Équations de Madelung – Wikipedia wiki

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Le Équations de Madelung , ou la équations d’hydrodynamique quantique , sont la formulation alternative équivalente d’Erwin Madelung de l’équation de Schrödinger, écrite en termes de variables hydrodynamiques, similaires aux équations de Navier – Stokes de la dynamique des fluides. La dérivation des équations de Madelung est similaire à la formulation De Broglie – Bohm, qui représente l’équation de Schrödinger comme une équation quantique Hamilton – Jacobi.

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Équations [ modifier ]]

Les équations de Madelung ^[d’abord]sont des équations quantiques Euler: ^[2]

{displayStyle partiel _ {t} rho _ {m} + nabla cdot (rho _ {m} mathbf {u}) = 0,}

{displayStyle {frac {dmathbf {u}} {dt}} = partiel _ {t} mathbf {u} + mathbf {u} cdot nabla mathbf {u} = – {frac {1} {m}} mathbf {nabla} (Q + v),}

où

${displayStyle mathbf {u}}$
${DisplayStyle rho _ {m} = mrho = m | psi | ^ {2}}$
${displayStyle q = – {frac {hbar ^ {2}} {2m}} {frac {nabla ^ {2} {sqrt {rho}}} {sqrt {rho}}} = – {frac {hbar ^ {2} } {2m}} {frac {nabla ^ {2} {sqrt {rho _ {m}}}} {sqrt {rho _ {m}}}}}$
$DANS$ est le potentiel de l’équation de Schrödinger.

La circulation du champ de vitesse d’écoulement le long de tout chemin fermé obéit à la condition auxiliaire

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{Style de texte gamma doteq oint {mmathbf {u} cdot dmathbf {l}} = 2pi nhbar}

${textstyle Gamma doteq oint {mmathbf {u} cdot dmathbf {l} }=2pi nhbar }$ ,

{displaystyle nin mathbb {z}}

$n in mathbb{Z}$ . ^[3]

Dérivation [ modifier ]]

Les équations de Madelung sont dérivées en écrivant la fonction d’onde sous forme polaire:

{DisplayStyle psi (mathbf {x}, t) = {sqrt {{frac {1} {m}} rho _ {m} (mathbf {x}, t)}} e ^ {fac {i} {hbar}} S (mathbf {x}, t)},}

et remplacer cette forme dans l’équation de Schrödinger

{displayStyle ihbar {frac {partial} {partial t}} psi (mathbf {x}, t) = left [{frac {-hbar ^ {2}} {2m}} nabla ^ {2} + v (mathbf {x }, t) à droite] psi (mathbf {x}, t).}

La vitesse d’écoulement est définie par

{displayStyle Mathbf {u} (mathbf {x}, t) = {frac {1} {m}} mathbf {nabla} s,}

à partir de laquelle nous trouvons aussi que

{affichestyle {frac {1} {m}} rho _ {m} mathbf {u} = mathbf {j} = {frac {hbar} {2mi}} [psi ^ {*} (nable psi) -Pi (nable psi psi) ^ {*})],}

où

{displaystyle mathbf {j}}

$mathbf {j}$ est le courant de probabilité de la mécanique quantique standard.

La force quantique, qui est le négatif du gradient du potentiel quantique, peut également être écrite en termes de tenseur de pression quantique:

{Affichage MathBf {f_ {q}} = -mathbf {nabb {blanc {while {{m}} _ {Mes}}

où

{displayStyle Mathbf {p} _ {} = – (hbar / 2m) ^ {2} rho _ {m} nlabla ormes nabla ln rho _ {m}.}

L’énergie intégrale stockée dans le tenseur de pression quantique est proportionnelle aux informations de Fisher, qui explique la qualité des mesures. Ainsi, selon le Cramér – Rao Bound, le principe d’incertitude de Heisenberg équivaut à une inégalité standard pour l’efficacité des mesures. La définition thermodynamique du potentiel chimique quantique

{displayStyle mu = q + v = {frac {1} {sqrt {rho _ {m}}}} {largehat {h}} {sqrt {rho _ {m}}}}

découle de l’équilibre de la force hydrostatique ci-dessus:

{displayStyle you = {frac {m}} {rho _ {m}}} nbala cdot mathbf {p} _ {q} +} + nabla v.}

Selon la thermodynamique, à l’équilibre, le potentiel chimique est constant partout, ce qui correspond directement à l’équation stationnaire de Schrödinger. Par conséquent, les valeurs propres de l’équation de Schrödinger sont des énergies libres, qui diffèrent des énergies internes du système. L’énergie interne des particules est calculée comme

{AfficheSstyle varsilon = mu -perorous {try {try {try {try {mbf {{s}} = – {{m}} {méthb3 ln rho _ {m}) ^ {2} + u} + u} +

et est lié à la correction locale de Carl Friedrich von Weizsäcker. ^[4]Dans le cas d’un oscillateur harmonique quantique, par exemple, on peut facilement montrer que l’énergie à point zéro est la valeur du potentiel chimique de l’oscillateur, tandis que l’énergie interne de l’oscillateur est nul à l’état fondamental,

{displayStyle Varsilon = 0}

$varepsilon =0$ . Par conséquent, l’énergie à point zéro représente l’énergie pour placer un oscillateur statique dans le vide, ce qui montre à nouveau que les fluctuations de vide sont la raison de la mécanique quantique.

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Dérivation [ modifier ]]

Voir également [ modifier ]]

Les références [ modifier ]]

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