[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/espace-nucleaire-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/espace-nucleaire-wikipedia\/","headline":"Espace nucl\u00e9aire – Wikipedia wiki","name":"Espace nucl\u00e9aire – Wikipedia wiki","description":"before-content-x4 Une g\u00e9n\u00e9ralisation des espaces euclidiens dimensionnels finis diff\u00e9rents des espaces Hilbert after-content-x4 En math\u00e9matiques, espaces nucl\u00e9aires sont des espaces","datePublished":"2019-06-22","dateModified":"2019-06-22","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/c9645c498c9701c88b89b8537773dd7c?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/c9645c498c9701c88b89b8537773dd7c?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/ba863cae04c766a9c67fb249dd2b41117e218aa5","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/ba863cae04c766a9c67fb249dd2b41117e218aa5","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/espace-nucleaire-wikipedia\/","wordCount":23671,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4Une g\u00e9n\u00e9ralisation des espaces euclidiens dimensionnels finis diff\u00e9rents des espaces Hilbert        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4En math\u00e9matiques, espaces nucl\u00e9aires sont des espaces vectoriels topologiques qui peuvent \u00eatre consid\u00e9r\u00e9s comme une g\u00e9n\u00e9ralisation des espaces euclidiens dimensionnels finis et partager bon nombre de leurs propri\u00e9t\u00e9s souhaitables. Les espaces nucl\u00e9aires sont cependant tr\u00e8s diff\u00e9rents des espaces de Hilbert, une autre g\u00e9n\u00e9ralisation des espaces euclidiens dimensionnels finis. Ils ont \u00e9t\u00e9 pr\u00e9sent\u00e9s par Alexander Grothendieck. La topologie sur les espaces nucl\u00e9aires peut \u00eatre d\u00e9finie par une famille de s\u00e9minorms dont les balles unitaires diminuent rapidement. Les espaces vectoriels dont les \u00e9l\u00e9ments sont \u00ablisses\u00bb dans un certain sens ont tendance \u00e0 \u00eatre des espaces nucl\u00e9aires; Un exemple typique d’un espace nucl\u00e9aire est l’ensemble des fonctions lisses sur un collecteur compact. Tous les espaces vectoriels de dimension finie sont nucl\u00e9aires. Il n’y a pas d’espaces Banach qui sont nucl\u00e9aires, \u00e0 l’exception des dimensions finies. En pratique pas Un espace de Banach, puis il y a de fortes chances qu’il soit nucl\u00e9aire.         (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Table of ContentsMotivation originale: le th\u00e9or\u00e8me du noyau Schwartz [ modifier ]] Motivations de la g\u00e9om\u00e9trie [ modifier ]] D\u00e9finition [ modifier ]] Caract\u00e9risations [ modifier ]] Conditions suffisantes [ modifier ]] Exemples [ modifier ]] Propri\u00e9t\u00e9s [ modifier ]] Le th\u00e9or\u00e8me du noyau [ modifier ]] Th\u00e9or\u00e8me de Bochner – Minlos [ modifier ]] Espaces nucl\u00e9aires fortement [ modifier ]] Voir \u00e9galement [ modifier ]] Les r\u00e9f\u00e9rences [ modifier ]] Bibliographie [ modifier ]] Motivation originale: le th\u00e9or\u00e8me du noyau Schwartz [ modifier ]] Une grande partie de la th\u00e9orie des espaces nucl\u00e9aires a \u00e9t\u00e9 d\u00e9velopp\u00e9e par Alexander Grothendieck lors de l’\u00e9tude du th\u00e9or\u00e8me du noyau Schwartz et publi\u00e9e dans (Grothendieck 1955). Nous d\u00e9crivons maintenant cette motivation. Pour tous les sous-ensembles ouverts Oh d’abord \u2286 R m {displayStyle Omega _ {1} subseseq mathbb {r} ^ {m}} et        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Oh 2 \u2286 R n , {displayStyle omega _ {2} subseseq mathbb {r} ^ {n},} la carte canonique D\u2032 ( \u03a91\u00d7 \u03a92) \u2192 L b ( Cc\u221e(\u03a92); D\u2032(\u03a91)) {displayStyle {Mathcal {d}} ^ {prime} Left (Omega _ {1} fois Omega _ {2} \u00e0 droite) \u00e0 l_ {b} Left (c_ {c} ^ {infty} Left (Omega _ {2} \u00e0 droite ); {Mathcal {d}} ^ {prime} gauche (Omega _ {1} \u00e0 droite) \u00e0 droite)} est un isomorphisme des t\u00e9l\u00e9viseurs (o\u00f9 L b ( Cc\u221e(\u03a92); D\u2032(\u03a91)) gens a la topologie de la convergence uniforme sur les sous-ensembles d\u00e9limit\u00e9s) et en outre, ces deux espaces sont canoniquement TVS-isomorphes \u00e0 D\u2032 ( Oh 1) \u2297^D\u2032 ( Oh 2) {displayStyle {Mathcal {d}} ^ {prime} Left (Omega _ {1} droit) {Widehat {Otimes}} {Mathcal {d}} ^ {prime} Left (Omega _ {2} droit)} (O\u00f9 depuis D\u2032 ( Oh 1) {displayStyle {Mathcal {d}} ^ {prime} gauche (Omega _ {1} \u00e0 droite)} est nucl\u00e9aire, ce produit tenseur est simultan\u00e9ment le produit du tenseur injectif et le produit tenseur projectif).En bref, le th\u00e9or\u00e8me du noyau Schwartz d\u00e9clare que: D \u2032 ( Oh 1\u00d7 Oh 2) \u2245 D \u2032 ( Oh d’abord ) \u2297 ^ D \u2032 ( Oh 2 ) \u2245 L b ( C c\u221e( \u03a92) ; D\u2032( \u03a91) ) {displayStyle {Mathcal {d}} ^ {prime} Left (Omega _ {1} fois Omega _ {2} droit) Cong {Mathcal {d}} ^ {prime} Left (om\u00e9ga _ {1} droit) {WideHat {prime} Otimes}} {Mathcal {d}} ^ {prime} Left (Omega _ {2} droit) Cong L_ {B} Left (C_ {C} ^ {infty} Left (Omega _ {2} droit); {Mathcal {Mathcal {Mathcal {Mathcal {Mathcal {Mathcal D}} ^ {prime} gauche (Omega _ {1} \u00e0 droite) \u00e0 droite)} o\u00f9 tous ces isomorphismes TVS sont canoniques. Ce r\u00e9sultat est faux si l’on remplace l’espace C c \u221e {displaystyle C_{c}^{infty }} avec L 2 {displaystyle l ^ {2}} (qui est un espace r\u00e9flexif qui est m\u00eame isomorphe \u00e0 son propre double espace) et remplace D\u2032 {displayStyle {Mathcal {d}} ^ {prime}} avec le dual de cela L 2 {displaystyle l ^ {2}} espace.Pourquoi un tel r\u00e9sultat si agr\u00e9able est-il valable pour l’espace des distributions et des fonctions de test, mais pas pour l’espace Hilbert L 2 {displaystyle l ^ {2}} (qui est g\u00e9n\u00e9ralement consid\u00e9r\u00e9 comme l’un des “plus beaux” t\u00e9l\u00e9viseurs)?Cette question a conduit Grothendieck \u00e0 d\u00e9couvrir les espaces nucl\u00e9aires, les cartes nucl\u00e9aires et le produit du tenseur d’injectif. Motivations de la g\u00e9om\u00e9trie [ modifier ]] Un autre ensemble d’exemples de motivation vient directement de la g\u00e9om\u00e9trie et de la th\u00e9orie des collecteurs lisses [3] Annexe 2 . \u00c9tant donn\u00e9 des vari\u00e9t\u00e9s lisses M , N {displaystyle m, n} et un espace vecteur topologique HAUSDORFF convexe localement, puis il y a les isomorphismes suivants des espaces nucl\u00e9aires C \u221e( M ) \u2297 C \u221e( N ) \u2245 C \u221e( M \u00d7 N ) {Displaystyle c ^ {infty} (m) otimes c C \u221e( M ) \u2297 F \u2245 { F : M \u2192 F : F est lisse } {displaystyle c ^ {infty} (m) otimes fCong {f: mto f: f {text {est lisse}}}} En utilisant des produits de tenseur standard pour C \u221e ( R ) {displayStyle c ^ {infty} (mathbb {r})} En tant qu’espace vectoriel, la fonction p\u00e9ch\u00e9 \u2061 ( X + et ) : R2\u2192 R {displayStyle sin (x + y): mathbb {r} ^ {2} \u00e0 mathbb {r}} ne peut pas \u00eatre exprim\u00e9 en fonction F \u2297 g {FIMES DIFFICATIONS G} pour F , g \u2208 C \u221e ( R ) . {displayStyle f, gin c ^ {infty} (mathbb {r}).} Cela donne un exemple d\u00e9montrant qu’il y a une inclusion stricte des ensembles C \u221e( R ) \u2297 C \u221e( R ) \u2282 C \u221e( R2) . {displayStyle c ^ {infty} (mathbb {r}) otimes c ^ {infty} (mathbb {r}) coussin c ^ {infty} (mathbb {r} ^ {2}).} D\u00e9finition [ modifier ]] Cette section r\u00e9pertorie certaines des d\u00e9finitions les plus courantes d’un espace nucl\u00e9aire. Les d\u00e9finitions ci-dessous sont toutes \u00e9quivalentes. Notez que certains auteurs utilisent une d\u00e9finition plus restrictive d’un espace nucl\u00e9aire, en ajoutant la condition que l’espace devrait \u00e9galement \u00eatre un espace de fr\u00e9quence. (Cela signifie que l’espace est complet et que la topologie est donn\u00e9e par un d\u00e9nombrable Famille de s\u00e9minorms.) La d\u00e9finition suivante a \u00e9t\u00e9 utilis\u00e9e par Grothendieck pour d\u00e9finir les espaces nucl\u00e9aires. D\u00e9finition 0 : Laisser X {displaystyle x} Soyez un espace vectoriel topologique localement convexe. Alors X {displaystyle x} est nucl\u00e9aire si pour un espace convexe localement ET , {displaystyle y,} L’espace vectoriel canonique int\u00e9gration X \u2297 Pi ET \u2192 B\u03f5 ( X\u03c3\u2032, Y\u03c3\u2032) {displaystyle xotimes _ {pi} yto {mathcal {b}} _ {epsilon} gauche (x_ {sigma} ^ {prime}, y_ {sigma} ^ {prime} droit)} est une incorporation de t\u00e9l\u00e9viseurs dont l’image est dense dans le codomaine (o\u00f9 le domaine X \u2297 Pi ET {displayStyle xoTimes _ {pi} y} Le produit tenseur projectif est-il et le codomaine est l’espace de toutes les formes bilin\u00e9aires continues s\u00e9par\u00e9ment sur X un \u2032 \u00d7 ET un \u2032 {displayStyle x_ {sigma} ^ {prime} fois y_ {sigma} ^ {prime}} dot\u00e9 de la topologie de la convergence uniforme sur des sous-ensembles \u00e9quicontinus). Nous commen\u00e7ons par rappeler des ant\u00e9c\u00e9dents. Un espace vectoriel topologique convexe localement X {displaystyle x} A une topologie d\u00e9finie par une famille de s\u00e9minorms. Pour tout s\u00e9minorm, la balle unitaire est un quartier sym\u00e9trique convexe ferm\u00e9 de l’origine, et inversement tout quartier sym\u00e9trique convexe ferm\u00e9 de 0 est la boule unitaire d’un s\u00e9minorm. (Pour les espaces vectoriels complexes, la condition “sym\u00e9trique” doit \u00eatre remplac\u00e9e par “\u00e9quilibr\u00e9”.)Si p {displaystyle p} est un s\u00e9minorm sur X , {displaystyle x,} alors X p {displayStyle x_ {p}} indique l’espace Banach donn\u00e9 en compl\u00e9tant l’espace norm\u00e9 auxiliaire en utilisant le s\u00e9minorm p . {DisplayStyle p.} Il y a une carte naturelle X \u2192 X p {displayStyle xto x_ {p}} (pas n\u00e9cessairement injectif). Si q {displayStyle Q} est un autre s\u00e9minorm, plus grand que p {displaystyle p} (Pointwise en fonction X {displaystyle x} ), alors il y a une carte naturelle de X q {displayStyle x_ {q}} pour X p {displayStyle x_ {p}} de telle sorte que la premi\u00e8re carte facteurs comme X \u2192 X q \u2192 X p . {displayStyle xto x_ {q} \u00e0 x_ {p}.} Ces cartes sont toujours continues. L’espace X {displaystyle x} est nucl\u00e9aire lorsqu’une affection plus forte tient, \u00e0 savoir que ces cartes sont des op\u00e9rateurs nucl\u00e9aires. L’\u00e9tat d’\u00eatre un op\u00e9rateur nucl\u00e9aire est subtil et plus de d\u00e9tails sont disponibles dans l’article correspondant. D\u00e9finition 1 : UN espace nucl\u00e9aire est un espace vectoral topologique localement convexe tel que pour tout s\u00e9minorm p {displaystyle p} On peut trouver un plus grand s\u00e9minorm q {displayStyle Q} pour que la carte naturelle X q \u2192 X p {displayStyle x_ {q} \u00e0 x_ {p}} est nucl\u00e9aire. De mani\u00e8re informelle, cela signifie que chaque fois que nous recevons la boule de l’unit\u00e9 d’un s\u00e9minorm, nous pouvons trouver une boule “beaucoup plus petite” d’un autre s\u00e9minorm \u00e0 l’int\u00e9rieur, ou que tout quartier de 0 contient un quartier “beaucoup plus petit”. Il n’est pas n\u00e9cessaire de v\u00e9rifier cette condition pour tous les s\u00e9minorms p {displaystyle p} ; Il suffit de le v\u00e9rifier pour un ensemble de s\u00e9minorms qui g\u00e9n\u00e8rent la topologie, en d’autres termes, un ensemble de s\u00e9minorms qui sont une sous-base pour la topologie. Au lieu d’utiliser des espaces arbitraires de Banach et des op\u00e9rateurs nucl\u00e9aires, nous pouvons donner une d\u00e9finition en termes d’espaces Hilbert et d’op\u00e9rateurs de classe de trace, qui sont plus faciles \u00e0 comprendre.(Sur les espaces de Hilbert, les op\u00e9rateurs nucl\u00e9aires sont souvent appel\u00e9s op\u00e9rateurs de classe de trace.)Nous dirons qu’un s\u00e9minorm p {displaystyle p} est un Hilbert Seminorm si X p {displayStyle x_ {p}} est un espace Hilbert, ou de mani\u00e8re \u00e9quivalente si p {displaystyle p} vient d’une forme de semi-finite positive sesquilin\u00e9aire sur X . {displayStyle X.}  D\u00e9finition 2 : UN espace nucl\u00e9aire est un espace vectoriel topologique avec une topologie d\u00e9finie par une famille de Hilbert Seminorms, telle que pour tout Hilbert Seminorm p {displaystyle p} On peut trouver un plus grand Hilbert Seminorm q {displayStyle Q} afin que la carte naturelle de X q {displayStyle x_ {q}} pour X p {displayStyle x_ {p}} est la classe de trace. Certains auteurs pr\u00e9f\u00e8rent utiliser des op\u00e9rateurs Hilbert – Schmidt plut\u00f4t que des op\u00e9rateurs de classe de trace. Cela fait peu de diff\u00e9rence, car tout op\u00e9rateur de classe de trace est Hilbert – Schmidt, et le produit de deux op\u00e9rateurs de Hilbert – Schmidt est de classe de trace. D\u00e9finition 3 : UN espace nucl\u00e9aire est un espace vectoriel topologique avec une topologie d\u00e9finie par une famille de Hilbert Seminorms, telle que pour tout Hilbert Seminorm p {displaystyle p} On peut trouver un plus grand Hilbert Seminorm q {displayStyle Q} afin que la carte naturelle de X q {displayStyle x_ {q}} pour X p {displayStyle x_ {p}} est Hilbert – Schmidt. Si nous sommes dispos\u00e9s \u00e0 utiliser le concept d’un op\u00e9rateur nucl\u00e9aire d’un espace vectoriel topologique arbitraire convexe localement \u00e0 un espace de Banach, nous pouvons donner des d\u00e9finitions plus courtes comme suit: D\u00e9finition 4 : UN espace nucl\u00e9aire est un espace vectoral topologique localement convexe tel que pour tout s\u00e9minorm p {displaystyle p} la carte naturelle de X \u2192 X p {displayStyle xto x_ {p}} est nucl\u00e9aire. D\u00e9finition 5 : UN espace nucl\u00e9aire est un espace vectoral topologique localement convexe, de sorte que toute carte lin\u00e9aire continue vers un espace Banach est nucl\u00e9aire. Grothendieck a utilis\u00e9 une d\u00e9finition similaire \u00e0 celle suivante: D\u00e9finition 6 : UN espace nucl\u00e9aire est un espace vectoriel topologique localement convexe UN {displaystyle a} de telle sorte que pour tout espace vecteur topologique convexe localement B {displaystyle b} la carte naturelle du projectif au produit du tenseur injectif de UN {displaystyle a} et B {displaystyle b} est un isomorphisme. En fait, il suffit de v\u00e9rifier cela uniquement pour les espaces de Banach B , {displaystyle b,} ou m\u00eame juste pour l’espace de banach unique \u2113 d’abord {Displaystyle ell ^ {1}} de s\u00e9ries absolument convergentes. Caract\u00e9risations [ modifier ]] Laisser X {displaystyle x} Soyez un espace Hausdorff localement convexe. Ensuite, les \u00e9l\u00e9ments suivants sont \u00e9quivalents: X {displaystyle x} est nucl\u00e9aire; pour tout espace convexe localement ET , {displaystyle y,} L’espace vectoriel canonique int\u00e9gration X \u2297 \u03c0ET \u2192 B\u03f5( X\u03c3\u2032,Y\u03c3\u2032) {displaystyle xotimes _ {pi} yto {mathcal {b}} _ {epsilon} gauche (x_ {sigma} ^ {prime}, y_ {sigma} ^ {prime} droit)} est une incorporation de t\u00e9l\u00e9viseurs dont l’image est dense dans le codomaine; pour tout espace de banach ET , {displaystyle y,} L’espace vectoriel canonique int\u00e9gration X \u2297^\u03c0ET \u2192 X \u2297^\u03f5ET {displayStyle x {widehat {otimes}} _ {pi} yto x {widehat {otimes}} _ {epsilon} y} est un isomorphisme surjectif de TVSS; pour tout espace HAUSDORFF convexe localement ET , {displaystyle y,} L’espace vectoriel canonique int\u00e9gration X \u2297^\u03c0ET \u2192 X \u2297^\u03f5ET {displayStyle x {widehat {otimes}} _ {pi} yto x {widehat {otimes}} _ {epsilon} y} est un isomorphisme surjectif de TVSS; l’int\u00e9gration canonique de \u2113 1[ N , X ]] {DisplayStyle ell ^ {1} [mathbb {n}, x]} dans \u2113 1( N , X ) {DisplayStyle ell ^ {1} (mathbb {n}, x)} est un isomorphisme surjectif de TVSS; la carte canonique de \u2113 1\u2297^\u03c0X \u2192 \u2113 1\u2297^\u03f5X {DisplayStyle ell ^ {1} {widehat {otimes}} _ {pi} xto ell ^ {1} {widehat {otimes}} _ {epsilon} x} est un isomorphisme TVS surjectif. pour tout s\u00e9minorm p {displaystyle p} On peut trouver un plus grand s\u00e9minorm q {displayStyle Q} pour que la carte naturelle X q\u2192 X p{displayStyle x_ {q} \u00e0 x_ {p}} est nucl\u00e9aire; pour tout s\u00e9minorm p {displaystyle p} On peut trouver un plus grand s\u00e9minorm q {displayStyle Q} afin que l’injection canonique X p\u2032\u2192 X q\u2032{displayStyle x_ {p} ^ {prime} \u00e0 x_ {q} ^ {prime}} est nucl\u00e9aire; la topologie de X {displaystyle x} est d\u00e9fini par une famille de Hilbert Seminorms, telle que pour tout Hilbert Seminorm p {displaystyle p} On peut trouver un plus grand Hilbert Seminorm q {displayStyle Q} pour que la carte naturelle X q\u2192 X p{displayStyle x_ {q} \u00e0 x_ {p}} est la classe Trace; X {displaystyle x} a une topologie d\u00e9finie par une famille de Hilbert Seminorms, telle que pour tout Hilbert Seminorm p {displaystyle p} On peut trouver un plus grand Hilbert Seminorm q {displayStyle Q} pour que la carte naturelle X q\u2192 X p{displayStyle x_ {q} \u00e0 x_ {p}} est Hilbert – Schmidt; pour tout s\u00e9minorm p {displaystyle p} la carte naturelle de X \u2192 X p{displayStyle xto x_ {p}} est nucl\u00e9aire. Toute carte lin\u00e9aire continue \u00e0 un espace de Banach est nucl\u00e9aire; Chaque s\u00e9minorm continu sur X {displaystyle x} est pr\u00e9nucl\u00e9aire; chaque sous-ensemble \u00e9quicontin de X \u2032{displaystyle x ^ {prime}} est pr\u00e9nucl\u00e9aire; Chaque carte lin\u00e9aire d’un espace de Banach dans X \u2032{displaystyle x ^ {prime}} qui transforme la balle unitaire en un ensemble \u00e9quicontin, est nucl\u00e9aire; l’ach\u00e8vement X {displaystyle x} est un espace nucl\u00e9aire; Si X {displaystyle x} est un espace de Fr\u00e9chet, alors les \u00e9l\u00e9ments suivants sont \u00e9quivalents: X {displaystyle x} est nucl\u00e9aire; Chaque s\u00e9quence sommable dans X {displaystyle x} est absolument sommable; le fort dual de X {displaystyle x} est nucl\u00e9aire; Conditions suffisantes [ modifier ]] Un espace HAUSDORFF convexe localement est nucl\u00e9aire si et seulement si son ach\u00e8vement est nucl\u00e9aire. Chaque sous-espace d’un espace nucl\u00e9aire est nucl\u00e9aire. Chaque espace de quotient Hausdorff d’un espace nucl\u00e9aire est nucl\u00e9aire. La limite inductive d’une s\u00e9quence d\u00e9nombrable d’espaces nucl\u00e9aires est nucl\u00e9aire. La somme directe convexe localement d’une s\u00e9quence d\u00e9nombrable d’espaces nucl\u00e9aires est nucl\u00e9aire. Le fort dual d’un espace de fr\u00e9quence nucl\u00e9aire est nucl\u00e9aire.En g\u00e9n\u00e9ral, le solide double d’un espace nucl\u00e9aire peut ne pas \u00eatre nucl\u00e9aire. Un espace de fr\u00e9quence dont le dual fort est le nucl\u00e9aire est lui-m\u00eame nucl\u00e9aire. La limite d’une famille d’espaces nucl\u00e9aires est nucl\u00e9aire. Le produit d’une famille d’espaces nucl\u00e9aires est nucl\u00e9aire. L’ach\u00e8vement d’un espace nucl\u00e9aire est nucl\u00e9aire (et en fait un espace est nucl\u00e9aire si et seulement si son ach\u00e8vement est nucl\u00e9aire). Le produit du tenseur de deux espaces nucl\u00e9aires est nucl\u00e9aire. Le produit de tenseur projectif, ainsi que son ach\u00e8vement, de deux espaces nucl\u00e9aires sont nucl\u00e9aires. Supposer que X , ET , {displaystyle x, y,} et N {displaystyle n} sont des espaces convexes localement avec N {displaystyle n} est nucl\u00e9aire. Exemples [ modifier ]] Si d {displayStyle d} est un ensemble de n’importe quelle cardinalit\u00e9, alors R d {displayStyle Mathbb {r} ^ {d}} et C d {displaystyle mathbb {C} ^{d}} (avec la topologie du produit) sont les deux espaces nucl\u00e9aires. Un exemple de dimension infinie relativement simple d’espace nucl\u00e9aire est l’espace de toutes les s\u00e9quences diminu\u00e9es rapidement c = ( c1, c2, … ) . {displayStyle c = Left (c_ {1}, c_ {2}, ldots \u00e0 droite).} (“Diminuer rapidement” signifie que c n p ( n ) {DisplayStyle c_ {n} p (n)} est d\u00e9limit\u00e9 pour tout polyn\u00f4me p {displaystyle p} ). Pour chaque nombre r\u00e9el s , {displaystyle s,} il est possible de d\u00e9finir une norme \u2016 \u22c5 \u2016 s {displayStyle |, cdot, | _ {s}} par \u2016 c \u2016 s = souper | c n | n s {displayStyle | c | _ {s} = sup _ {} gauche | c_ {n} droite | n ^ {s}} Si l’ach\u00e8vement dans cette norme est C s , {displayStyle c_ {s},} Ensuite, il y a une carte naturelle de C s \u2192 C t {displayStyle c_ {s} \u00e0 c_ {t}} chaque fois que s \u2265 t , {displayStyle sgeq t,} Et c’est nucl\u00e9aire chaque fois t+1}”>Essentiellement parce que la s\u00e9rie \u2211 n t – s {DisplayStyle sum n ^ {t-s}} est alors absolument convergent. En particulier pour chaque norme \u2016 \u22c5 \u2016 t {displayStyle |, cdot, | _ {t}} Ceci est possible pour trouver une autre norme, disons \u2016 \u22c5 \u2016 t + d’abord , {displayStyle |, cdot, | _ {t + 1},} tel que la carte C t + 2 \u2192 C t {displayStyle c_ {t + 2} \u00e0 c_ {t}} est nucl\u00e9aire. L’espace est donc nucl\u00e9aire. L’espace des fonctions lisses sur tout collecteur compact est nucl\u00e9aire. L’espace Schwartz des fonctions lisses sur Rn{displayStyle Mathbb {r} ^ {n}} pour lequel les d\u00e9riv\u00e9s de tous les ordres diminuent rapidement est un espace nucl\u00e9aire. L’espace des fonctions holomorphes enti\u00e8res sur le plan complexe est nucl\u00e9aire. L’espace des distributions D\u2032, {displayStyle {Mathcal {d}} ^ {prime},} le fort dual de D, {displayStyle {Mathcal {d}},} est nucl\u00e9aire. Propri\u00e9t\u00e9s [ modifier ]] Les espaces nucl\u00e9aires sont \u00e0 bien des \u00e9gards similaires aux espaces de dimension finie et ont plusieurs de leurs bonnes propri\u00e9t\u00e9s. Le th\u00e9or\u00e8me du noyau [ modifier ]] Une grande partie de la th\u00e9orie des espaces nucl\u00e9aires a \u00e9t\u00e9 d\u00e9velopp\u00e9e par Alexander Grothendieck lors de l’\u00e9tude du th\u00e9or\u00e8me du noyau Schwartz et publi\u00e9e dans (Grothendieck 1955). Nous avons la g\u00e9n\u00e9ralisation suivante du th\u00e9or\u00e8me. Th\u00e9or\u00e8me du noyau Schwartz : Supposer que X {displaystyle x} est nucl\u00e9aire, ET {displaystyle y} est localement convexe, et dans {DisplayStyle V} est une forme bilin\u00e9aire continue sur X \u00d7 ET . {displaystyle xtimes y.} Alors dans {DisplayStyle V} provient d’un espace de la forme X A\u2032\u2032 \u2297^\u03f5 ET B\u2032\u2032 {displayStyle x_ {a ^ {prime}} ^ {prime} {widehat {otimes}} _ {epsilon} y_ {b ^ {prime}} ^ {prime}} o\u00f9 UN \u2032 {displaystyle a ^ {prime}} et B \u2032 {displaystyle b ^ {prime}} sont des sous-ensembles \u00e9quicontinus appropri\u00e9s de X \u2032 {displaystyle x ^ {prime}} et ET \u2032 . {displaystyle y ^ {prime}.} De mani\u00e8re \u00e9quivalente, dans {DisplayStyle V} est de la forme, dans ( X , et ) = \u2211 je = d’abord \u221e l je \u27e8 X , X i\u2032\u27e9 \u27e8 et , et i\u2032\u27e9 pour tous ( X , et ) \u2208 X \u00d7 ET {displayStyle v (x, y) = sum _ {i = 1} ^ {infty} lambda _ {i} gauche de gauche x, x_ {i} ^ {prime} Rightrangl Gardangle y, y_ {i} ^ ^ {prime} Rightrangl quad {text {pour tout}} (x, y) dans xtimes y} o\u00f9 ( l je ) \u2208 \u2113 d’abord {displayStyle gauche (lambda _ {i} \u00e0 droite) dans ell ^ {1}} et chacun de { X 1\u2032, X 2\u2032, … } {displayStyle gauche {x_ {1} ^ {prime}, x_ {2} ^ {prime}, ldots \u00e0 droite}} et { et 1\u2032, et 2\u2032, … } {displayStyle gauche {y_ {1} ^ {prime}, y_ {2} ^ {prime}, ldots \u00e0 droite}} sont \u00e9quicontinious. De plus, ces s\u00e9quences peuvent \u00eatre consid\u00e9r\u00e9es comme des s\u00e9quences nulles (c’est-\u00e0-dire convergentes vers 0) X UN \u2032\u2032 {displayStyle x_ {a ^ {prime}} ^ {prime}} et ET B \u2032\u2032 , {displayStyle y_ {b ^ {prime}} ^ {prime},} respectivement. Th\u00e9or\u00e8me de Bochner – Minlos [ modifier ]] Un fonctionnel continu C {DisplayStyle C} sur un espace nucl\u00e9aire UN {displaystyle a} est appel\u00e9 un fonctionnel caract\u00e9ristique si C ( 0 ) = d’abord , {displayStyle C (0) = 1,} Et pour tout complexe Avec J et X J \u2208 UN , {displayStyle z_ {j} {text {et}} x_ {j} dans a,}  J , k = d’abord , … , n , {DisplayStyle j, k = 1, ldots, n,}  \u2211 J = d’abord n \u2211 k = d’abord n Avec J z\u00afk C ( X J – X k ) \u2265 0. M SOVET SLEXT SLEX & HYOY MPIE EM KRUE M KOME M KOMMAS M KUPMONKOR K\u00f6true) MALM MMMONT MYMKM MMMKM) EMM 0. Phil. \u00c9tant donn\u00e9 une fonctionnalit\u00e9 caract\u00e9ristique sur un espace nucl\u00e9aire UN , {displaystyle a,} le Th\u00e9or\u00e8me de Bochner – Minlos (Apr\u00e8s Salomon Bochner et Robert Adol’fovich Minlos) garantit l’existence et l’unicit\u00e9 de la mesure de probabilit\u00e9 correspondante m {displaystyle mu} sur le double espace UN \u2032 , {displayStyle a ^ {prime},} donn\u00e9 par C ( et ) = \u222b UN \u2032C’est je \u27e8 X , et \u27e9 d m ( X ) . {displayStyle c (y) = int _ {a ^ {prime}} e ^ {ilangle x, yrangle}, dmu (x).} Cela \u00e9tend la transform\u00e9e de Fourier inverse en espaces nucl\u00e9aires. En particulier, si UN {displaystyle a} est l’espace nucl\u00e9aire UN = \u22c2 k = 0 \u221e H k , {displayStyle a = bigcap _ {k = 0} ^ {infty} h_ {k},} o\u00f9 H k {displayStyle h_ {k}} sont des espaces Hilbert, le th\u00e9or\u00e8me de Bochner – Minlos garantit l’existence d’une mesure de probabilit\u00e9 avec la fonction caract\u00e9ristique C’est – 12\u2016 et \u2016 H02, {displayStyle e ^ {- {frac {1} {2}} | y | _ {h_ {0}} ^ {2}},} c’est-\u00e0-dire l’existence de la mesure gaussienne sur le double espace. Une telle mesure est appel\u00e9e mesure du bruit blanc . Quand UN {displaystyle a} est l’espace Schwartz, l’\u00e9l\u00e9ment al\u00e9atoire correspondant est une distribution al\u00e9atoire. Espaces nucl\u00e9aires fortement [ modifier ]] UN Espace fortement nucl\u00e9aire est un espace vectoral topologique localement convexe tel que pour tout s\u00e9minorm p {displaystyle p} il existe un plus grand s\u00e9minorm q {displayStyle Q} pour que la carte naturelle X q \u2192 X p {displayStyle x_ {q} \u00e0 x_ {p}} est un nucl\u00e9aire fortement. Voir \u00e9galement [ modifier ]] Les r\u00e9f\u00e9rences [ modifier ]] Bibliographie [ modifier ]] Becnel, Jeremy (2021). Outils pour une analyse dimensionnelle infinie . CRC Press. ISBN 978-0-367-54366-2 . OCLC 1195816154 . Grothendieck, Alexandre (1955). “Produits tensoriels topologiques et espaces nucl\u00e9aires”. M\u00e9moires de l’American Mathematical Society . 16 . Diesel, Joe (2008). The Metric Theory of Tensor Products: le curriculum vitae de Grothendieck revisit\u00e9 . Providence, R.I: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4440-3 . OCLC 185095773 . Dubinsky, Ed (1979). 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