Fonction positive définie sur un groupe wiki

En mathématiques, et en particulier dans la théorie de l’opérateur, un fonction positive définie sur un groupe Relate les notions de positivité, dans le contexte des espaces de Hilbert et des groupes algébriques. Il peut être considéré comme un type particulier de noyau défini positif où l’ensemble sous-jacent a la structure de groupe supplémentaire.

Définition [ modifier ]]

Laisser g être un groupe, H être un espace complexe de Hilbert, et L ( H ) être les opérateurs délimités sur H .
UN fonction positive définie sur g est une fonction F : g → L ( H ) qui satisfait

${AffichageStyle Sum _ {s, tin g} Langle f (s ^ {- 1} t) h (t), h (s) Hangle Geq 0,}$

Pour chaque fonction H : g → H avec un soutien fini ( H ne prend pas de valeurs non nulles pour seulement s ).

En d’autres termes, une fonction F : g → L ( H ) est censé être une fonction positive de définition si le noyau K : g × g → L ( H ) Défini par K ( s , t ) = F ( s ⁻¹ t ) est un noyau défini positif.

Représentations unitaires [ modifier ]]

UN représentation unitaire est un homomorphisme unital φ: g → L ( H ) où φ ( s ) est un opérateur unitaire pour tous s . Pour tel φ, φ ( s ⁻¹ ) = Φ ( s ) *.

Fonctions de définition positive sur g sont intimement liés aux représentations unitaires de g . Chaque représentation unitaire de g donne naissance à une famille de fonctions de définition positive. Inversement, étant donné une fonction positive définie, on peut définir une représentation unitaire de g d’une manière naturelle.

Soit φ: g → L ( H ) être une représentation unitaire de g . Si P ∈ L ( H ) est la projection sur un sous-espace fermé H` de H . Alors F ( s ) = P Phi ( s ) est une fonction de définition positive sur g avec des valeurs dans L ( H` ). Cela peut être montré facilement:

${displayStyle {begin {alignement} sum _ {s, tin g} languel f (s ^ {- 1} t) h (t), h (s) Hangle & = sum _ {s, tin g} Langle pphi (s ^ {- 1} t) h (t), h (s) Hangle \ {} & = sum _ {s, tin g} langage phi (t) h (t), phi (s) h (s) Hangle \ {} & = Leflangle Sum _ {tin g} phi (t) h (t), sum _ {sin g} phi (s) h (s) droite \ {} & geq 0end {aligné}}}$

pour chaque H : g → H` avec un soutien fini. Si g a une topologie et φ est faiblement (res. fortement) continu, alors clairement F .

D’un autre côté, considérez maintenant une fonction positive définie F sur g . Une représentation unitaire de g peut être obtenu comme suit. Laisser C ₀₀ ( g , H ) être la famille des fonctions H : g → H avec un soutien fini. Le noyau positif correspondant K ( s , t ) = F ( s ⁻¹ t ) définit un produit intérieur (éventuellement dégénéré) sur C ₀₀ ( g , H ). Que l’espace de Hilbert résulte d’être indiqué par DANS .

Nous remarquons que les “éléments matriciels” K ( s , t ) = K ( un ⁻¹ s , un ⁻¹ t ) pour tous un , s , t dans g . Donc DANS _un H ( s ) = H ( un ⁻¹ s ) préserve le produit intérieur sur DANS , c’est-à-dire qu’il est unitaire en L ( DANS ). Il est clair que la carte φ ( un ) = DANS _un est une représentation de g sur DANS .

La représentation unitaire est unique, jusqu’à l’isomorphisme de l’espace de Hilbert, à condition que la condition de minimalité suivante soit soutenue:

${DisplayStyle v = bigvee _ {sin g} (s) h,}$

où

${displaystyle bigvee}$

indique la fermeture de la durée linéaire.

Identité H comme éléments (éventuellement des classes d’équivalence) dans DANS , dont le soutien se compose de l’élément d’identité C’est ∈ g , et laissez P être la projection sur ce sous-espace. Ensuite nous avons PU _un P = F ( un ) pour tous un ∈ g .

Grains de Toeplitz [ modifier ]]

Laisser g être le groupe additif d’entiers AVEC . Le noyau K ( n , m ) = F ( m – n ) est appelé un noyau de Toeplitz Type, par analogie avec les matrices Toeplitz. Si F est de la forme F ( n ) = T ⁿ où T est un opérateur délimité agissant sur un espace Hilbert. On peut montrer que le noyau K ( n , m ) est positif si et seulement si T est une contraction. Par la discussion de la section précédente, nous avons une représentation unitaire de AVEC , Phi ( n ) = DANS ⁿ pour un opérateur unitaire DANS . De plus, la propriété PU _un P = F ( un ) se traduit maintenant par PU ⁿ P = T ⁿ . Il s’agit précisément du théorème de dilatation de Sz.-Nagy et fait allusion à une caractérisation théorique de dilatation importante de la positivité qui conduit à une paramétrisation des noyaux arbitraires positifs définis.

Les références [ modifier ]]

• Christian Berg, Christensen, Paul RESSEL , Analyse harmonique des semi-groupes , GTM, Springer Verlag.
• T. Constantinescu, Paramètres de Schur, problèmes de dilatation et de factorisation , Birk Houseer Publishers, 1996.
• B. Sz.-Nagy et C. Foias, Analyse harmonique des opérateurs sur l’espace Hilbert, Nord-Hollande, 1970.
• Z. Sasvári, Fonctions positives définies et définissables , Akademie Verlag, 1994
• J. H. Wells, L. R. Williams, Intégres et extensions en analyse , Résultats des mathématiques et de ses zones frontalières, volume 84. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975. VII + 108 pp.