sont appelées synthémes . Identifié de cette manière, un point de configuration est incident à une ligne de configuration si et seulement si le duad correspondant au point est l’une des trois paires du synthétique correspondant à la ligne. ^[d’abord]

Le groupe symétrique de toutes les permutations des six éléments sous-jacent à ce système de duad et de synthémes agit comme un groupe de symétrie de la configuration Cremona – Richmond, et donne le groupe d’automorphisme de la configuration. Chaque drapeau de la configuration (une paire de lignes d’incidence) peut être pris à tous les autres drapeaux par une symétrie de ce groupe. ^[d’abord]

La configuration Cremona – Richmond est auto-dual: il est possible d’échanger des points contre les lignes tout en préservant toutes les incidences de la configuration. Cette dualité donne au graphique tutte-coxètre des symétries supplémentaires au-delà de celles de la configuration Cremona – Richmond, qui échangent les deux côtés de sa bipartition. Ces symétries correspondent aux automorphismes externes du groupe symétrique sur six éléments.

La concrétisation [ modifier ]]

Les six points en position générale dans l’espace quadrudial déterminent 15 points où une ligne à travers deux des points coupe l’hyperplan à travers les quatre autres points; Ainsi, les duads des six points correspondent à un pour un avec ces 15 points dérivés.
Les trois duads qui forment ensemble un synthétique déterminent une ligne, la ligne d’intersection des trois hyperplanes contenant deux des trois duads du synthétique, et cette ligne contient chacun des points dérivés de ses trois duads. Ainsi, les duads et les synthémes de la configuration abstrait correspondent à un pour un, d’une manière préservant de l’incidence, avec ces 15 points et 15 lignes dérivées des six points d’origine, qui forment une réalisation de la configuration. La même réalisation peut être projetée dans l’espace euclidien ou dans le plan euclidien. ^[d’abord]

La configuration Cremona – Richmond a également une famille de réalisations à un paramètre dans le plan avec une symétrie cyclique de commande. ^[2]

Histoire [ modifier ]]

Ludwig Schläfli (1858, 1863) a trouvé des surfaces cubiques contenant des ensembles de 15 lignes réelles (complémentaires d’un schläfli double six dans l’ensemble des 27 lignes sur un cubique) et 15 plans tangents, avec trois lignes dans chaque plan et trois plans à travers chaque doubler. L’inscription à ces lignes et plans par un autre plan entraîne un 15 ₃ 15 ₃ configuration. Le modèle d’incidence spécifique des lignes et des plans de Schläfli a ensuite été publié par Luigi Cremona (1868). L’observation selon laquelle la configuration résultante ne contient aucun triangles a été faite par Martinetti (1886), et la même configuration apparaît également dans les travaux d’Herbert William Richmond (1900). Visconti (1916) a trouvé une description de la configuration en tant que polygone auto-inscrit. H. F. Baker a utilisé la réalisation à quatre dimensions de cette configuration comme frontispice pour deux volumes de son manuel de 1922-1925, Principes de géométrie . Zacharias (1951) a également redécouvert la même configuration et a trouvé une réalisation de celui-ci avec une symétrie cyclique d’ordre-cinq. ^[3]

Le nom de la configuration provient des études par Cremona (1868, 1877) et Richmond (1900); Peut-être qu’en raison de quelques erreurs dans son travail, la contribution contemporaine de Martinetti est tombée dans l’obscurité. ^[3]

Les références [ modifier ]]

• Tambour, M.; Pisan, T. (2003), “Configurations polycycliques” (PDF) , Journal européen de combinatoire , 24 (4): 431–457, doi: 10.1016 / S0195-6698 (03) 00031-3 , M 1975946
• Tambour, Marko; Grünbaum, Branko; Pisan, Tomaž; Žitnik, Arjana (2006), “Petites configurations sans triangle de points et de lignes” (PDF) , Géométrie discrète et informatique , 35 (3): 405–427, doi: 10.1007 / S00454-005-1224-9 , M 2202110 .
• Coxeter, H. S. M. (1950), “Configurations auto-duales et graphiques réguliers”, Bulletin de l’American Mathematical Society , 56 : 413–455, doi: 10.1090 / s0002-9904-1950-09407-5 , M 0038078 .
• Coxeter, H. S. M. (1958), “Douze points dans PG (5,3) avec 95040 auto-transformations”, Actes de la Royal Society A , 247 (1250): 279–293, doi: 10.1098 / rspa.1958.0184 , Jstor 100667 .
• Cremona, L. (1868), “Mémoire de géométrie pure sur les surfaces du troisieme ordre”, J. Reine Angew. Mathématiques. , 68 : 1–133 . Comme cité par Boben et al. (2006).
• Cremona, L. (1877), Théorèmes stéréométriques à partir desquels les propriétés de l’inactivité de Pascal sont déduites , Actes de la R. Academia dei Lincei, vol. 1
• Grünbaum, Branko (2009), Configurations de points et de lignes , Graduate Studies in Mathematics, Vol. 103, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4308-6 , M 2510707
• Martinetti, V. (1886), “Au-dessus de quelques configurations plates”, Annales de mathématiques pures et appliquées , Série 2, 14 (1): 161–192, doi: 10.1007 / BF02420733 .
• Richmond, H. W. (1900), “Sur le chiffre de six points dans l’espace de quatre dimensions.” , Litre. J. , trente et un : 125–160
• Schläfli, L. (1858), “Une tentative de déterminer les vingt-sept lignes sur une surface du troisième ordre, et de diviser de telles surfaces en espèces en référence à la réalité des lignes à la surface” , Litre. J. Pure Appl. Mathématiques. , 2 : 55–65, 110–120 .
• Schläfli, L. (1863), “Sur la distribution des surfaces du troisième ordre en espèces, en référence à l’absence ou à la présence de points singuliers, et la réalité de leurs lignes” , Transactions philosophiques de la Royal Society , 153 : 193–241, doi: 10.1098 / RSTL.1863.0010 .
• Sylvester, J. J. (1844), “Recherches élémentaires dans l’analyse de l’agrégation combinatoire” (PDF) , Phil. Magazine , Série 3, 24 : 285–295, doi: 10.1080 / 14786444408644856 .
• Visconti, E. (1916), “Sur les configurations plates”, Journal de mathématiques de Battaglini , 54 : 27–41 . Comme cité par Boben et al. (2006).
• Zacharias, Max (1951), “Incurse dans le domaine des configurations: une configuration de Reyesche (15 ₃ ), Configurations d’étoiles et de chaîne “, Nouvelles mathématiques , 5 : 329–345, doi: 10.1002 / MANA.19510050602 , M 0043473 .

Liens externes [ modifier ]]