Épicycloïde – wikipedia wiki

Courbe plan tracée par un point sur un cercle roulé autour d’un autre cercle

La courbe rouge est une épicycloïde tracée comme le petit cercle (rayon r = 1) roule autour de l’extérieur du grand cercle (rayon R = 3) .

En géométrie, un épicycloïde est une courbe plane produite en traçant le chemin d’un point choisi sur la circonférence d’un cercle – épicycle – qui roule sans glisser autour d’un cercle fixe. C’est un type particulier de roulette.

Équations [ modifier ]]

Si le cercle plus petit a un rayon r , et le cercle plus grand a un rayon R = Krot , puis le
Les équations paramétriques de la courbe peuvent être données par soit:

${displayStyle {begin {aligned} & x (theta) = (r + r) cos theta -rcos gauche ({frac {r + r} {r}} theta droit) \ & y (theta) = (r + r) sin theta -RSin Left ({frac {r + r} {r}} thêta droit) fin {aligné}}}$

ou:

$gens (K + 1) THETA DROIT) FIN {aligné}}}$

sous une forme plus concise et complexe ^[d’abord]

${DisplayStyle z (theta) = theta) = rleft (e ^ {i (k + 1) theta} – (k + 1) e ^ {it} à droite)}}$

où

• angle e est à son tour:
  ${displaystyle thêta dans [0,2pi].}$

  

• Le cercle plus petit a un rayon r
• Le cercle plus grand a un rayon Krot

(En supposant que le point initial se trouve sur le cercle plus grand.) Quand k est un entier positif, la zone de cette épicycloïde est

${displayStyle a = (k + 1) (k + 2) pi r ^ {2}.}$

Cela signifie que l’épicycloïde est

plus grand que le cercle stationnaire d’origine.

Si k est un entier positif, alors la courbe est fermée et a k cuspides (c’est-à-dire les coins pointus).

Si k est un numéro rationnel, disons k = p / / q exprimé comme une fraction irréductible, alors la courbe a p cuspides.

Compter les rotations d’animation pour voir p et q

Si k est un nombre irrationnel, alors la courbe ne se ferme jamais et forme un sous-ensemble dense de l’espace entre le plus grand cercle et un cercle de rayon R + 2 r .

La distance SUR depuis ( X = 0, et = 0) origine à (le point p sur le petit cercle) varie de haut en bas comme

${DisplayStyle rleq {overline {op}} leq r + 2r}$

où

• R = rayon du grand cercle et
• 2 r = diamètre du petit cercle

• Exemples épicycloïdes
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

L’épicycloïde est un type spécial d’épitrochoïde.

Un épicycle avec une cuspide est un cardioïde, deux cuspides sont un néphroid.

Une épicycloïde et son évolution sont similaires. ^[2]

Nous supposons que la position de

est ce que nous voulons résoudre,

est l’angle du point tangentiel au point de déménagement

, et

est l’angle du point de départ au point tangentiel.

Puisqu’il n’y a pas de glissement entre les deux cycles, alors nous avons cela

${DisplaySyle he _ {r} = he _ {r}}$

Par la définition de l’angle (qui est l’arc de vitesse sur le rayon), alors nous avons cela

${displayStyle ell _ {r} = theta r}$

et

${displayStyle ell _ {r} = alpha r}$

.

À partir de ces deux conditions, nous obtenons l’identité

${displaystyle thêta r = alpha r}$

.

En calculant, nous obtenons la relation entre

et

, lequel est

${displayStyle alpha = {frac {r} {r}} theta}$

.

De la figure, nous voyons la position du point

sur le petit cercle clairement.

${displayStyle x = Left (r + rright) cos theta -rcos gauche (theta + alpha droit) = gauche (r + rright) cos theta -rcos gauche ({frac {r + r} {r}} theta droite)}$

${displayStyle y = Left (r + rright) sin thêta -rsin gauche (theta + alpha droite) = gauche (r + rright) sin theta -rsin gauche ({frac {r + r} {r}} theta droite)}$

Voir également [ modifier ]]

Les références [ modifier ]]

Liens externes [ modifier ]]