Construction proj – Wikipedia wiki

En géométrie algébrique, Proj est une construction analogue à la construction de schémas de schémas affine, qui produit des objets avec les propriétés typiques des espaces projectifs et des variétés projectives. La construction, bien qu’elle ne soit pas fonctorial, est un outil fondamental dans la théorie des schémas.

Dans cet article, toutes les anneaux seront supposés comme commutatifs et avec identité.

Proj d’un anneau classé [ modifier ]]

Proj comme un ensemble [ modifier ]]

Laisser

${DisplayStyle S}$

être un anneau classé, où

est la décomposition de somme directe associée à la gradation. L’idéal non pertinent de

${DisplayStyle S}$

est l’idéal des éléments de degré positif

Par conciliation, nous écrivons parfois

${displaystyle x}$

pour

${displayStyle operatorname {proj} s}$

.

Proj comme espace topologique [ modifier ]]

Nous pouvons définir une topologie, appelée la topologie Zariski, sur

${displayStyle operatorname {proj} s}$

en définissant les ensembles fermés comme ceux de la forme

${displayStyle v (a) = {Pin opératorname {proj} smid asubseteq p},}$

où

${displaystyle a}$

est un idéal homogène de

${DisplayStyle S}$

. Comme dans le cas des schémas affines, il est rapidement vérifié que le

${displaystyle v (a)}$

former les ensembles fermés d’une topologie sur

${displaystyle x}$

.

En effet, si

${displayStyle (a_ {i}) _ {iin i}}$

sont une famille d’idéaux, alors nous avons

${textStyle bigcap v (a_ {i}) = vleft (sum a_ {i} droit)}$

Et si l’ensemble d’indexation je est fini, alors

${textStyle bigcup v (a_ {i}) = vleft (prod a_ {i} droit)}$

.

De manière équivalente, nous pouvons prendre les ensembles ouverts comme point de départ et définir

${displayStyle d (a) = {Pin opératorname {proj} smid anot subseteq p}.}$

Un sténographie commun est de désigner

${displayStyle d (sf)}$

par

${displayStyle d (f)}$

, où

${displayStyle sf}$

est l’idéal généré par

${displaystyle f}$

. Pour tout idéal

${displaystyle a}$

, les ensembles

${displayStyle d (a)}$

et

${displaystyle v (a)}$

sont complémentaires, et donc la même preuve qu’avant montre que les ensembles

${displayStyle d (a)}$

former une topologie sur

${displayStyle operatorname {proj} s}$

. L’avantage de cette approche est que les ensembles

${displayStyle d (f)}$

, où

${displaystyle f}$

varie sur tous les éléments homogènes de l’anneau

${DisplayStyle S}$

, former une base pour cette topologie, qui est un outil indispensable pour l’analyse de

${displayStyle operatorname {proj} s}$

, tout comme le fait analogue pour le spectre d’un anneau est également indispensable.

Proj comme schéma [ modifier ]]

Nous construisons également une gerbe

${displayStyle operatorname {proj} s}$

, appelé «Structure Sheaf» comme dans le cas affine, ce qui en fait un schéma. Comme dans le cas de la construction de spécifications, il existe de nombreuses façons de procéder: la plus directe, qui est également très suggérée de la construction de fonctions régulières sur une variété projective en géométrie algébrique classique, est la suivante. Pour tout ensemble ouvert

${displaystyle u}$

de

${displayStyle operatorname {proj} s}$

(qui est par définition un ensemble d’idéaux de premier ordre homogènes de

${DisplayStyle S}$

pas contenant

${displayStyle s _ {+}}$

) Nous définissons l’anneau

${DisplayStyle o_ {x} (u)}$

être l’ensemble de toutes les fonctions

${DisplayStyle fcolon uto bigcup _ {batterie u} s _ {(p)}}}$

(où

${displayStyle s _ {(p)}}$

désigne le sous-nage de l’anneau de fractions

${displayStyle s_ {p}}$

composé de fractions d’éléments homogènes du même degré) tels que pour chaque idéal de premier ordre

${displaystyle p}$

de

${displaystyle u}$

:

1. 
   ${displaystyle f (p)}$

   est un élément de

   ${displayStyle s _ {(p)}}$

   ;

2. Il existe un sous-ensemble ouvert
   ${displayStyle vsubset u}$

   contenant

   ${displaystyle p}$

   et des éléments homogènes

   ${displaystyle s, t}$

   de

   ${DisplayStyle S}$

   du même degré tel que pour chaque idéal principal

   ${displayStyle Q}$

   de

   ${DisplayStyle V}$

   :

   • 
     ${displayStyle t}$

     n’est pas dans

     ${displayStyle Q}$

     ;

   • 
     ${displayStyle f (q) = s / t}$

     

Il résulte immédiatement de la définition que le

${DisplayStyle o_ {x} (u)}$

former une gerbe de bagues

${displaystyle o_ {x}}$

sur

${displayStyle operatorname {proj} s}$

, et il peut être démontré que la paire (

${displayStyle operatorname {proj} s}$

,

${displaystyle o_ {x}}$

) est en fait un schéma (cela est accompli en montrant que chacun des sous-ensembles ouverts

${displayStyle d (f)}$

est en fait un schéma affine).

L’agence associée à un module classé [ modifier ]]

La propriété essentielle de

${DisplayStyle S}$

pour la construction ci-dessus était la capacité de former des localisations

${displayStyle s _ {(p)}}$

Pour chaque idéal de premier ordre

${displaystyle p}$

de

${DisplayStyle S}$

. Cette propriété est également possédée par n’importe quel module gradué

${displaystyle m}$

sur

${DisplayStyle S}$

, et donc avec les modifications mineures appropriées, la section précédente construit pour un tel

${displaystyle m}$

une gerbe, indiquée

${displayStyle {Tilde {m}}}$

, de

${displaystyle o_ {x}}$

-Modules sur

${displayStyle operatorname {proj} s}$

. Cette gerbe est quasicohérente par construction. Si

${DisplayStyle S}$

est généré par de nombreux éléments de degré

${Displaystyle 1}$

(par exemple, un anneau polynomial ou un quotient homogène), toutes les gerbes quasicohérentes sur

${displayStyle operatorname {proj} s}$

découlent de modules classés par cette construction. ^[d’abord] Le module classé correspondant n’est pas unique.

La gerbe torsadée de Serre [ modifier ]]

Un cas particulier de l’agence associée à un module gradué est lorsque nous prenons

${displaystyle m}$

être

${DisplayStyle S}$

lui-même avec un classement différent: à savoir, nous avons laissé le diplôme

${displayStyle d}$

des éléments de

${displaystyle m}$

être le degré

${displayStyle (d + 1)}$

des éléments de

${DisplayStyle S}$

, donc

et dénoter

${displayStyle m = s (1)}$

. Nous obtenons ensuite

${displayStyle {Tilde {m}}}$

comme une gerbe quasi-héritage sur

${displayStyle operatorname {proj} s}$

, indiqué

${displayStyle o_ {x} (1)}$

ou simplement

${displayStyle {Mathcal {o}} (1)}$

, appelé la gerbe torsadée de Serre. On peut vérifier que

${displayStyle {Mathcal {o}} (1)}$

est en fait une gerbe inversible.

Une raison de l’utilité de

${displayStyle {Mathcal {o}} (1)}$

est qu’il récupère les informations algébriques de

${DisplayStyle S}$

qui a été perdu lorsque, dans la construction de

${displaystyle o_ {x}}$

, nous sommes passés aux fractions du degré zéro. Dans le cas de la spécification UN pour une bague UN , les sections mondiales de la forme de la structure UN lui-même, alors que les sections mondiales de

${displayStyle {Mathcal {o}} _ {x}}$

ici ne forme que les éléments de degré zéro de

${DisplayStyle S}$

. Si nous définissons

${displayStyle {Mathcal {o}} (n) = bigotimes _ {i = 1} ^ {n} {mathcal {o}} (1)}$

alors chacun

${displayStyle {Mathcal {o}} (n)}$

contient le degré

${displaystyle n}$

des informations sur

${DisplayStyle S}$

, indiqué

${displayStyle s_ {n}}$

et pris ensemble, ils contiennent toutes les informations de classement qui ont été perdues. De même, pour toute gerbe de note

${displayStyle {Mathcal {o}} _ {x}}$

-modules

${displaystyle n}$

nous définissons

${DisplayStyle n (n) = note {mathcal {o}} (n)}$

et attendez-vous à ce que cette gerbe «tordue» contienne des informations de classement sur

${displaystyle n}$

. En particulier, si

${displaystyle n}$

l’agence est-elle associée à un

${DisplayStyle S}$

-module

${displaystyle m}$

Nous nous attendons également à ce qu’il contienne des informations de classement perdues sur

${displaystyle m}$

. Cela suggère, bien que par erreur, que

${DisplayStyle S}$

peut en fait être reconstruit à partir de ces gerbes; comme

Cependant, cela est vrai dans le cas que

${DisplayStyle S}$

est une bague polynomiale ci-dessous. Cette situation doit être contrastée avec le fait que le Fonctor Spec est adjoint au Fonctor Global Sections dans la catégorie des espaces ancrés localement.

Projectif n -espace [ modifier ]]

Si

${displaystyle a}$

est un anneau, nous définissons le projectif n -space

${displaystyle a}$

être le schéma

${displayStyle Mathbb {p} _ {a} ^ {n} = opératorname {proj} a [x_ {0}, ldots, x_ {n}].}$

Le classement sur l’anneau polynomial

${displayStyle s = a [x_ {0}, ldots, x_ {n}]}$

est défini en laissant chacun

${displayStyle x_ {i}}$

avoir un degré un et chaque élément de

${displaystyle a}$

, degré zéro. Comparer cela à la définition de

${displayStyle {Mathcal {o}} (1)}$

, ci-dessus, nous voyons que les sections de

${displayStyle {Mathcal {o}} (1)}$

sont en fait des polynômes homogènes linéaires, générés par le

${displayStyle x_ {i}}$

eux-mêmes. Cela suggère une autre interprétation de

${displayStyle {Mathcal {o}} (1)}$

, à savoir l’agence des «coordonnées» pour

${displayStyle operatorname {proj} s}$

, depuis le

${displayStyle x_ {i}}$

sont littéralement les coordonnées du projectif

${displaystyle n}$

-espace.

Exemples de proj [ modifier ]]

Proj sur la ligne affine [ modifier ]]

Si nous laissons l’anneau de base être

${displayStyle a = mathbb {c} [lambda]}$

, alors

a un morphisme projectif canonique à la ligne affine

${displayStyle Mathbb {a} _ {Lambda} ^ {1}}$

dont les fibres sont des courbes elliptiques sauf aux points

${displaystyle lambda = 0,1}$

où les courbes se dégénèrent en courbes nodales. Il y a donc une fibration

qui est également un morphisme lisse des schémas (qui peut être vérifié en utilisant le critère jacobien).

Hypersurfaces et variétés projectives [ modifier ]]

L’hypersurface projective

${displayStyle operatorname {proj} Left (mathbb {c} [x_ {0}, ldots, x_ {4}] / (x_ {0} ^ {5} + cdots + x_ {4} ^ {5}) à droite)}$

est un exemple de triple quintique de Fermat qui est également un collecteur Calabi – Yau. En plus des hypersurfaces projectives, toute variété projective découpée par un système de polynômes homogènes

dans

${displayStyle (n + 1)}$

-Les variables peuvent être converties en un schéma projectif à l’aide de la construction ProJ pour l’algèbre graduée

Donner une intégration de variétés projectives dans des schémas projectifs.

Espace projectif pondéré [ modifier ]]

Les espaces projectifs pondérés peuvent être construits à l’aide d’un cycle polynomial dont les variables ont des degrés non standard. Par exemple, l’espace projectif pondéré

${displayStyle Mathbb {p} (1,1,2)}$

correspond à la prise

${displayStyle operatorname {proj}}$

de l’anneau

${displayStyle a [x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}]}$

où

${displayStyle x_ {0}, x_ {1}}$

avoir du poids

${Displaystyle 1}$

alors que

${displayStyle x_ {2}}$

a du poids 2.

Anneaux de grossesse [ modifier ]]

La construction ProJ s’étend aux anneaux bigraded et multigradés. Géométriquement, cela correspond à la prise de produits de schémas projectifs. Par exemple, étant donné les anneaux classés

avec le degré de chaque générateur

${Displaystyle 1}$

. Ensuite, le produit tenseur de ces algèbres

${displaystyle mathbb {C} }$

donne l’algèbre bigraded

où le

${displayStyle x_ {i}}$

avoir du poids

${DisplayStyle (1.0)}$

et le

${displaystyle y_ {i}}$

avoir du poids

${DisplayStyle (0.1)}$

. Ensuite, la construction proj donne

qui est un produit de schémas projectifs. Il y a une intégration de tels schémas dans un espace projectif en prenant l’algèbre totale

où un diplôme

${displayStyle (a, b)}$

L’élément est considéré comme un diplôme

${displayStyle (a + b)}$

élément. Cela signifie le

${displaystyle k}$

-th

${displayStyle s_ {Bullet}}$

est le module

De plus, le schéma

${displayStyle {text {proj}} (s_ {balle, balle})}$

Vient maintenant avec des gerbes bigReded

${displayStyle {Mathcal {o}} (a, b)}$

qui sont le produit tenseur des gerbes

${DisplayStyle pi _ {1} ^ {*} {Mathcal {o}} (a) Otimes pi _ {2} ^ {*} {Mathcal {o}} (b)}$

où

et

sont les projections canoniques provenant des injections de ces algèbres à partir du diagramme du produit du tenseur des algèbres commutatives.

Proj Global [ modifier ]]

Une généralisation de la construction proj remplace l’anneau S avec une gerbe d’algèbres et produit, en conséquence, un schéma qui pourrait être considéré comme une fibration de proj’s des anneaux. Cette construction est souvent utilisée, par exemple, pour construire des faisceaux d’espace projective sur un schéma de base.

Hypothèses [ modifier ]]

Formellement, laissez X être n’importe quel schéma et S être une gerbe de note

${displaystyle o_ {x}}$

-Lebras (dont la définition est similaire à la définition de

${displaystyle o_ {x}}$

-Modules sur un espace sonnent localement): c’est-à-dire une gerbe avec une décomposition à somme directe

${displayStyle s = bigoplus _ {igeq 0} s_ {i}}$

où chacun

${displayStyle s_ {i}}$

est un

${displaystyle o_ {x}}$

-Module tel que pour chaque sous-ensemble ouvert DANS de X , S ( DANS ) est un

${DisplayStyle o_ {x} (u)}$

-Lebra et la décomposition de somme directe qui en résulte

${DisplayStyle avec (u) = bigoplus _ {igeq 0} s_ {i} (u)}$

est un classement de cette algèbre comme un anneau. Ici, nous supposons que

${displayStyle s_ {0} = o_ {x}}$

. Nous faisons l’hypothèse supplémentaire que S est une gerbe quasi-cohérente; Il s’agit d’une hypothèse de «cohérence» sur les sections sur différents ensembles ouverts qui sont nécessaires pour que la construction se déroule.

Construction [ modifier ]]

Dans cette configuration, nous pouvons construire un schéma

${displayStyle operatorname {mathbf {proj}} s}$

et une carte «projection» p sur X tel que pour chaque affine ouvert DANS de X ,

${DisplayStyle (operorname {{mathbf {proj} {proj}} s)$

Cette définition suggère que nous construisons

${displayStyle operatorname {mathbf {proj}} s}$

en définissant d’abord les schémas

${displaystyle y_ {u}}$

Pour chaque affine ouvert DANS , en définissant

${displayStyle y_ {u} = opératorname {proj} s (u),}$

et cartes

${displayStyle p_ {u} colon y_ {u} à u}$

, puis montrant que ces données peuvent être collées «sur» chaque intersection de deux affines ouvertes DANS et DANS pour former un schéma ET que nous définissons pour être

${displayStyle operatorname {mathbf {proj}} s}$

. Il n’est pas difficile de montrer que définir chacun

${displaystyle p_ {u}}$

être la carte correspondant à l’inclusion de

${DisplayStyle o_ {x} (u)}$

dans S ( DANS ) Comme les éléments du degré zéro rendent la cohérence nécessaire du

${displaystyle p_ {u}}$

, tandis que la cohérence du

${displaystyle y_ {u}}$

eux-mêmes découlent de l’hypothèse de quasi-cohérence sur S .

La gerbe torsadée [ modifier ]]

Si S a la propriété supplémentaire qui

${displayStyle s_ {1}}$

est une gerbe cohérente et génère localement S sur

${displayStyle s_ {0}}$

(c’est-à-dire lorsque nous passons à la tige de l’agence S à un moment donné X de X , qui est une algèbre graduée dont les éléments de degré zéro forment l’anneau

${DisplayStyle o_ {x, x}}$

Ensuite, les éléments de degré-un forment un module généré par une fin

${DisplayStyle o_ {x, x}}$

et générer également la tige sous forme d’algèbre), nous pouvons alors faire une nouvelle construction. Sur chaque affine ouvert DANS , Proj S ( DANS ) porte une gerbe inversible o (1), et l’hypothèse que nous venons de faire garantit que ces gerbes peuvent être collés comme le

${displaystyle y_ {u}}$

au-dessus de; l’agence résultante sur

${displayStyle operatorname {mathbf {proj}} s}$

est également noté O (1) et sert à peu près le même but pour

${displayStyle operatorname {mathbf {proj}} s}$

comme le fait la torsion sur le proj d’un anneau.

Proj d’un shef quasi-cohérent [ modifier ]]

Laisser

${displayStyle {Mathcal {e}}}$

être une gerbe quasi-cohérente sur un programme

${displaystyle x}$

. La banque d’algèbres symétriques

${displayStyle mathbf {sym} _ {o_ {x}} ({mathcal {e}})}$

est naturellement une gerbe quasi-cohérente de note

${displaystyle o_ {x}}$

-Modules, générés par des éléments de degré 1. Le schéma résultant est noté par

${displayStyle Mathbb {p} ({Mathcal {e}})}$

. Si

${displayStyle {Mathcal {e}}}$

est de type fini, puis son morphisme canonique

${displayStyle p: mathbb {p} ({mathcal {e}}) à x}$

est un morphisme projectif . ^[2]

Pour toute

${Displaystyle s’il vous plaît x}$

, la fibre du morphisme ci-dessus

${displaystyle x}$

est l’espace projectif

${displayStyle Mathbb {p} ({Mathcal {e}} (x))}$

associé au double de l’espace vectoriel

${displayStyle {mathcal {e}} (x): = {mathcal {e}} otimes _ {o_ {x}} k (x)}$

sur

${displayStyle k (x)}$

.

Si

${displayStyle {Mathcal {s}}}$

est une gerbe quasi-cohérente de note

${displaystyle o_ {x}}$

-Modules, générés par

${displayStyle {Mathcal {s}} _ {1}}$

Et tel que

${displayStyle {Mathcal {s}} _ {1}}$

est de type fini, alors

${displayStyle Mathbf {proj} {mathcal {s}}}$

est un sous-volet fermé de

${displayStyle Mathbb {p} ({Mathcal {s}} _ {1})}$

et est alors projectif sur

${displaystyle x}$

. En fait, chaque sous-pythème fermé d’un projectif

${displayStyle Mathbb {p} ({Mathcal {e}})}$

est de cette forme. ^[3]

Bundles spatiaux projectifs [ modifier ]]

Comme un cas particulier, quand

${displayStyle {Mathcal {e}}}$

est localement exempt de rang

${displaystyle n + 1}$

, nous obtenons un bundle projectif

${displayStyle Mathbb {p} ({Mathcal {e}})}$

sur

${displaystyle x}$

de dimension relative

${displaystyle n}$

. En effet, si nous prenons une couverture ouverte de X par des affines ouvertes

${displayStyle u = opératorname {spec} (a)}$

de sorte que lorsqu’il est limité à chacun d’eux,

${displayStyle {Mathcal {e}}}$

est gratuit UN , alors

${DisplayStyle mathbb {p} ({mathcal {e}}) | _ {p ^ {- 1} (u)} Simeq OperatialName {project} a [x_ {0}, dod, x_ {n}] = mathbb {P {p {p {p {p} _ {a} ^ {n} = mathbb {p} _ {u} ^ {n},}$

et donc

${displayStyle Mathbb {p} ({Mathcal {e}})}$

est un pack spatial projectif. De nombreuses familles de variétés peuvent être construites comme des sous-efforts de ces faisceaux projectifs, tels que la famille Weierstrass de courbes elliptiques. Pour plus de détails, consultez l’article principal.

Exemple de Proj global [ modifier ]]

Global ProJ peut être utilisé pour construire des crayons Lefschetz. Par exemple, laissez

${displayStyle x = mathbb {p} _ {s, t} ^ {1}}$

et prendre des polynômes homogènes

${displayStyle f, gin mathbb {c} [x_ {0}, ldots, x_ {n}]}$

du degré k. Nous pouvons considérer l’agence idéale

${displayStyle {Mathcal {i}} = (sf + tg)}$

de

${displayStyle {Mathcal {o}} _ {x} [x_ {0}, ldots, x_ {n}]}$

et construire un proj global de cette gerbe des algèbres

${displayStyle {mathcal {o}} _ {x} [x_ {0}, ldots, x_ {n}] / {mathcal {i}}}$

. Cela peut être décrit explicitement comme le morphisme projectif

${displayStyle operatorname {proj} (mathbb {c} [s, t] [x_ {0}, ldots, x_ {n}] / (sf + tg)) à mathbb {p} _ {s, t} ^ {1 }}$

.

Voir également [ modifier ]]

Les références [ modifier ]]