[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/fonction-positive-definie-sur-un-groupe\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/fonction-positive-definie-sur-un-groupe\/","headline":"Fonction positive d\u00e9finie sur un groupe wiki","name":"Fonction positive d\u00e9finie sur un groupe wiki","description":"before-content-x4 Un article de Wikip\u00e9dia, l’encyclop\u00e9die libre after-content-x4 En math\u00e9matiques, et en particulier dans la th\u00e9orie de l’op\u00e9rateur, un fonction","datePublished":"2022-03-28","dateModified":"2022-03-28","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/c9645c498c9701c88b89b8537773dd7c?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/c9645c498c9701c88b89b8537773dd7c?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/67ad9cc9daa5dff96e042714dc267e3887deba08","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/67ad9cc9daa5dff96e042714dc267e3887deba08","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/fonction-positive-definie-sur-un-groupe\/","wordCount":2680,"articleBody":"     (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4Un article de Wikip\u00e9dia, l’encyclop\u00e9die libre        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4En math\u00e9matiques, et en particulier dans la th\u00e9orie de l’op\u00e9rateur, un fonction positive d\u00e9finie sur un groupe Relate les notions de positivit\u00e9, dans le contexte des espaces de Hilbert et des groupes alg\u00e9briques. Il peut \u00eatre consid\u00e9r\u00e9 comme un type particulier de noyau d\u00e9fini positif o\u00f9 l’ensemble sous-jacent a la structure de groupe suppl\u00e9mentaire.         (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Table of ContentsD\u00e9finition [ modifier ]] Repr\u00e9sentations unitaires [ modifier ]] Grains de Toeplitz [ modifier ]] Les r\u00e9f\u00e9rences [ modifier ]] D\u00e9finition [ modifier ]] Laisser g \u00eatre un groupe, H \u00eatre un espace complexe de Hilbert, et L ( H ) \u00eatre les op\u00e9rateurs d\u00e9limit\u00e9s sur H .UN fonction positive d\u00e9finie sur g est une fonction F : g \u2192 L ( H ) qui satisfait \u2211s,t\u2208G\u27e8 F ( s\u22121t ) H ( t ) , H ( s ) \u27e9 \u2265 0 , {AffichageStyle Sum _ {s, tin g} Langle f (s ^ {- 1} t) h (t), h (s) Hangle Geq 0,} Pour chaque fonction H : g \u2192 H avec un soutien fini ( H ne prend pas de valeurs non nulles pour seulement s ).        (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4En d’autres termes, une fonction F : g \u2192 L ( H ) est cens\u00e9 \u00eatre une fonction positive de d\u00e9finition si le noyau K : g \u00d7 g \u2192 L ( H ) D\u00e9fini par K ( s , t ) = F ( s \u22121 t ) est un noyau d\u00e9fini positif. Repr\u00e9sentations unitaires [ modifier ]] UN repr\u00e9sentation unitaire est un homomorphisme unital \u03c6: g \u2192 L ( H ) o\u00f9 \u03c6 ( s ) est un op\u00e9rateur unitaire pour tous s . Pour tel \u03c6, \u03c6 ( s \u22121 ) = \u03a6 ( s ) *. Fonctions de d\u00e9finition positive sur g sont intimement li\u00e9s aux repr\u00e9sentations unitaires de g . Chaque repr\u00e9sentation unitaire de g donne naissance \u00e0 une famille de fonctions de d\u00e9finition positive. Inversement, \u00e9tant donn\u00e9 une fonction positive d\u00e9finie, on peut d\u00e9finir une repr\u00e9sentation unitaire de g d’une mani\u00e8re naturelle. Soit \u03c6: g \u2192 L ( H ) \u00eatre une repr\u00e9sentation unitaire de g . Si P \u2208 L ( H ) est la projection sur un sous-espace ferm\u00e9 H` de H . Alors F ( s ) = P Phi ( s ) est une fonction de d\u00e9finition positive sur g avec des valeurs dans L ( H` ). Cela peut \u00eatre montr\u00e9 facilement: \u2211s,t\u2208G\u27e8F(s\u22121t)h(t),h(s)\u27e9=\u2211s,t\u2208G\u27e8P\u03a6(s\u22121t)h(t),h(s)\u27e9=\u2211s,t\u2208G\u27e8\u03a6(t)h(t),\u03a6(s)h(s)\u27e9=\u27e8\u2211t\u2208G\u03a6(t)h(t),\u2211s\u2208G\u03a6(s)h(s)\u27e9\u22650{displayStyle {begin {alignement} sum _ {s, tin g} languel f (s ^ {- 1} t) h (t), h (s) Hangle & = sum _ {s, tin g} Langle pphi (s ^ {- 1} t) h (t), h (s) Hangle \\ {} & = sum _ {s, tin g} langage phi (t) h (t), phi (s) h (s) Hangle \\ {} & = Leflangle Sum _ {tin g} phi (t) h (t), sum _ {sin g} phi (s) h (s) droite \\ {} & geq 0end {align\u00e9}}} pour chaque H : g \u2192 H` avec un soutien fini. Si g a une topologie et \u03c6 est faiblement (res. fortement) continu, alors clairement F . D’un autre c\u00f4t\u00e9, consid\u00e9rez maintenant une fonction positive d\u00e9finie F sur g . Une repr\u00e9sentation unitaire de g peut \u00eatre obtenu comme suit. Laisser C 00 ( g , H ) \u00eatre la famille des fonctions H : g \u2192 H avec un soutien fini. Le noyau positif correspondant K ( s , t ) = F ( s \u22121 t ) d\u00e9finit un produit int\u00e9rieur (\u00e9ventuellement d\u00e9g\u00e9n\u00e9r\u00e9) sur C 00 ( g , H ). Que l’espace de Hilbert r\u00e9sulte d’\u00eatre indiqu\u00e9 par DANS . Nous remarquons que les “\u00e9l\u00e9ments matriciels” K ( s , t ) = K ( un \u22121 s , un \u22121 t ) pour tous un , s , t dans g . Donc DANS un H ( s ) = H ( un \u22121 s ) pr\u00e9serve le produit int\u00e9rieur sur DANS , c’est-\u00e0-dire qu’il est unitaire en L ( DANS ). Il est clair que la carte \u03c6 ( un ) = DANS un est une repr\u00e9sentation de g sur DANS . La repr\u00e9sentation unitaire est unique, jusqu’\u00e0 l’isomorphisme de l’espace de Hilbert, \u00e0 condition que la condition de minimalit\u00e9 suivante soit soutenue: DANS = \u22c1s\u2208GPhi ( s ) H {DisplayStyle v = bigvee _ {sin g} (s) h,} o\u00f9 \u22c1 {displaystyle bigvee} indique la fermeture de la dur\u00e9e lin\u00e9aire. Identit\u00e9 H comme \u00e9l\u00e9ments (\u00e9ventuellement des classes d’\u00e9quivalence) dans DANS , dont le soutien se compose de l’\u00e9l\u00e9ment d’identit\u00e9 C’est \u2208 g , et laissez P \u00eatre la projection sur ce sous-espace. Ensuite nous avons PU un P = F ( un ) pour tous un \u2208 g . Grains de Toeplitz [ modifier ]] Laisser g \u00eatre le groupe additif d’entiers AVEC . Le noyau K ( n , m ) = F ( m – n ) est appel\u00e9 un noyau de Toeplitz Type, par analogie avec les matrices Toeplitz. Si F est de la forme F ( n ) = T n o\u00f9 T est un op\u00e9rateur d\u00e9limit\u00e9 agissant sur un espace Hilbert. On peut montrer que le noyau K ( n , m ) est positif si et seulement si T est une contraction. Par la discussion de la section pr\u00e9c\u00e9dente, nous avons une repr\u00e9sentation unitaire de AVEC , Phi ( n ) = DANS n pour un op\u00e9rateur unitaire DANS . De plus, la propri\u00e9t\u00e9 PU un P = F ( un ) se traduit maintenant par PU n P = T n . Il s’agit pr\u00e9cis\u00e9ment du th\u00e9or\u00e8me de dilatation de Sz.-Nagy et fait allusion \u00e0 une caract\u00e9risation th\u00e9orique de dilatation importante de la positivit\u00e9 qui conduit \u00e0 une param\u00e9trisation des noyaux arbitraires positifs d\u00e9finis. Les r\u00e9f\u00e9rences [ modifier ]] Christian Berg, Christensen, Paul RESSEL , Analyse harmonique des semi-groupes , GTM, Springer Verlag. T. Constantinescu, Param\u00e8tres de Schur, probl\u00e8mes de dilatation et de factorisation , Birk Houseer Publishers, 1996. B. Sz.-Nagy et C. Foias, Analyse harmonique des op\u00e9rateurs sur l’espace Hilbert, Nord-Hollande, 1970. Z. Sasv\u00e1ri, Fonctions positives d\u00e9finies et d\u00e9finissables , Akademie Verlag, 1994 J. H. Wells, L. R. Williams, Int\u00e9gres et extensions en analyse , R\u00e9sultats des math\u00e9matiques et de ses zones frontali\u00e8res, volume 84. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975. VII + 108 pp.         (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/fonction-positive-definie-sur-un-groupe\/#breadcrumbitem","name":"Fonction positive d\u00e9finie sur un groupe wiki"}}]}]