Opérateur de Reynolds – Wikipedia wiki

Dans la dynamique fluide et la théorie invariante, un Opérateur de Reynolds est un opérateur mathématique donné en faisant la moyenne de quelque chose par rapport à une action de groupe, satisfaisant un ensemble de propriétés appelées Règles Reynolds. Dans la dynamique des fluides, les opérateurs de Reynolds sont souvent rencontrés dans des modèles de flux turbulents, en particulier les équations de Navier-Stokes moyennées par Reynolds, où la moyenne est généralement repris le flux de fluide sous le groupe de traductions temporelles. Dans la théorie invariante, la moyenne est souvent prise en charge un groupe compact ou un groupe algébrique réducteur agissant sur une algèbre commutative, comme un anneau de polynômes. Les opérateurs de Reynolds ont été introduits dans Fluid Dynamics par Osbourne Reynolds (1895) et nommés par J. Kampé de Fériet (1934, 1935, 1949).

Définition [ modifier ]]

Les opérateurs de Reynolds sont utilisés dans la dynamique des fluides, l’analyse fonctionnelle et la théorie invariante, et la notation et les définitions dans ces domaines diffèrent légèrement. Un opérateur de Reynolds agissant sur φ est parfois noté par

${DisplayStyle R (Phi), P (Phi), Rho (Phi), Langle Phi Rangle}$

ou

${displayStyle {overline {phi}}}$

.
Les opérateurs de Reynolds sont généralement des opérateurs linéaires agissant sur une algèbre de fonctions, satisfaisant l’identité

${DisplayStyle r (r (phi) psi) = r (phi) r (psi) quad {text {pour tout}}}, psi}$

et parfois d’autres conditions, telles que les déplacements avec diverses actions de groupe.

Théorie invariante [ modifier ]]

Dans la théorie invariante, un opérateur de Reynolds R est généralement un opérateur linéaire satisfaisant

${DisplayStyle r (r (phi) psi) = r (phi) r (psi) quad {text {pour tout}}}, psi}$

et

${displayStyle r (1) = 1}$

Ensemble, ces conditions impliquent que R est idempotent: R ² = R . L’opérateur de Reynolds se déplacera également généralement avec une action de groupe et se projetera sur les éléments invariants de cette action de groupe.

Analyse fonctionnelle [ modifier ]]

Dans l’analyse fonctionnelle, un opérateur de Reynolds est un opérateur linéaire R Agissant sur une algèbre de fonctions Phi , satisfaisant le Identité de Reynolds

${textStyle r (phi psi) = r (phi) r (psi) + rleft (gauche (phi -r (phi) droit) gauche (psi -r (psi) droit) quad {text {pour tout}} phi , psi}$

L’opérateur R est appelé un opérateur moyen S’il est linéaire et satisfait

${DisplayStyle r (r (phi) psi) = r (phi) r (psi) quad {text {pour tout}}}, psi}$

Si R ( R ( Phi )) = R ( Phi ) pour tout φ alors R est un opérateur de moyenne si et seulement s’il s’agit d’un opérateur de Reynolds. Parfois l R ( R ( Phi )) = R ( Phi ) Une condition est ajoutée à la définition des opérateurs de Reynolds.

Dynamique des fluides [ modifier ]]

Laisser

${displaystyle phi}$

et

${displaystyle psi}$

être deux variables aléatoires, et

${displaystyle a}$

être une constante arbitraire. Ensuite, les propriétés satisfaites par les opérateurs de Reynolds, pour un opérateur

${DisplayStyle Langle Hangle,}$

Inclure la linéarité et la propriété en moyenne:

${displaystyle langle phi +psi rangle =langle phi rangle +langle psi rangle ,,}$

${displaystyle langle Aphi Hangle = Alangle phi Hangle ,,}$

${displaystyle langle langle phi rangle psi rangle =langle phi rangle langle psi rangle ,,}$

ce qui implique

${displaystyle lang vidange phi Hangle Hangle = langle phi Hangle.,}$

De plus, l’opérateur de Reynolds est souvent supposé se déplacer avec l’espace et les traductions temporelles:

${displayStyle Leftlangle {frac {Partial Phi} {partial t}} Rightrangle = {frac {Langle partiel phi Rangle} {Partial T}}, Qquad Leftlangle {frac {Frac {Phi} partiel {partial x}} Rightrang phi Hangle} {partiel x}},}$

${affichage de gauche à gauche int phi ({boldsymbol {x}}, t), d {boldsymbol {x}}, dtrightrangle = int langle phi ({boldsymbol {x}}, t), d {boldsymbol {x}}, dt .}$

Tout opérateur satisfaisant ces propriétés est un opérateur de Reynolds. ^[d’abord]

Exemples [ modifier ]]

Les opérateurs de Reynolds sont souvent donnés en se projetant sur un sous-espace invariant d’une action de groupe.

• L’opérateur de «Reynolds» considéré par Reynolds (1895) était essentiellement la projection d’un flux de fluide vers le flux de fluide «moyen», qui peut être considéré comme une projection des flux invariants dans le temps. Ici, l’action de groupe est donnée par l’action du groupe de translations temporelles.
• Supposer que g est un groupe algébrique réducteur ou un groupe compact, et DANS est une représentation de dimension finie de g . Alors g agit également sur l’algèbre symétrique SV des polynômes. L’opérateur de Reynolds R est le g -projection invariante de SV à la sous-lamelle SV ^g d’éléments fixés par g .

Les références [ modifier ]]

• Kampé de Fériet, J. (1934), “L’état actuel du problème de la turbulence I”, La Science Aérienne , 3 : 9–34
• Kampé de Fériet, J. (1935), “L’état actuel du problème de la turbulence II”, La Science Aérienne , 4 : 12–52
• Kampé de Fériet, J. (1949), “Sur un problème d’algèbre abstraite posé par la définition de la moyenne dans la théorie de la turbulence”, Annales de la Société Scientifique de Bruxelles. Série I. Sciences Mathématiques, Astronomiques et Physiques , 63 : 165–180, ISSN 0037-959X , M 0032718
• Reynolds, O. (1895), “Sur la théorie dynamique des fluides visqueux incompressibles et la détermination du critère” , Transactions philosophiques de la Royal Society a , 186 : 123–164, Bibcode: 1895rspta.186..123r , est ce que je: 10.1098 / RSTA.1895.0004 , Jstor 90643
• Rota, Giant (2003), Gian-Carlo Rota sur l’analyse et la probabilité , Mathématiciens contemporains, Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4275-4 , M 1944526 Réimpression plusieurs des articles de Rota sur les opérateurs de Reynolds, avec commentaire.
• Rota, Gian-Carlo (1964), “Reynolds Operators”, Proc. Sympos. Appl. Mathématiques. , vol. XVI, Providence, R.I.: Amer. Mathématiques. Soc., Pp. 70–83, M. 0161140
• Sturmfels, Bernd (1993), Algorithmes dans la théorie invariante , Textes et monographies dans Symbolic Computation, Berlin, New York: Springer-Verlag, DOI: 10 1007 / 978-3-7091-4368-1 , Isbn 978-3-211-82445-0 , M 1255980