Espace nucléaire – Wikipedia wiki

Posted on June 22, 2019 by lordneo

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Une généralisation des espaces euclidiens dimensionnels finis différents des espaces Hilbert

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En mathématiques, espaces nucléaires sont des espaces vectoriels topologiques qui peuvent être considérés comme une généralisation des espaces euclidiens dimensionnels finis et partager bon nombre de leurs propriétés souhaitables. Les espaces nucléaires sont cependant très différents des espaces de Hilbert, une autre généralisation des espaces euclidiens dimensionnels finis. Ils ont été présentés par Alexander Grothendieck.

La topologie sur les espaces nucléaires peut être définie par une famille de séminorms dont les balles unitaires diminuent rapidement. Les espaces vectoriels dont les éléments sont «lisses» dans un certain sens ont tendance à être des espaces nucléaires; Un exemple typique d’un espace nucléaire est l’ensemble des fonctions lisses sur un collecteur compact. Tous les espaces vectoriels de dimension finie sont nucléaires. Il n’y a pas d’espaces Banach qui sont nucléaires, à l’exception des dimensions finies. En pratique pas Un espace de Banach, puis il y a de fortes chances qu’il soit nucléaire.

Table of Contents

Motivation originale: le théorème du noyau Schwartz [ modifier ]]

Une grande partie de la théorie des espaces nucléaires a été développée par Alexander Grothendieck lors de l’étude du théorème du noyau Schwartz et publiée dans (Grothendieck 1955). Nous décrivons maintenant cette motivation.

Pour tous les sous-ensembles ouverts

{displayStyle Omega _ {1} subseseq mathbb {r} ^ {m}}

${displaystyle Omega _{1}subseteq mathbb {R} ^{m}}$ et

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{displayStyle omega _ {2} subseseq mathbb {r} ^ {n},}

${displaystyle Omega _{2}subseteq mathbb {R} ^{n},}$ la carte canonique

{displayStyle {Mathcal {d}} ^ {prime} Left (Omega _ {1} fois Omega _ {2} à droite) à l_ {b} Left (c_ {c} ^ {infty} Left (Omega _ {2} à droite ); {Mathcal {d}} ^ {prime} gauche (Omega _ {1} à droite) à droite)}

${displaystyle {mathcal {D}}^{prime }left(Omega _{1}times Omega _{2}right)to L_{b}left(C_{c}^{infty }left(Omega _{2}right);{mathcal {D}}^{prime }left(Omega _{1}right)right)}$ est un isomorphisme des téléviseurs (où

gens

${displaystyle L_{b}left(C_{c}^{infty }left(Omega _{2}right);{mathcal {D}}^{prime }left(Omega _{1}right)right)}$ a la topologie de la convergence uniforme sur les sous-ensembles délimités) et en outre, ces deux espaces sont canoniquement TVS-isomorphes à

{displayStyle {Mathcal {d}} ^ {prime} Left (Omega _ {1} droit) {Widehat {Otimes}} {Mathcal {d}} ^ {prime} Left (Omega _ {2} droit)}

${displaystyle {mathcal {D}}^{prime }left(Omega _{1}right){widehat {otimes }}{mathcal {D}}^{prime }left(Omega _{2}right)}$ (Où depuis

{displayStyle {Mathcal {d}} ^ {prime} gauche (Omega _ {1} à droite)}

${displaystyle {mathcal {D}}^{prime }left(Omega _{1}right)}$ est nucléaire, ce produit tenseur est simultanément le produit du tenseur injectif et le produit tenseur projectif).
En bref, le théorème du noyau Schwartz déclare que:

{displayStyle {Mathcal {d}} ^ {prime} Left (Omega _ {1} fois Omega _ {2} droit) Cong {Mathcal {d}} ^ {prime} Left (oméga _ {1} droit) {WideHat {prime} Otimes}} {Mathcal {d}} ^ {prime} Left (Omega _ {2} droit) Cong L_ {B} Left (C_ {C} ^ {infty} Left (Omega _ {2} droit); {Mathcal {Mathcal {Mathcal {Mathcal {Mathcal {Mathcal D}} ^ {prime} gauche (Omega _ {1} à droite) à droite)}

où tous ces isomorphismes TVS sont canoniques.

Ce résultat est faux si l’on remplace l’espace

{displaystyle C_{c}^{infty }}

${displaystyle C_{c}^{infty }}$ avec

{displaystyle l ^ {2}}

$L^{2}$ (qui est un espace réflexif qui est même isomorphe à son propre double espace) et remplace

{displayStyle {Mathcal {d}} ^ {prime}}

${displaystyle {mathcal {D}}^{prime }}$ avec le dual de cela

{displaystyle l ^ {2}}

$L^{2}$ espace.
Pourquoi un tel résultat si agréable est-il valable pour l’espace des distributions et des fonctions de test, mais pas pour l’espace Hilbert

{displaystyle l ^ {2}}

$L^{2}$ (qui est généralement considéré comme l’un des “plus beaux” téléviseurs)?
Cette question a conduit Grothendieck à découvrir les espaces nucléaires, les cartes nucléaires et le produit du tenseur d’injectif.

Motivations de la géométrie [ modifier ]]

Un autre ensemble d’exemples de motivation vient directement de la géométrie et de la théorie des collecteurs lisses ^[3]^{Annexe 2}. Étant donné des variétés lisses

{displaystyle m, n}

$M,N$ et un espace vecteur topologique HAUSDORFF convexe localement, puis il y a les isomorphismes suivants des espaces nucléaires

${Displaystyle c ^ {infty} (m) otimes c$
${displaystyle c ^ {infty} (m) otimes fCong {f: mto f: f {text {est lisse}}}}$

En utilisant des produits de tenseur standard pour

{displayStyle c ^ {infty} (mathbb {r})}

${displaystyle C^{infty }(mathbb {R} )}$ En tant qu’espace vectoriel, la fonction

${displayStyle sin (x + y): mathbb {r} ^ {2} à mathbb {r}}$
${displaystyle sin(x+y):mathbb {R} ^{2}to mathbb {R} }$

ne peut pas être exprimé en fonction

{FIMES DIFFICATIONS G}

${displaystyle fotimes g}$ pour

{displayStyle f, gin c ^ {infty} (mathbb {r}).}

${displaystyle f,gin C^{infty }(mathbb {R} ).}$ Cela donne un exemple démontrant qu’il y a une inclusion stricte des ensembles

${displayStyle c ^ {infty} (mathbb {r}) otimes c ^ {infty} (mathbb {r}) coussin c ^ {infty} (mathbb {r} ^ {2}).}$
${displaystyle C^{infty }(mathbb {R} )otimes C^{infty }(mathbb {R} )subset C^{infty }(mathbb {R} ^{2}).}$

Définition [ modifier ]]

Cette section répertorie certaines des définitions les plus courantes d’un espace nucléaire. Les définitions ci-dessous sont toutes équivalentes. Notez que certains auteurs utilisent une définition plus restrictive d’un espace nucléaire, en ajoutant la condition que l’espace devrait également être un espace de fréquence. (Cela signifie que l’espace est complet et que la topologie est donnée par un dénombrable Famille de séminorms.)

La définition suivante a été utilisée par Grothendieck pour définir les espaces nucléaires.

Définition 0 : Laisser

{displaystyle x}

$X$ Soyez un espace vectoriel topologique localement convexe. Alors

{displaystyle x}

$X$ est nucléaire si pour un espace convexe localement

{displaystyle y,}

$Y,$ L’espace vectoriel canonique intégration

{displaystyle xotimes _ {pi} yto {mathcal {b}} _ {epsilon} gauche (x_ {sigma} ^ {prime}, y_ {sigma} ^ {prime} droit)}

${displaystyle Xotimes _{pi }Yto {mathcal {B}}_{epsilon }left(X_{sigma }^{prime },Y_{sigma }^{prime }right)}$ est une incorporation de téléviseurs dont l’image est dense dans le codomaine (où le domaine

{displayStyle xoTimes _ {pi} y}

${displaystyle Xotimes _{pi }Y}$ Le produit tenseur projectif est-il et le codomaine est l’espace de toutes les formes bilinéaires continues séparément sur

{displayStyle x_ {sigma} ^ {prime} fois y_ {sigma} ^ {prime}}

${displaystyle X_{sigma }^{prime }times Y_{sigma }^{prime }}$ doté de la topologie de la convergence uniforme sur des sous-ensembles équicontinus).

Nous commençons par rappeler des antécédents. Un espace vectoriel topologique convexe localement

{displaystyle x}

$X$ A une topologie définie par une famille de séminorms. Pour tout séminorm, la balle unitaire est un quartier symétrique convexe fermé de l’origine, et inversement tout quartier symétrique convexe fermé de 0 est la boule unitaire d’un séminorm. (Pour les espaces vectoriels complexes, la condition “symétrique” doit être remplacée par “équilibré”.)
Si

{displaystyle p}

$p$ est un séminorm sur

{displaystyle x,}

$X,$ alors

{displayStyle x_ {p}}

${displaystyle X_{p}}$ indique l’espace Banach donné en complétant l’espace normé auxiliaire en utilisant le séminorm

{DisplayStyle p.}

$p.$ Il y a une carte naturelle

{displayStyle xto x_ {p}}

${displaystyle Xto X_{p}}$ (pas nécessairement injectif).

{displayStyle Q}

$q$ est un autre séminorm, plus grand que

{displaystyle p}

$p$ (Pointwise en fonction

{displaystyle x}

$X$ ), alors il y a une carte naturelle de

{displayStyle x_ {q}}

$X_{q}$ pour

{displayStyle x_ {p}}

${displaystyle X_{p}}$ de telle sorte que la première carte facteurs comme

{displayStyle xto x_ {q} à x_ {p}.}

${displaystyle Xto X_{q}to X_{p}.}$ Ces cartes sont toujours continues. L’espace

{displaystyle x}

$X$ est nucléaire lorsqu’une affection plus forte tient, à savoir que ces cartes sont des opérateurs nucléaires. L’état d’être un opérateur nucléaire est subtil et plus de détails sont disponibles dans l’article correspondant.

Définition 1 : UN espace nucléaire est un espace vectoral topologique localement convexe tel que pour tout séminorm

{displaystyle p}

$p$ On peut trouver un plus grand séminorm

{displayStyle Q}

$q$ pour que la carte naturelle

{displayStyle x_ {q} à x_ {p}}

${displaystyle X_{q}to X_{p}}$ est nucléaire.

De manière informelle, cela signifie que chaque fois que nous recevons la boule de l’unité d’un séminorm, nous pouvons trouver une boule “beaucoup plus petite” d’un autre séminorm à l’intérieur, ou que tout quartier de 0 contient un quartier “beaucoup plus petit”. Il n’est pas nécessaire de vérifier cette condition pour tous les séminorms

{displaystyle p}

$p$ ; Il suffit de le vérifier pour un ensemble de séminorms qui génèrent la topologie, en d’autres termes, un ensemble de séminorms qui sont une sous-base pour la topologie.

Au lieu d’utiliser des espaces arbitraires de Banach et des opérateurs nucléaires, nous pouvons donner une définition en termes d’espaces Hilbert et d’opérateurs de classe de trace, qui sont plus faciles à comprendre.
(Sur les espaces de Hilbert, les opérateurs nucléaires sont souvent appelés opérateurs de classe de trace.)
Nous dirons qu’un séminorm

{displaystyle p}

$p$ est un Hilbert Seminorm si

{displayStyle x_ {p}}

${displaystyle X_{p}}$ est un espace Hilbert, ou de manière équivalente si

{displaystyle p}

$p$ vient d’une forme de semi-finite positive sesquilinéaire sur

{displayStyle X.}

$X.$

Définition 2 : UN espace nucléaire est un espace vectoriel topologique avec une topologie définie par une famille de Hilbert Seminorms, telle que pour tout Hilbert Seminorm

{displaystyle p}

$p$ On peut trouver un plus grand Hilbert Seminorm

{displayStyle Q}

$q$ afin que la carte naturelle de

{displayStyle x_ {q}}

$X_{q}$ pour

{displayStyle x_ {p}}

${displaystyle X_{p}}$ est la classe de trace.

Certains auteurs préfèrent utiliser des opérateurs Hilbert – Schmidt plutôt que des opérateurs de classe de trace. Cela fait peu de différence, car tout opérateur de classe de trace est Hilbert – Schmidt, et le produit de deux opérateurs de Hilbert – Schmidt est de classe de trace.

Définition 3 : UN espace nucléaire est un espace vectoriel topologique avec une topologie définie par une famille de Hilbert Seminorms, telle que pour tout Hilbert Seminorm

{displaystyle p}

$p$ On peut trouver un plus grand Hilbert Seminorm

{displayStyle Q}

$q$ afin que la carte naturelle de

{displayStyle x_ {q}}

$X_{q}$ pour

{displayStyle x_ {p}}

${displaystyle X_{p}}$ est Hilbert – Schmidt.

Si nous sommes disposés à utiliser le concept d’un opérateur nucléaire d’un espace vectoriel topologique arbitraire convexe localement à un espace de Banach, nous pouvons donner des définitions plus courtes comme suit:

Définition 4 : UN espace nucléaire est un espace vectoral topologique localement convexe tel que pour tout séminorm

{displaystyle p}

$p$ la carte naturelle de

{displayStyle xto x_ {p}}

${displaystyle Xto X_{p}}$ est nucléaire.

Définition 5 : UN espace nucléaire est un espace vectoral topologique localement convexe, de sorte que toute carte linéaire continue vers un espace Banach est nucléaire.

Grothendieck a utilisé une définition similaire à celle suivante:

Définition 6 : UN espace nucléaire est un espace vectoriel topologique localement convexe

{displaystyle a}

$A$ de telle sorte que pour tout espace vecteur topologique convexe localement

{displaystyle b}

$B$ la carte naturelle du projectif au produit du tenseur injectif de

{displaystyle a}

$A$ et

{displaystyle b}

$B$ est un isomorphisme.

En fait, il suffit de vérifier cela uniquement pour les espaces de Banach

{displaystyle b,}

$B,$ ou même juste pour l’espace de banach unique

{Displaystyle ell ^ {1}}

$ell ^{1}$ de séries absolument convergentes.

Caractérisations [ modifier ]]

Laisser

{displaystyle x}

$X$ Soyez un espace Hausdorff localement convexe. Ensuite, les éléments suivants sont équivalents:

${displaystyle x}$
pour tout espace convexe localement ${displaystyle y,}$
pour tout espace de banach ${displaystyle y,}$
pour tout espace HAUSDORFF convexe localement ${displaystyle y,}$
l’intégration canonique de ${DisplayStyle ell ^ {1} [mathbb {n}, x]}$
la carte canonique de ${DisplayStyle ell ^ {1} {widehat {otimes}} _ {pi} xto ell ^ {1} {widehat {otimes}} _ {epsilon} x}$
pour tout séminorm ${displaystyle p}$
pour tout séminorm ${displaystyle p}$
la topologie de ${displaystyle x}$
${displaystyle x}$
pour tout séminorm ${displaystyle p}$
Toute carte linéaire continue à un espace de Banach est nucléaire;
Chaque séminorm continu sur ${displaystyle x}$
chaque sous-ensemble équicontin de ${displaystyle x ^ {prime}}$
Chaque carte linéaire d’un espace de Banach dans ${displaystyle x ^ {prime}}$
l’achèvement ${displaystyle x}$

{displaystyle x}

$X$ est un espace de Fréchet, alors les éléments suivants sont équivalents:

${displaystyle x}$
Chaque séquence sommable dans ${displaystyle x}$
le fort dual de ${displaystyle x}$

Conditions suffisantes [ modifier ]]

Un espace HAUSDORFF convexe localement est nucléaire si et seulement si son achèvement est nucléaire.
Chaque sous-espace d’un espace nucléaire est nucléaire.
Chaque espace de quotient Hausdorff d’un espace nucléaire est nucléaire.
La limite inductive d’une séquence dénombrable d’espaces nucléaires est nucléaire.
La somme directe convexe localement d’une séquence dénombrable d’espaces nucléaires est nucléaire.
Le fort dual d’un espace de fréquence nucléaire est nucléaire.
- En général, le solide double d’un espace nucléaire peut ne pas être nucléaire.
Un espace de fréquence dont le dual fort est le nucléaire est lui-même nucléaire.
La limite d’une famille d’espaces nucléaires est nucléaire.
Le produit d’une famille d’espaces nucléaires est nucléaire.
L’achèvement d’un espace nucléaire est nucléaire (et en fait un espace est nucléaire si et seulement si son achèvement est nucléaire).
Le produit du tenseur de deux espaces nucléaires est nucléaire.
Le produit de tenseur projectif, ainsi que son achèvement, de deux espaces nucléaires sont nucléaires.

Supposer que

{displaystyle x, y,}

${displaystyle X,Y,}$ et

{displaystyle n}

$N$ sont des espaces convexes localement avec

{displaystyle n}

$N$ est nucléaire.

Exemples [ modifier ]]

{displayStyle d}

$d$ est un ensemble de n’importe quelle cardinalité, alors

{displayStyle Mathbb {r} ^ {d}}

$mathbb {R} ^{d}$ et

{displaystyle mathbb {C} ^{d}}

${displaystyle mathbb {C} ^{d}}$ (avec la topologie du produit) sont les deux espaces nucléaires.

Un exemple de dimension infinie relativement simple d’espace nucléaire est l’espace de toutes les séquences diminuées rapidement

{displayStyle c = Left (c_ {1}, c_ {2}, ldots à droite).}

${displaystyle c=left(c_{1},c_{2},ldots right).}$ (“Diminuer rapidement” signifie que

{DisplayStyle c_ {n} p (n)}

${displaystyle c_{n}p(n)}$ est délimité pour tout polynôme

{displaystyle p}

$p$ ). Pour chaque nombre réel

{displaystyle s,}

$s,$ il est possible de définir une norme

{displayStyle |, cdot, | _ {s}}

${displaystyle |,cdot ,|_{s}}$ par

{displayStyle | c | _ {s} = sup _ {} gauche | c_ {n} droite | n ^ {s}}

Si l’achèvement dans cette norme est

{displayStyle c_ {s},}

${displaystyle C_{s},}$ Ensuite, il y a une carte naturelle de

{displayStyle c_ {s} à c_ {t}}

${displaystyle C_{s}to C_{t}}$ chaque fois que

{displayStyle sgeq t,}

${displaystyle sgeq t,}$ Et c’est nucléaire chaque fois

{displaystyle s> t + 1}

${displaystyle s>t+1}”></span>Essentiellement parce que la série <span class=$

{DisplayStyle sum n ^ {t-s}}

${displaystyle sum n^{t-s}}$ est alors absolument convergent. En particulier pour chaque norme

{displayStyle |, cdot, | _ {t}}

${displaystyle |,cdot ,|_{t}}$ Ceci est possible pour trouver une autre norme, disons

{displayStyle |, cdot, | _ {t + 1},}

${displaystyle |,cdot ,|_{t+1},}$ tel que la carte

{displayStyle c_ {t + 2} à c_ {t}}

${displaystyle C_{t+2}to C_{t}}$ est nucléaire. L’espace est donc nucléaire.

L’espace des fonctions lisses sur tout collecteur compact est nucléaire.
L’espace Schwartz des fonctions lisses sur ${displayStyle Mathbb {r} ^ {n}}$
L’espace des fonctions holomorphes entières sur le plan complexe est nucléaire.
L’espace des distributions ${displayStyle {Mathcal {d}} ^ {prime},}$

Propriétés [ modifier ]]

Les espaces nucléaires sont à bien des égards similaires aux espaces de dimension finie et ont plusieurs de leurs bonnes propriétés.

Le théorème du noyau [ modifier ]]

Théorème du noyau Schwartz : Supposer que

{displaystyle x}

$X$ est nucléaire,

{displaystyle y}

$Y$ est localement convexe, et

{DisplayStyle V}

$v$ est une forme bilinéaire continue sur

{displaystyle xtimes y.}

${displaystyle Xtimes Y.}$ Alors

{DisplayStyle V}

$v$ provient d’un espace de la forme

{displayStyle x_ {a ^ {prime}} ^ {prime} {widehat {otimes}} _ {epsilon} y_ {b ^ {prime}} ^ {prime}}

${displaystyle X_{A^{prime }}^{prime }{widehat {otimes }}_{epsilon }Y_{B^{prime }}^{prime }}$ où

{displaystyle a ^ {prime}}

${displaystyle A^{prime }}$ et

{displaystyle b ^ {prime}}

$B^{{prime }}$ sont des sous-ensembles équicontinus appropriés de

{displaystyle x ^ {prime}}

${displaystyle X^{prime }}$ et

{displaystyle y ^ {prime}.}

${displaystyle Y^{prime }.}$ De manière équivalente,

{DisplayStyle V}

$v$ est de la forme,

{displayStyle v (x, y) = sum _ {i = 1} ^ {infty} lambda _ {i} gauche de gauche x, x_ {i} ^ {prime} Rightrangl Gardangle y, y_ {i} ^ ^ {prime} Rightrangl quad {text {pour tout}} (x, y) dans xtimes y}

où

{displayStyle gauche (lambda _ {i} à droite) dans ell ^ {1}}

${displaystyle left(lambda _{i}right)in ell ^{1}}$ et chacun de

{displayStyle gauche {x_ {1} ^ {prime}, x_ {2} ^ {prime}, ldots à droite}}

${displaystyle left{x_{1}^{prime },x_{2}^{prime },ldots right}}$ et

{displayStyle gauche {y_ {1} ^ {prime}, y_ {2} ^ {prime}, ldots à droite}}

${displaystyle left{y_{1}^{prime },y_{2}^{prime },ldots right}}$ sont équicontinious. De plus, ces séquences peuvent être considérées comme des séquences nulles (c’est-à-dire convergentes vers 0)

{displayStyle x_ {a ^ {prime}} ^ {prime}}

${displaystyle X_{A^{prime }}^{prime }}$ et

{displayStyle y_ {b ^ {prime}} ^ {prime},}

${displaystyle Y_{B^{prime }}^{prime },}$ respectivement.

Théorème de Bochner – Minlos [ modifier ]]

Un fonctionnel continu

{DisplayStyle C}

$C$ sur un espace nucléaire

{displaystyle a}

$A$ est appelé un fonctionnel caractéristique si

{displayStyle C (0) = 1,}

${displaystyle C(0)=1,}$ Et pour tout complexe

{displayStyle z_ {j} {text {et}} x_ {j} dans a,}

${displaystyle z_{j}{text{ and }}x_{j}in A,}$

{DisplayStyle j, k = 1, ldots, n,}

${displaystyle j,k=1,ldots ,n,}$

M SOVET SLEXT SLEX & HYOY MPIE EM KRUE M KOME M KOMMAS M KUPMONKOR Kötrue) MALM MMMONT MYMKM MMMKM) EMM 0. Phil.

Étant donné une fonctionnalité caractéristique sur un espace nucléaire

{displaystyle a,}

$A,$ le Théorème de Bochner – Minlos (Après Salomon Bochner et Robert Adol’fovich Minlos) garantit l’existence et l’unicité de la mesure de probabilité correspondante

{displaystyle mu}

$mu$ sur le double espace

{displayStyle a ^ {prime},}

${displaystyle A^{prime },}$ donné par

{displayStyle c (y) = int _ {a ^ {prime}} e ^ {ilangle x, yrangle}, dmu (x).}

Cela étend la transformée de Fourier inverse en espaces nucléaires.

En particulier, si

{displaystyle a}

$A$ est l’espace nucléaire

{displayStyle a = bigcap _ {k = 0} ^ {infty} h_ {k},}

où

{displayStyle h_ {k}}

$H_{k}$ sont des espaces Hilbert, le théorème de Bochner – Minlos garantit l’existence d’une mesure de probabilité avec la fonction caractéristique

{displayStyle e ^ {- {frac {1} {2}} | y | _ {h_ {0}} ^ {2}},}

${displaystyle e^{-{frac {1}{2}}|y|_{H_{0}}^{2}},}$ c’est-à-dire l’existence de la mesure gaussienne sur le double espace. Une telle mesure est appelée mesure du bruit blanc . Quand

{displaystyle a}

$A$ est l’espace Schwartz, l’élément aléatoire correspondant est une distribution aléatoire.

Espaces nucléaires fortement [ modifier ]]

UN Espace fortement nucléaire est un espace vectoral topologique localement convexe tel que pour tout séminorm

{displaystyle p}

$p$ il existe un plus grand séminorm

{displayStyle Q}

$q$ pour que la carte naturelle

{displayStyle x_ {q} à x_ {p}}

${displaystyle X_{q}to X_{p}}$ est un nucléaire fortement.

Voir également [ modifier ]]

Les références [ modifier ]]

Bibliographie [ modifier ]]

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Espace nucléaire – Wikipedia wiki

Motivation originale: le théorème du noyau Schwartz [ modifier ]]

Motivations de la géométrie [ modifier ]]

Définition [ modifier ]]

Caractérisations [ modifier ]]

Conditions suffisantes [ modifier ]]

Exemples [ modifier ]]

Propriétés [ modifier ]]

Le théorème du noyau [ modifier ]]

Théorème de Bochner – Minlos [ modifier ]]

Espaces nucléaires fortement [ modifier ]]

Voir également [ modifier ]]

Les références [ modifier ]]

Bibliographie [ modifier ]]

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