Problème de Bernstein – Wikipedia wiki

En géométrie différentielle, Le problème de Bernstein est le suivant: Si le graphique d’une fonction sur R ^{n −1} est une surface minimale dans R ⁿ , cela implique-t-il que la fonction est linéaire?
C’est vrai dans les dimensions n au plus 8, mais faux dans les dimensions n au moins 9. Le problème porte le nom de Sergei Natanovich Bernstein qui a résolu l’affaire n = 3 en 1914.

Déclaration [ modifier ]]

Supposer que F est une fonction de n – 1 variables réelles. Le graphique de F est une surface dans R ⁿ et la condition qu’il s’agit d’une surface minimale est que F satisfait l’équation de surface minimale

${displayStyle sum _ {i = 1} ^ {n-1} {frac {partiel} {partiel x_ {i}}} {frac {frac {partiel f} {Partial x_ {i}}} {sqrt {1 + sum partiel {i}}} {Sqrt {1 + sum partiel _ {j = 1} ^ {n-1} Left ({frac {partial f} {partiel x_ {j}}} droit) ^ {2}}}} = 0}$

Le problème de Bernstein demande si un entier fonction (une fonction définie tout au long R ^{n −1} ) qui résout cette équation est nécessairement un polynôme de degré-1.

Histoire [ modifier ]]

Bernstein (1915-1917) a prouvé le théorème de Bernstein qu’un graphique d’une fonction réelle R ² c’est aussi une surface minimale dans R ³ doit être un avion.

Fleming (1962) a donné une nouvelle preuve du théorème de Bernstein en le déduisant du fait qu’il n’y a pas de cône de mine de zone non plane R ³ .

De Giorgi (1965) a montré que s’il n’y a pas de cône de midiment de zone non planaire en R ^{n −1} Ensuite, l’analogue du théorème de Bernstein est vrai R ⁿ , qui en particulier implique qu’il est vrai R ⁴ .

Almgren (1966) a montré qu’il n’y a pas R ⁴ , étendant ainsi le théorème de Bernstein à R ⁵ .

Simons (1968) a montré qu’il n’y a pas de cônes minimisant non planes dans R ⁷ , étendant ainsi le théorème de Bernstein à R ⁸ . Il a également donné des exemples de cônes stables localement dans R ⁸ et a demandé s’ils étaient dans la zone mondiale.

Bombieri, de Giorgi et Giusti (1969) ont montré que les cônes de Simons minimisant en effet et ont montré que dans R ⁿ pour n ≥9 Il existe des graphiques qui sont minimes mais pas des hyperplanes. Combiné avec le résultat de Simons, cela montre que l’analogue du théorème de Bernstein est vrai dans les dimensions jusqu’à 8, et faux dans des dimensions plus élevées.
Un exemple spécifique est la surface

.

Les références [ modifier ]]

• Almgren, F. J. (1966), “Certains théorèmes de la régularité intérieure pour les surfaces minimales et une extension du théorème de Bernstein”, Annales de mathématiques , Deuxième série, 84 : 277–292, doi: 10 2307/1970520 , Issn 0003-486x , Jstor 1970520 , M 0200816
• Bernstein, S. N. (1915–1917), “Sur une théorème de géometrie et ses applications aux équations dérivées partielles du type elliptique”, Comm. Soc. Mathématiques. Kharkov , 15 : 38–45 Traduction allemande dans Bernstein, Serge (1927), “via un théorème géométrique et son application aux équations différentielles partielles du type elliptique”, Magazine mathématique (en allemand), Springer Berlin / Heidelberg, 26 : 551–558, doi: 10.1007 / BF01475472 , Issn 0025-5874
• Bombieri, Enrico; De Giorgi, Ennio; Giusti, E. (1969), “Minimal avec le problème de Bernstein”, Résultats des mathématiques , 7 : 243–268, doi: 10.1007 / BF01404309 , Issn 0020-9910 , M 0250205
• De Giorgi, Ennio (1965), “Une extension du théorème de Bernstein” , Ann. Norme. Sup. Pise (3) , 19 : 79–85, M. 0178385
• Fleming, Wendell H. (1962), “Sur le problème du plateau orienté”, Rapports du cercle mathématique de Palerme. Série II , 11 : 69–90, doi: 10.1007 / BF02849427 , Issn 0009-725X , M 0157263
• Sabitov, I. Kh. (2001) [1994], “Théorème de Bernstein” , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press
• Simons, James (1968), “Variétés minimales dans les collecteurs de Riemannien” , Annales de mathématiques , Deuxième série, 88 : 62–105, doi: 10 2307/1970556 , Issn 0003-486x , Jstor 1970556 , M 0233295
• Straume, E. (2001) [1994], “Problème de Bernstein en géométrie différentielle” , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press

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