Gromov – Hausdorff Convergence – Wikipedia wiki

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Notion pour la convergence des espaces métriques

En mathématiques, Convergence Gromov – Hausdorff , du nom d’après Mikhail Gromov et Felix Hausdorff, est une notion de convergence des espaces métriques qui est une généralisation de la convergence de Hausdorff.

GROMOV – Hausdorff Distance [ modifier ]]

Jusqu’où et à quelle distance sont des chiffres sous la distance Gromov – Hausdorff.

La distance Gromov – Hausdorff a été introduite par David Edwards en 1975, [d’abord] [2] et il a ensuite été redécouvert et généralisé par Mikhail Gromov en 1981. [3] [4] Cette distance mesure à quelle distance les deux espaces métriques compacts proviennent de l’isométrique. Si X et ET sont deux espaces métriques compacts, puis d GH ( X , ET ) est défini comme étant l’intime de tous les nombres d H ( F ( X ), g ( ET )) pour tous les espaces métriques M et toutes les intérêts isométriques F : X → M et g : ET → M . Ici d H indique la distance hausdorff entre les sous-ensembles M et le intégration isométrique est compris au sens mondial, c’est-à-dire qu’il doit préserver toutes les distances, pas seulement des petites infiniment petites; Par exemple, aucun collecteur riemannien compact n’admet une telle incorporer dans l’espace euclidien de la même dimension.

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La distance Gromov – Hausdorff transforme l’ensemble de toutes les classes d’isométrie d’espaces métriques compacts en un espace métrique, appelé espace Gromov – Hausdorff, et il définit donc une notion de convergence pour les séquences d’espaces métriques compacts, appelés convergence Gromov – Hausdorff. Un espace métrique dans lequel une telle séquence converge est appelée la limite Gromov – Hausdorff de la séquence.

Certaines propriétés de l’espace Gromov – Hausdorff [ modifier ]]

L’espace Gromov – Hausdorff est connecté au chemin, complet et séparable. [5] Il est également géodésique, c’est-à-dire que deux de ses points sont les critères de terminaison d’une géodésique minimisant. [6] [7] Au sens mondial, l’espace Gromov – Hausdorff est totalement hétérogène, c’est-à-dire que son groupe d’isométrie est trivial, [8] Mais localement, il existe de nombreuses isométries non triviales. [9]

Convergence pointu de Gromov – Hausdorff [ modifier ]]

La convergence pointue de Gromov – Hausdorff est un analogue de la convergence de Gromov – Hausdorff appropriée pour les espaces non compacts. Un espace métrique pointu est une paire ( X , p ) composé d’un espace métrique X et pointer p dans X . Une séquence ( X n , P n ) des espaces métriques pointus convergent vers un espace métrique pointu ( ET , p ) Si, pour chacun R > 0, la séquence de fermée R -Balles autour p n dans X n converge vers la fermée R -Aut p dans ET Dans le sens habituel de Gromov – Hausdorff. [dix]

Applications [ modifier ]]

La notion de convergence Gromov – Hausdorff a été utilisée par Gromov pour prouver que
Tout groupe discret avec croissance polynomiale est pratiquement nilpotent (c’est-à-dire qu’il contient un sous-groupe nilpotent d’indice fini). Voir le théorème de Gromov sur les groupes de croissance polynomiale. (Voir également D. Edwards pour une œuvre antérieure.)
L’ingrédient clé dans la preuve était l’observation que pour le
Le graphique de Cayley d’un groupe à croissance polynomiale Une séquence de reculations converge dans le sens de Gromov – Hausdorff pointu.

Un autre résultat simple et très utile dans la géométrie de Riemannien est le théorème de la compacité de Gromov, qui indique que
L’ensemble des variétés de Riemannien avec la courbure de Ricci ≥ c et diamètre ≤ D est relativement compact dans la métrique Gromov – Hausdorff. Les espaces limites sont des espaces métriques. Des propriétés supplémentaires sur les espaces de longueur ont été prouvées par Cheeger et le froid. [11]

La métrique de distance de Gromov – Hausdorff a été appliquée dans le domaine de l’infographie et de la géométrie de calcul pour trouver des correspondances entre différentes formes. [douzième] Il a également été appliqué dans le problème de la planification des mouvements en robotique. [13]

La distance de Gromov – Hausdorff a été utilisée par Sormani pour prouver la stabilité du modèle Friedmann en cosmologie. Ce modèle de cosmologie n’est pas stable en ce qui concerne les variations lisses de la métrique. [14]

Dans un cas particulier, le concept de limites Gromov – Hausdorff est étroitement lié à la théorie des grandes diations. [15]

La métrique de distance Gromov – Hausdorff a été utilisée en neurosciences pour comparer les réseaux cérébraux. [16]

Les références [ modifier ]]

  1. ^ David A. Edwards, “The Structure of SuperSpace”, dans “Studies in Topology”, Academic Press, 1975, pdf Archivé 2016-03-04 sur la machine Wayback
  2. ^ Tuzhilin, Alexey A. (2016). “Qui a inventé la distance de Gromov-Hausdorff?”. arXiv: 1612.00728 [ math.mg ].
  3. ^ M. Gromov. “Structures métriques pour les variétés riemanniennes”, edited by Lafontaine and Pierre Pansu, 1981.
  4. ^ Gromov, Michael (1981). “Groupes de croissance polynomiale et de cartes en expansion (avec une annexe par Jacques seins)” . Publications Mathématiques de l’IHÉS . 53 : 53–78. est ce que je: 10.1007 / BF02698687 . M 0623534 . S2cid 121512559 . LDL 0474.20018 .
  5. ^ D. Burago, Yu. Burago, S. Ivanov, Un cours en géométrie métrique , AMS GSM 33, 2001.
  6. ^ Ivanov, A. O.; Nikolaeva, N. K.; Tuzhilin, A. A. (2016). “La métrique Gromov – Hausdorff sur l’espace des espaces métriques compactes est strictement intrinsèque”. Notes mathématiques . 100 (5–6): 883–885. arXiv: 1504 03830 . est ce que je: 10.1134 / s0001434616110298 . S2cid 39754495 .
  7. ^ Pour la construction explicite de la géodésique, voir Chowdhury, Samir; Mémoli, Facundo (2016). “Géodésics explicites dans l’espace Gromov-Hausdorff”. arXiv: 1603.02385 [ math.mg ].
  8. ^ Ivanov, Alexander; Tuzhilin, Alexey (2018). “Group d’isométrie de Gromov – Hausdorff Space”. arXiv: 1806 02100 [ math.mg ].
  9. ^ Ivanov, Alexander O.; Tuzhilin, Alexey A. (2016). “Structure locale de l’espace Gromov-Hausdorff près des espaces métriques finis en position générale”. arXiv: 1611 04484 [ math.mg ].
  10. ^ Bellaïche, André (1996). “L’espace tangent dans la géométrie sous-rivaine”. Dans André Bellaïche; Jean-Jacques Risler (éd.). Géométrie inférieure . Progrès en mathématiques. Vol. 44. Bâle: Birkhauser. pp. 1–78 [56]. est ce que je: 10,1007 / 978-3-0348-9210-0_1 . ISBN 978-3-0348-9946-8 .
  11. ^ Cheeger, Jeff; Colding, Tobias H. (1997). “Sur la structure des espaces avec une courbure de Ricci bornée en dessous. I” . Journal de géométrie différentielle . quarante-six (3). est ce que je: 10.4310 / jdg / 1214459974 .
  12. ^ Mémoli, Facundo; Sapiro, Guillermo (2004). “Comparaison des nuages ​​ponctuels” Actes du Symposium Eurographics / ACM de 2004 Symposium sur le traitement de la géométrie – SGP ’04 . p. 32. deux: 10.1145 / 1057432.1057436 . ISBN 3905673134 . S2cid 207156533 .
  13. ^ Sukkar, Fouad; Wakulicz, Jennifer; Lee, Ki Myung Brian; Fitch, Robert (2022-09-11). “Planification de mouvement dans l’espace des tâches avec les approximations de Gromov-Hausdorff”. arXiv: 2209.04800 [ Csro ].
  14. ^ Sormani, Christina (2004). “Cosmologie de Friedmann et presque isotropie”. Analyse géométrique et fonctionnelle . 14 (4). est ce que je: 10.1007 / s00039-004-0477-4 . S2cid 53312009 .
  15. ^ Kotani, Motoko; Sunada, Toshikazu (2006). “Une grande déviation et le cône tangent à l’infini d’un réseau cristallin”. Magazine mathématique . 254 (4): 837–870. est ce que je: 10.1007 / S00209-006-0951-9 . S2cid 122531716 .
  16. ^ Lee, Hykyoung; Chung, Moo K.; Kang, Hairjin; Kim, Boong-Nyun; Lee, Dong Soo (2011). “Computer la forme des réseaux cérébraux à l’aide de la filtration du graphique et de la métrique Gromov-Hausdorff”. Informatique d’image médicale et intervention assistée par ordinateur – MiccAI 2011 . Notes de cours en informatique. Vol. 6892. pp. 302–309. est ce que je: 10 1007 / 978-3-642-23629-7_37 . ISBN 978-3-642-23628-0 . PMID 21995042 .
  • M. Gromov. Structures métriques pour les espaces Riemannien et non-Riemannien , Birkhäuser (1999). ISBN 0-8176-3898-9 (traduction avec contenu supplémentaire).

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