Modèle AKLT – Wikipedia wiki

Modèle en mécanique quantique topologique

Le Modèle AKL est une extension du modèle de spin quantum heisenberg unidimensionnel. La proposition et la solution exacte de ce modèle par Ian Affleck, Elliott H. Lieb, Tom Kennedy et Hal Tasaki [ et ]] ^[d’abord] a fourni un aperçu crucial de la physique de la chaîne Spin-1 Heisenberg. ^{[2] [3] [4] [5]} Il a également servi d’exemple utile pour des concepts tels que Valence Bond Solid Order, Ordre topologique protégé par la symétrie ^{[6] [7] [8] [9]} et des fonctions d’onde d’onde de l’état du produit de la matrice.

Arrière-plan [ modifier ]]

Une motivation majeure pour le modèle AKLT a été la chaîne Majumdar-Ghosh. Parce que deux de chaque ensemble de trois tours voisins dans un état fondamental Majumdar – Ghosh sont jumelés dans un singulet ou une liaison de valence, les trois tours ensemble ne peuvent jamais être trouvés dans un état de rotation 3/2. En fait, le Majumdar – Ghosh Hamiltonian n’est rien d’autre que la somme de tous les projecteurs de trois tours voisins dans un État 3/2.

Le principal aperçu du papier AKLT était que cette construction pouvait être généralisée pour obtenir des modèles exactement résolubles pour les tailles de spin autre que 1/2. Tout comme une extrémité d’une liaison de valence est un spin 1/2, les extrémités de deux liaisons de valence peuvent être combinées en un spin 1, trois dans un spin 3/2, etc.

Définition [ modifier ]]

Affleck et al. étaient intéressés à construire un état unidimensionnel avec une liaison de valence entre chaque paire de sites. Parce que cela conduit à deux spin 1/2 pour chaque site, le résultat doit être la fonction d’onde d’un système Spin 1.

Pour chaque paire adjacente de la rotation 1, deux des quatre spin 1/2 constituent sont coincés dans un état total de rotation zéro. Par conséquent, chaque paire de spin 1 est interdite d’être dans un état combiné Spin 2.
En écrivant cette condition comme une somme de projecteurs qui favorisent l’état de spin 2 de paires de spin 1, Aklt est arrivé au hamiltonien suivant

${displaystyle {hat {H}}=sum _{langle ijrangle }{textit {P}}_{langle ijrangle }^{(2)}sim sum _{j}{vec {S}}_{j}cdot {vec {S}}_{j+1}+{frac {1}{3}}({vec {S}}_{j}cdot {vec {S}}_{j+1})^{2}}$

jusqu’à une constante,
où le

${Style de texte {S_ {i}}}}$

sont des opérateurs de spin-1, et

${TextStyle {textit {p}} _ {langage ijrangle} ^ {(2)}}$

Le projecteur local à 2 points qui favorise l’état de spin 2 d’une paire de tours adjacente.

Ce hamiltonien est similaire au modèle de spin quantum de Heisenberg Spin 1, mais a un terme d’interaction de spin “biquadratique” supplémentaire.

État fondamental [ modifier ]]

Par construction, l’état fondamental de l’Aklt Hamiltonian est le bond de valence solide avec une seule obligation de valence reliant chaque paire de sites voisins. Pictorialement, cela peut être représenté comme

Ici, les points solides représentent les spin 1/2 qui sont placés dans les états singulets. Les lignes reliant le spin 1 / 2s sont les liaisons de valence indiquant le modèle des maillots. Les ovales sont des opérateurs de projection qui “lient” ensemble deux spin 1 / 2s en un seul spin 1, projetant le sous-espace Spin 0 ou Singlet et ne gardant que le Spin 1 ou le sous-espace triplet. Les symboles “+”, “0” et “-” étiquettent les états de base standard Spin 1 (états propres du

${displaystyle s ^ {z}}$

opérateur). ^[dix]

Spin 1/2 States de bord [ modifier ]]

Pour le cas des tours disposés dans un anneau (conditions aux limites périodiques), la construction AKLT donne un état fondamental unique. Mais pour le cas d’une chaîne ouverte, la première et
Last Spin 1 n’a qu’un seul voisin, laissant l’une de leurs constituants Spin 1/2S non appariés. En conséquence, les extrémités de la chaîne se comportent comme un rotation libre 1/2 moments même si
Le système se compose uniquement de spin 1.

Les états de bord de spin 1/2 de la chaîne Aklt peuvent être observés de différentes manières. Pour les chaînes courtes, les états de bord se mélangent dans un singulet ou un triplet donnant soit un état fondamental unique, soit un multiplet trois fois des états terrestres. Pour les chaînes plus longues, les états de bord se découplent exponentiellement rapidement en fonction de la longueur de la chaîne conduisant à un collecteur à l’état fondamental qui est dégénéré quatre fois. ^[11] En utilisant une méthode numérique telle que le DMRG pour mesurer la magnétisation locale le long de la chaîne, il est également possible de voir les états de bord directement et de montrer qu’ils peuvent être supprimés en plaçant le spin 1 / 2s réel aux extrémités. ^[douzième] Il s’est même avéré possible de détecter les états de bord de spin 1/2 dans les mesures d’un composé magnétique quasi-1d contenant une petite quantité d’impuretés dont le rôle est de diviser les chaînes en segments finis. ^[13] En 2021, une signature spectroscopique directe des états de bord de spin 1/2 a été trouvée dans des chaînes de spin quantum isolées construites en triangulene, un hydrocarbone aromatique polycyclique spin 1. ^[14]

Matrix Product State Représentation [ modifier ]]

La simplicité de l’état fondamental AKLT permet de représenter sous une forme compacte comme un état de produit matriciel.
Ceci est une fonction d’onde de la forme

${displayStyle | psi Rangle = sum _ {{s}} opératorname {tr} [a ^ {s_ {1}} a ^ {s_ {2}} ldots a ^ {s_ {n}}] | s_ {1} S_ {2} ldots s_ {n} Hangle.}$

Ici, comme sont un ensemble de trois matrices étiquetées par

${displayStyle s_ {j}}$

Et la trace provient des conditions aux limites périodiques.

La fonction d’onde de l’état fondamental AKLT correspond au choix: ^[dix]

${displayStyle a ^ {+} = + {sqrt {tfrac {2} {3}}} Sigma ^ {+}}$

${displayStyle a ^ {0} = – {sqrt {tfrac {1} {3}}} Sigma ^ {z}}$

${displayStyle a ^ {-} = – {sqrt {tfrac {2} {3}}} Sigma ^ {-}}$

où

${DisplayStyle Sigma}$

est une matrice Pauli.

Généralisations et extensions [ modifier ]]

Le modèle AKLT a été résolu sur les réseaux de dimension supérieure, ^{[d’abord] [15]} Même dans les quasi-cristaux. ^{[ citation requise ]]} Le modèle a également été construit pour des algèbres de mensonges plus élevées, notamment Su ( n ), ^{[16] [17]} DONC( n ), ^[18] Sp (n) ^[19] et étendu aux groupes quantiques suq ( n ). ^[20]

Les références [ modifier ]]