Logique à trois valeurs – Wikipedia wiki

Système comprenant une valeur indéterminée

En logique, un Logique à trois valeurs (aussi logique , trivalent , ternaire , ou Trilean , ^[d’abord] parfois abrégé 3vl ) est l’un des nombreux systèmes logiques à plusieurs valeurs dans lesquels il y a trois valeurs de vérité indiquant vrai , FAUX et une certaine valeur de troisième. Ceci contraste avec les logiques bivalentes les plus connues (telles que la logique classique de sententiat ou booléen) qui ne fournit que vrai et FAUX .

Emil Leon Post est crédité d’avoir d’abord introduit des degrés de vérité logiques supplémentaires dans sa théorie des propositions élémentaires de 1921. ^[2] La forme conceptuelle et les idées de base de la logique à trois valeurs ont été initialement publiées par Jan łukasiewicz et Clarence Irving Lewis. Ceux-ci ont ensuite été reformulés par Grigore Constantin Moisil sous une forme algébrique axiomatique, et également étendue à n – Logiques évaluées en 1945.

Pré-découverte [ modifier ]]

Vers 1910, Charles Sanders Peirce a défini un système logique à plusieurs valeurs. Il ne l’a jamais publié. En fait, il n’a même pas nombrené les trois pages de notes où il a défini ses opérateurs à trois valeurs. ^[3] Peirce a entièrement rejeté l’idée que toutes les propositions doivent être vraies ou fausses; Les propositions aux limites, écrit-il, sont “à la limite entre P et non P.” ^[4] Cependant, aussi confiant que “la logique triadique est universellement vraie”, il a également noté que “tout cela est très proche des bêtises”. Ce n’est qu’en 1966, lorsque Max Fisch et Atwell Turquette ont commencé à publier ce qu’ils ont redécouvert dans ses manuscrits inédits, les idées triadiques de Peirce ont été largement connues. ^[5]

Représentation des valeurs [ modifier ]]

Comme pour la logique bivalente, les valeurs de vérité dans la logique ternaire peuvent être représentées numériquement en utilisant diverses représentations du système numérique ternaire. Quelques-uns des exemples les plus courants sont:

• Dans le ternaire équilibré, chaque chiffre a l’une des 3 valeurs: −1, 0 ou +1; Ces valeurs peuvent également être simplifiées à -, 0, +, respectivement; ^[6]
• Dans la représentation binaire redondante, chaque chiffre peut avoir une valeur de -1, 0, 0/1 (la valeur 0/1 a deux représentations différentes);
• Dans le système numérique ternaire, chaque chiffre est un marcher (chiffre triny) ayant une valeur de: 0, 1 ou 2;
• Dans le système de nombres binaires asymétrique, seul le chiffre non nul le moins significatif peut avoir une valeur de 2, et les chiffres restants ont une valeur de 0 ou 1;
• 1 pour vrai , 2 pour FAUX , et 0 pour inconnu , inconnaissable / / indécidable , non pertinent , ou les deux ; ^[7]
• 0 pour FAUX , 1 pour vrai , et un troisième symbole “peut-être” non “comme ?, #, ½, ^[8] ou xy.

À l’intérieur d’un ordinateur ternaire, les valeurs ternaires sont représentées par des signaux ternaires.

Cet article illustre principalement un système de logique propositionnelle ternaire en utilisant les valeurs de vérité {false, inconnu, vrai}, et étend des connecteurs booléens conventionnels à un contexte trivalent. Les logiques des prédicats ternaires existent également; ^{[ citation requise ]]} Ceux-ci peuvent avoir des lectures du quantificateur différent de la logique de prédicat classique (binaire) et peuvent également inclure des quantificateurs alternatifs.

La logique booléenne permet 2 ² = 4 opérateurs unaires, l’ajout d’une troisième valeur dans la logique ternaire conduit à un total de 3 ³ = 27 opérateurs distincts sur une seule valeur d’entrée. (Cela peut être précisé en considérant toutes les tables de vérité possibles pour un opérateur unaire arbitraire. Compte tenu de 2 valeurs possibles de la variable booléenne (entrée), il existe quatre modèles de sortie différents (résultat de l’opérateur unaire fonctionnant sur la variable): TT, Tf, Ft, ff. Alors que, étant donné trois valeurs possibles d’une variable ternaire, et trois résultats possibles d’une opération unaire, il y a vingt-sept modèles de sortie différents: TTT, TTU, TTF, TUT, TUU, TUF, TFT, TFU, TFF, UTT, UTU, UTF, UUT, UUU, UUF, UFT, UFU, UFF, FTT, FTU, FTF, FUT, FUU, FUF, FFT, FFU et FFF.) De même, où Boolean Logic a 2 ^{2 × 2} = 16 opérateurs binaires distincts (opérateurs avec 2 entrées) possibles, la logique ternaire a 3 ^{3 × 3} = 19 683 de ces opérateurs. Lorsque nous pouvons facilement nommer une fraction significative des opérateurs booléens (et non, et, nand, ou, ni, xor, xnor, équivalence, implication), il est déraisonnable de tenter de nommer toutes sauf une petite fraction des opérateurs territés possibles. ^[9]

Logiques Kleene et prêtre [ modifier ]]

Vous trouverez ci-dessous un ensemble de tables de vérité montrant les opérations logiques de la “forte logique d’indétermination” de Stephen Cole Kleene et de la “logique de paradoxe” de Graham Priest.

(F, false; u, inconnu; t, vrai)
	Et (a, b) A ∧ B B F DANS T UN F F F F DANS F DANS DANS T F DANS T	Ou (a, b) A ∨ B B F DANS T UN F F DANS T DANS DANS DANS T T T T T

(−1, faux; 0, inconnu; +1, vrai)
Neg (a) UN ¬a −1 +1 0 0 +1 −1	Min (a, b) A ∧ B B −1 0 +1 UN −1 −1 −1 −1 0 −1 0 0 +1 −1 0 +1	Max (a, b) A ∨ B B −1 0 +1 UN −1 −1 0 +1 0 0 0 +1 +1 +1 +1 +1

Dans ces tables de vérité, le inconnu L’état peut être considéré comme ni vrai ni faux dans la logique de Kleene, ou considéré comme à la fois vrai et faux dans la logique du prêtre. La différence réside dans la définition des tautologies. Là où la seule valeur de vérité désignée de Kleene Logic est T, les valeurs de vérité désignées de Priest Logic sont à la fois t et U. dans Kleene Logic, la connaissance de savoir si inconnu L’État représente secrètement vrai ou FAUX À tout moment, n’est pas disponible. Cependant, certaines opérations logiques peuvent produire un résultat sans ambiguïté, même s’ils impliquent un inconnu opérande. Par exemple, parce que vrai OU vrai équivaut à vrai , et vrai OU FAUX Également égal vrai , on peut déduire que vrai OU inconnu équivaut à vrai , aussi. Dans cet exemple, parce que l’un ou l’autre état bivalent pourrait sous-jacent le inconnu État, mais l’un ou l’autre état donne également le même résultat, un vrai résultats dans les trois cas.

Si les valeurs numériques, par ex. Les valeurs ternaires équilibrées sont affectées à FAUX , inconnu et vrai tel que FAUX est inférieur à inconnu et inconnu est inférieur à vrai , puis a et b et c … = min (a, b, c …) et a ou b ou c … = max (a, b, c …).

L’implication matérielle pour la logique de Kleene peut être définie comme:

${displayStyle ARIGHTARROW B {overset {Underset {Mathrm {def}} {}} {=}} {Mbox {ou}} ({Mbox {Not}} (a), b)}$

, et sa table de vérité est

LUTIN K (A, b) ou (¬a, b) A → B B F DANS T UN F T T T DANS DANS DANS T T F DANS T

LUTIN K (A, b), max (−a, b) A → B B −1 0 +1 UN −1 +1 +1 +1 0 0 0 +1 +1 −1 0 +1

qui diffère de celui de łukasiewicz Logic (décrit ci-dessous).

La logique de Kleene n’a pas de tautologies (formules valides) car chaque fois que tous les composants atomiques d’une formule bien formés se voient attribuer la valeur inconnue, la formule elle-même doit également avoir la valeur inconnue. (Et le seul désigné La valeur de vérité pour la logique de Kleene est vraie.) Cependant, le manque de formules valides ne signifie pas qu’elle manque d’arguments valides et / ou de règles d’inférence. Un argument est sémantiquement valide dans la logique de Kleene si, chaque fois (pour toute interprétation / modèle), tous ses prémisses sont vraies, la conclusion doit également être vraie. (Notez que la logique du paradoxe (LP) a les mêmes tables de vérité que Kleene Logic, mais elle en a deux désigné Valeurs de vérité au lieu d’un; Ce sont: vraies et les deux (l’analogue de l’inconnu), de sorte que la LP a des tautologies mais elle a moins de règles d’inférence valides). ^[dix]

Łukasiewicz Logic [ modifier ]]

Le łukasiewicz ł3 a les mêmes tableaux pour et, ou non comme la logique kleene donnée ci-dessus, mais diffère dans sa définition de l’implication dans que “inconnu implique inconnu” vrai . Cette section suit la présentation du chapitre de Malinowski du Manuel de l’histoire de la logique , Vol 8. ^[11]

Implication matérielle pour łukasiewicz Logic Truth Table est

LUTIN Ł (UN B) A → B B F DANS T UN F T T T DANS DANS T T T F DANS T

LUTIN Ł (A, b), min (1, 1 – a + b) A → B B −1 0 +1 UN −1 +1 +1 +1 0 0 +1 +1 +1 −1 0 +1

En fait, en utilisant l’implication et la négation de łukasiewicz, les autres connecteurs habituels peuvent être dérivés:

• UN ∨ B = ( UN → B ) → B
• UN ∧ B = ¬ (¬ UN ∨ ¬ B )
• UN ⇔ B = ( UN → B ) ∧ ( B → UN )

Il est également possible de dériver quelques autres opérateurs unaires utiles (dérivés pour la première fois par Tarski en 1921): ^{[ citation requise ]]}

• M UN = ¬ UN → UN
• L UN = ¬ M ¬ UN
• je UN = M UN ∧ ¬ L UN

Ils ont les tables de vérité suivantes:

M est lu comme “ce n’est pas faux que …” ou dans la tentative (infructueuse) de Tarski – ongasiewicz d’axiomatiser la logique modale à l’aide d’une logique à trois valeurs, “il est possible que …” l soit lu “c’est C’est vrai que … “ou” Il est nécessaire que … “finalement je lis” On ne sait pas que … “ou” Il est contingent que … ”

À ł3 de łukasiewicz, la valeur désignée est vraie, ce qui signifie que seule une proposition ayant cette valeur partout est considérée comme une tautologie. Par exemple, UN → UN et UN ↔ UN sont des tautologies à ł3 et aussi dans la logique classique. Toutes les tautologies de la logique classique ne relèvent pas de ł3 “tel quel”. Par exemple, la loi du milieu exclu, UN ∨ ¬ UN et la loi de la non-contradiction, ¬ ( UN ∧ ¬ UN ) ne sont pas des tautologies à ł3. Cependant, en utilisant l’opérateur je Défini ci-dessus, il est possible d’énoncer les tautologies qui sont leurs analogues:

HT Logic [ modifier ]]

La logique d’ici et là ( HT , également appelé smetanov logique Smt ou comme Gödel G3 Logic), introduit par Heyting en 1930 ^[douzième] En tant que modèle pour étudier la logique intuitionniste, est une logique intermédiaire à trois valeurs où la troisième valeur de vérité NF (pas fausse) a la sémantique d’une proposition qui peut être prouvée de manière intuitionniste n’est pas fausse, mais n’a pas de preuve intuitionniste de l’exactitude .

(F, false; nf, pas faux; t, vrai)

PAS HT (UN) UN ¬a F T NF F T F

LUTIN HT (UN B) A → B B F NF T UN F T T T NF F T T T F NF T

Il peut être défini soit en ajoutant l’un des deux axiomes équivalents (¬ q → p )) → ((( p → q ) → p ) → p ) ou équivalent p ∨ (¬ q ) ∨ ( p → q ) aux axiomes de la logique intuitionniste, ou par des tables de vérité explicites pour ses opérations. En particulier, la conjonction et la disjonction sont les mêmes que pour la logique de Kleene et de łukasiewicz, tandis que la négation est différente.

La logique HT est le coatom unique dans le réseau des logiques intermédiaires. En ce sens, il peut être considéré comme la logique intermédiaire la plus “la plus forte” après la logique classique.

Bochvar Logic [ modifier ]]

Cette section est vide. Vous pouvez vous aider en y ajoutant. ( Août 2014 )

Logique du poste ternaire [ modifier ]]

pas (a) = (a + 1) mod 3, ou

pas (a) = (a + 1) mod (n), où (n) est la valeur d’une logique

Algèbres modulaires [ modifier ]]

Certaines algèbres modulaires 3VL ont été introduites plus récemment, motivées par des problèmes de circuit plutôt que par des problèmes philosophiques: ^[13]

• Algèbre de Cohn
• Algèbre de Pradhan
• Dubrovnik et Muzio Algèbre

Applications [ modifier ]]

SQL [ modifier ]]

Le langage de requête structurelle de la base de données SQL implémente la logique ternaire comme moyen de gérer les comparaisons avec le contenu de champ nul. Null était initialement destiné à être utilisé comme valeur sentinelle dans SQL pour représenter les données manquantes dans une base de données, c’est-à-dire l’hypothèse selon laquelle une valeur réelle existe, mais que la valeur n’est pas actuellement enregistrée dans la base de données. SQL utilise un fragment commun de la logique Kleene K3, limité à et, ou, et non aux tables.

Dans SQL, la valeur intermédiaire est destinée à être interprétée comme inconnue. Comparaisons explicites avec NULL, y compris celle d’un autre NULL donne une inconnue. Cependant, ce choix de sémantique est abandonné pour certaines opérations définies, par ex. Union ou intersection, où les nuls sont traités comme égaux les uns aux autres. Les critiques affirment que cette incohérence prive SQL de sémantique intuitive dans son traitement des Nulls. ^[14] La norme SQL définit une fonctionnalité facultative appelée F571, qui ajoute certains opérateurs unaires, parmi lesquels Est inconnu Correspondant au łukasiewicz je dans cet article. L’addition de Est inconnu aux autres opérateurs de la logique à trois valeurs de SQL rend la logique à trois valeurs SQL terminée fonctionnellement, ^[15] ce qui signifie que ses opérateurs logiques peuvent exprimer (en combinaison) toute fonction logique à trois valeurs imaginable.

Voir également [ modifier ]]

Les références [ modifier ]]

Dès la lecture [ modifier ]]