Formule Euler -Rodrigues – Wikipedia wiki

En mathématiques et en mécanique, le Euler -Rodrigues formule Décrit la rotation d’un vecteur en trois dimensions. Il est basé sur la formule de rotation de Rodrigues, mais utilise une paramétrisation différente.

La rotation est décrite par quatre Paramètres d’Euler en raison de Leonhard Euler. La formule Rodrigues (nommée d’après Olinde Rodrigues), une méthode de calcul de la position d’un point tourné, est utilisée dans certaines applications logicielles, telles que les simulateurs de vol et les jeux informatiques.

Définition [ modifier ]]

Une rotation sur l’origine est représentée par quatre nombres réels, un , b , c , d tel que

${displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} = 1.}$

Lorsque la rotation est appliquée, un point en position X → tourne vers sa nouvelle position

after-content-x4

${displayStyle {vec {x}} ‘= {begin {pmatrix} a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} -d ^ {2} & 2 (bc-ad) & 2 (bd + ac) \ 2 (bc + ad) & a ^ {2} + c ^ {2} -b ^ {2} -d ^ {2} & 2 (cd-ab) \ 2 (bd-ac) & 2 (cd + ab) & a ^ {2} + d ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2} end {Pmatrix}} {Vec {x}}.}$

Formulation vectorielle [ modifier ]]

Le paramètre un peut être appelé le scalaire paramètre et Oh → = ( B, C, D ) le vecteur paramètre. En notation vectorielle standard, la formule de rotation Rodrigues prend la forme compacte

Symétrie [ modifier ]]

Les paramètres ( un , b , c , d ) et (- un , – b , – c , – d ) Décrivez la même rotation. Outre cette symétrie, chaque ensemble de quatre paramètres décrit une rotation unique dans l’espace tridimensionnel.

Composition des rotations [ modifier ]]

La composition de deux rotations est elle-même une rotation. Laisser ( un _d’abord , b _d’abord , c _d’abord , d _d’abord ) et ( un ₂ , b ₂ , c ₂ , d ₂ ) être les paramètres d’Euler de deux rotations. Les paramètres de la rotation du composé (rotation 2 après la rotation 1) sont les suivants:

${displayStyle {begin {aligned} a & = a_ {1} a_ {2} -b_ {1} b_ {2} -c_ {1} c_ {2} -d_ {1} d_ {2}; \ b & = a_ {{{ 1} b_ {2} + b_ {1} a_ {2} -c_ {1} d_ {2} + d_ {1} c_ {2}; \ c & = a_ {1} c_ {2} + c_ {1} a_ {2} -d_ {1} b_ {2} + b_ {1} d_ {2}; \ d & = a_ {1} d_ {2} + d_ {1} a_ {2} -b_ {1} c_ { 2} + c_ {1} b_ {2} .end {aligné}}}$

Il est simple, bien que fastidieux, de vérifier que un ² + b ² + c ² + d ² = 1 . (Il s’agit essentiellement de l’identité à quatre carrés d’Euler, également utilisée par Rodrigues.)

Angle de rotation et axe de rotation [ modifier ]]

Toute rotation centrale en trois dimensions est déterminée de manière unique par son axe de rotation (représenté par un vecteur unitaire k → = ( k _X , k _et , k _Avec ) ) et l’angle de rotation Phi . Les paramètres d’Euler pour cette rotation sont calculés comme suit:

${displayStyle {begin {aligned} a & = cos {frac {varphi} {2}}; \ b & = k_ {x} sin {frac {varphi} {2};} {2}}; \ d & = = k_ {z} sin {frac {varphi} {2}}. end {aligné}}}$

Notez que si Phi est augmenté d’une rotation complète de 360 ​​degrés, les arguments de sinus et de cosinus n’augmentent que 180 degrés. Les paramètres résultants sont l’opposé des valeurs d’origine, (- un , – b , – c , – d ) ; Ils représentent la même rotation.

En particulier, la transformation d’identité (rotation nul, Phi = 0 ) correspond aux valeurs des paramètres ( un , b , c , d ) = (± 1, 0, 0, 0) . Des rotations de 180 degrés sur n’importe quel axe entraînent un = 0 .

Connexion avec les quaternions [ modifier ]]

Les paramètres d’Euler peuvent être considérés comme les coefficients d’un quaternion; le paramètre scalaire un est la vraie partie, les paramètres vectoriels b , c , d sont les parties imaginaires.
Ainsi, nous avons le quaternion

$Discutez de cette question de Yople Qane = fyk?$

qui est un quaternion de longueur d’unité (ou versor) puisque

${DisplayStyle Left | QRIGHT | ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} = 1.}$

Plus important encore, les équations ci-dessus pour la composition des rotations sont précisément les équations de multiplication des quaternions. En d’autres termes, le groupe de quaternions unitaires avec multiplication, modulo le signe négatif, est isomorphe du groupe de rotations avec composition.

Connexion avec su (2) matrices de spin [ modifier ]]

Le groupe de mensonges Su (2) peut être utilisé pour représenter des rotations tridimensionnelles en complexe 2 × 2 matrices. La matrice su (2) correspondant à une rotation, en termes de paramètres d’Euler, est

${DisplayStyle u = {begin {PMATRIX}, a + di & b + ci \ -b + ci & a-Diend {Pmatrix}}.}.$

Alternativement, cela peut être écrit comme la somme

${displayStyle {begin {aligned} u & = a {begin {pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1end {Pmatrix}} + b {begin {Pmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0end {pmatrix}} + c {début {pmatrix} 0 & i \ i & 0end {pmatrix} } + d {begin {PMATRIX} I & 0 \ 0 & -iend {Pmatrix}} \ & = a, i + ic, sigma _ {x} + ib, sigma _ {y} + id, sigma _ {z}, end { aligné}}}$

où le un _je sont les matrices de spin Pauli. Ainsi, les paramètres d’Euler sont les coordonnées réelles et imaginaires dans une matrice Su (2) correspondant à un élément du groupe de spin (3), qui mappe par une cartographie à double couverture à une rotation dans le groupe orthogonal SO (3). Cela se rend compte

${displaystyle mathbb {r} ^ {3}}$

comme la représentation irréductible tridimensionnelle unique du groupe de mensonges Su (2) ≈ Spin (3).

Voir également [ modifier ]]

Les références [ modifier ]]