Matrice Nilpotent – Wikipedia wiki

Posted on August 28, 2021 by lordneo

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En algèbre linéaire, un matrice nilpotente est une matrice carrée N tel que

{displayStyle n ^ {k} = 0,}

pour un entier positif

{displaystyle k}

$k$ . Le plus petit

{displaystyle k}

$k$ est appelé le indice de

{displaystyle n}

$N$ , ^[d’abord]parfois l degré de

{displaystyle n}

$N$ .

Plus généralement, un transformation nilpotente est une transformation linéaire

after-content-x4

{displaystyle l}

$L$ d’un espace vectoriel tel que

{displayStyle l ^ {k} = 0}

${displaystyle L^{k}=0}$ pour un entier positif

{displaystyle k}

$k$ (Et ainsi,

{displaystyle L^{j}=0}

${displaystyle L^{j}=0}$ pour tous

{displayStyle jgeq k}

${displaystyle jgeq k}$ ). ^[2]^[3]^[4]Ces deux concepts sont des cas particuliers d’un concept plus général de nilpotence qui s’applique aux éléments des anneaux.

Table of Contents

Exemples [ modifier ]]

Exemple 1 [ modifier ]]

La matrice

{displayStyle a = {begin {bmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0end {bmatrix}}}

est nilpotent avec l’index 2, puisque

{displayStyle a ^ {2} = 0}

${displaystyle A^{2}=0}$ .

Exemple 2 [ modifier ]]

Plus généralement, tout

{displaystyle n}

$n$ -Matrice triangulaire dimensionnelle avec des zéros le long de la diagonale principale est nilpotent, avec index

{DisplayStyle leq n}

$leq n$ ^{[ citation requise ]]}. Par exemple, la matrice

{displayStyle b = {begin {bmatrix} 0 & 2 & 1 & 6 \ 0 & 0 & 1 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 3 \ 0 & 0 & 0 & 0end {bMatrix}}}

est nilpotent, avec

{displayStyle b ^ {2} = {begin {bMatrix} 0 & 0 & 2 & 7 \ 0 & 0 & 0 & 3 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0end {bMatrix}}; B ^ {3} = {begin {bMatrix} 0 & 0 & 0 & 6 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0end {bMatrix}}; B ^ {4} = {begin {bMatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0end {bMatrix}}.}

L’indice de

{displaystyle b}

$B$ est donc 4.

Exemple 3 [ modifier ]]

Bien que les exemples ci-dessus aient un grand nombre d’entrées zéro, une matrice nilpotente typique ne le fait pas. Par exemple,

{displayStyle c = {begin {bmatrix} 5 & -3 & 2 \ 15 & -9 & 6 \ 10 & -6 & 4end {bmatrix}} qquad c ^ {2} = {begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0end {bMatrix}}}}

Bien que la matrice n’ait aucune entrée zéro.

Exemple 4 [ modifier ]]

De plus, toutes les matrices de la forme

{displayStyle {begin {bmatrix} a_ {1} & a_ {1} & cdots & a_ {1} \ a_ {2} & a_ {2} & cdots & a_ {2} \ vdots & vdots & ddots & vdots \ -a_ {1} -a_ {2} -ldots -a_ {n-1} & – a_ {1} -a_ {2} -lots -a_ {n-1} & ldots & -a_ {1} -a_ {2} -ldots -a_ {n-1} fin {bmatrix}}}

tel que

{displayStyle {begin {bmatrix} 5 & 5 & 5 \ 6 & 6 & 6 \ -11 & -11 & -11end {bmatrix}}}

{displayStyle {begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \ 2 & 2 & 2 & 2 \ 4 & 4 & 4 & 4 \ -7 & -7 & -7 & -7end {bMatrix}}}

carré à zéro.

Exemple 5 [ modifier ]]

Peut-être que certains des exemples les plus frappants de matrices nilpotents sont

{displaystyle ntimes n}

$ntimes n$ matrices carrées de la forme:

{displayStyle {begin {bmatrix} 2 & 2 & 2 & cdots & 1-n \ n + 2 & 1 & 1 & cdots & -n \ 1 & n + 2 & 1 & cdots & -n \ 1 & 1 & n + 2 & cdots & -n \ vdots & vdots & vdots & ddots & vdots end {bmatrix}}}}

Dont les premiers sont:

{displayStyle {begin {bmatrix} 2 & -1 \ 4 & -2end {bmatrix}} qquad {begin {bMatrix} 2 & 2 & -2 \ 5 & 1 & -3 \ 1 & 5 & -3end {bmatrix}} -4 \ 1 & 6 & 1 & -4 \ 1 & 1 & 6 & -4end {bMatrix}} qquad {begin {BMatrix} 2 & 2 & 2 & 2 & -4 \ 7 & 1 & 1 & 1 & -5 \ 1 & 7 & 1 & 1 & -5 \ 1 & 1 & 7 & 1 & -5 \ & 1 & 1 & 7 & -5end {bmatrix}

Ces matrices sont nulpotent, mais il n’y a aucune entrée zéro dans aucune puissance d’entre elles inférieure à l’indice. ^[5]

Exemple 6 [ modifier ]]

Considérez l’espace linéaire des polynômes d’un degré limité. L’opérateur dérivé est une carte linéaire. Nous savons que l’application de la dérivée à un polynôme diminue son degré, donc lors de l’application de manière itérative, nous obtiendrons éventuellement zéro. Par conséquent, sur un tel espace, le dérivé est représentable par une matrice nilpotente.

Caractérisation [ modifier ]]

Pour un

{displaystyle ntimes n}

$ntimes n$ Matrice Carrée

{displaystyle n}

$N$ Avec des entrées réelles (ou complexes), les éléments suivants sont équivalents:

Le dernier théorème est vrai pour les matrices sur n’importe quel champ de caractéristique 0 ou une caractéristique suffisamment grande. (cf. Identité de Newton)

Ce théorème a plusieurs conséquences, notamment:

L’indice d’un ${displaystyle ntimes n}$
Le déterminant et la trace d’une matrice nilpotente sont toujours nuls. Par conséquent, une matrice nilpotente ne peut pas être inversible.
La seule matrice diagonalisable nilpotente est la matrice zéro.

Voir aussi: Jordan – Chevalley Décomposition # Criterion Nilpotence.

Classification [ modifier ]]

Prendre en compte

{displaystyle ntimes n}

$ntimes n$ Matrice de changement (supérieure):

{displayStyle s = {begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & ldots & 0 \ 0 & 0 & 1 & ldots & 0 \ vdots & vdots & vdots & ddots & vdots \ 0 & 0 & 0 & ldots & 1 \ 0 & 0 & 0 & ldots & 0end {bMatrix}}.}}

Cette matrice a 1s le long du superdiagonal et 0 partout ailleurs. En tant que transformation linéaire, la matrice de décalage “déplace” les composants d’un vecteur une position vers la gauche, avec un zéro apparaissant dans la dernière position:

{displayStyle s (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}) = (x_ {2}, ldots, x_ {n}, 0).}

Cette matrice est nilpotente avec un degré

{displaystyle n}

$n$ , et est la matrice nilpotente canonique.

Plus précisément, si

{displaystyle n}

$N$ est une matrice nilpotente, alors

{displaystyle n}

$N$ est similaire à une matrice diagonale de bloc de la forme

{displayStyle {begin {bMatrix} s_ {1} & 0 & ldots & 0 \ 0 & s_ {2} & ldots & 0 \ vdots & vdots & ddots & vdots \ 0 & 0 & ldots & s_

où chacun des blocs

{displayStyle s_ {1}, s_ {2}, ldots, s_ {r}}

${displaystyle S_{1},S_{2},ldots ,S_{r}}$ est une matrice de décalage (éventuellement de différentes tailles). Ce formulaire est un cas particulier de la forme canonique Jordan pour les matrices. ^[7]

Par exemple, toute matrice Nilpotent non nulle 2 × 2 est similaire à la matrice

{displayStyle {begin {bmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0end {bmatrix}}.}

C’est-à-dire si

{displaystyle n}

$N$ est toute matrice nilpotente non nulle 2 × 2, puis il existe une base b _d’abord, b ₂tel que N b _d’abord= 0 et N b ₂= b _d’abord.

Ce théorème de classification contient des matrices sur n’importe quel champ. (Il n’est pas nécessaire que le champ soit fermé algébrique.)

Drapeau des sous-espaces [ modifier ]]

Une transformation nilpotente

{displaystyle l}

$L$ sur

{displayStyle Mathbb {r} ^ {n}}

$mathbb {R} ^{n}$ détermine naturellement un drapeau des sous-espaces

{displayStyle {0} sous-ensemble ker lsubset ker l ^ {2} sous-ensemble ldots sous-ensemble ker l ^ {q-1} sous-ensemble ker l ^ {q} = mathbb {r} ^ {n}}

et une signature

{displayStyle 0 = n_ {0}

La signature caractérise

{displaystyle l}

$L$ jusqu’à une transformation linéaire inversible. De plus, il satisfait les inégalités

{displayStyle n_ {j + 1} -n_ {j} leq n_ {j} -n_ {j-1}, qquad {Mbox {pour tout}} j = 1, ldots, q-1.}

Inversement, toute séquence de nombres naturels satisfaisant ces inégalités est la signature d’une transformation nilpotente.

Propriétés supplémentaires [ modifier ]]

Généralisations [ modifier ]]

Un opérateur linéaire

{displayStyle t}

$T$ est localement nilpotent Si pour chaque vecteur

{DisplayStyle V}

$v$ , il existe un

{Displaystyle kin mathbb {n}}

${displaystyle kin mathbb {N} }$ tel que

{displayStyle t ^ {k} (v) = 0.!,}

Pour les opérateurs sur un espace vectoriel de dimension finie, la nilpote locale équivaut à la nilpote.

^ Herstein (1975, p. 294)
^ BEARGARD & FALEIGH (1973, P. 312)
^ Herstein (1975, p. 268)
^ Néring (1970, p. 274)
^ Mercer, Idris D. (31 octobre 2005). “Trouver” des matrices nulpotent “non évidentes” (PDF) . Idmercer.com . auto-publié; Création d’identification personnelle: Mathématiques PhD, Université Simon Fraser . Récupéré 5 avril 2023 .
^ BEARGARD & FALEIGH (1973, P. 312)
^ Bealury & Faleegh (1973, pp. 311, 313)
^ R. Sullivan, Produits de matrices nilpotent, Algèbre linéaire et multilinéaire , Vol. 56, n ° 3

Les références [ modifier ]]

BEARGARD, Raymond A.; Frleleigh, John B. (1973), Un premier cours en algèbre linéaire: avec introduction facultative aux groupes, anneaux et champs , Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X
Herstein, I. N. (1975), Sujets en algèbre (2e éd.), John Wiley & Sons
Niring, Evar d. (1970), Théorie de l’algèbre linéaire et de la matrice (2e éd.), New York: Wiley, LCCN 76091646

Liens externes [ modifier ]]