Représentation de Steinberg – Wikipedia wiki

En mathématiques, le Représentation de Steinberg , ou Module Steinberg ou Personnage de Steinberg , indiqué par St , est une représentation linéaire particulière d’un groupe algébrique réducteur sur un champ fini ou un champ local, ou un groupe avec une paire BN. Il est analogue à la représentation des signes unidimensionnelle ε d’un coxètre ou d’un groupe Weyl qui porte toutes les réflexions à –1.

Pour les groupes sur des champs finis, ces représentations ont été introduites par Robert Steinberg (1951, 1956, 1957), d’abord pour les groupes linéaires généraux, puis pour les groupes classiques, puis pour tous les groupes Chevalley, avec une construction qui s’est immédiatement généralisée aux autres groupes de type de mensonge découvert peu de temps après par Steinberg, Suzuki et Ree.
Sur un champ de caractéristique fini p , la représentation de Steinberg a un degré égal à la plus grande puissance de p diviser l’ordre du groupe.

La représentation de Steinberg est le dual Alvis – Curtis de la représentation triviale 1 dimension.

Matsumoto (1969), Shalika (1970) et Harish-Chandra (1973) ont défini des représentations analogues de Steinberg (parfois appelées représentations spéciales ) pour les groupes algébriques sur les champs locaux. Pour le groupe linéaire général GL (2), la dimension du module jacquet d’une représentation spéciale en est toujours une.

La représentation Steinberg d’un groupe fini [ modifier ]]

• La valeur de caractère de St sur un élément g équivaut à signer, l’ordre d’un sous-groupe sylow du centraliseur de g si g a l’ordre prime pour p , et est nul si l’ordre de g est divisible par p .
• La représentation de Steinberg est égale à une somme alternative sur tous les sous-groupes paraboliques contenant un sous-groupe borel, de la représentation induite à partir de la représentation d’identité du sous-groupe parabolique. ^[d’abord]
• La représentation de Steinberg est à la fois régulière et unipotente, et est la seule représentation unipotente régulière irréductible (pour le premier donné p ).
• La représentation de Steinberg est utilisée dans la preuve du théorème d’Haboush (la conjecture de Mumford).

La plupart des groupes simples finis ont exactement une représentation Steinberg. Quelques-uns en ont plus d’un parce qu’ils sont
Les groupes de mensonges tapent de plus d’une manière. Pour les groupes symétriques (et autres groupes de coxétéraires), la représentation des signes est analogue à la représentation de Steinberg. Certains des groupes simples sporadiques agissent comme des groupes de permutation doublement transitive, il a donc une paire BN pour laquelle on peut définir une représentation de Steinberg, mais pour la plupart des groupes sporadiques, il n’y a pas d’analogue connu.

La représentation Steinberg d’un p -Prou-ADIC [ modifier ]]

Matsumoto (1969), Shalika (1970) et Harish-Chandra (1973) ont introduit des représentations de Steinberg pour les groupes algébriques sur des domaines locaux. Casselman (1973) a montré que les différentes façons de définir les représentations de Steinberg sont équivalentes.
Borel & Serre (1976) et Borel (1976) ont montré comment réaliser la représentation de Steinberg dans le groupe de cohomologie H ^l
_c ( X ) du bâtiment Bruhat – Tits du groupe.

Les références [ modifier ]]

• Borel, Armand (1976), “Représentations admissibles d’un groupe semi-simple sur un champ local avec des vecteurs fixés sous un sous-groupe d’Iwahori”, Résultats des mathématiques , 35 : 233–259, doi: 10.1007 / BF01390139 , Issn 0020-9910 , M 0444849
• Borel, Armand; Serre, Jean-Pierre (1976), “Cohomologie d’immeubles et de groupes S-arithmétiques”, Topologie , 15 (3): 211–232, doi: 10.1016 / 0040-9383 (76) 90037-9 , Issn 0040-9383 , M 0447474
• Bump, Daniel (1997), Formes et représentations automorphes , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 55, Cambridge University Press, doi: 10.1017 / cbo9780511609572 , Isbn 978-0-521-55098-7 , M 1431508
• Groupes finis de type de mensonge: cours de conjugaison et caractères complexes (Wiley Classics Library) Par Roger W. Carter, John Wiley & Sons Inc; Nouvelle édition ED (août 1993) ISBN 0-471-94109-3
• Casselman, W. (1973), “The Steinberg Character as a True Character”, dans Moore, Calvin C. (éd.) Analyse harmonique des espaces homogènes (Williams Coll., Williamstown, Mass., 1972) , Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXVI, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 413–417, ISBN 978-0-8218-1426-0 , M 0338273
• Harish-Chandra (1973), “Analyse harmonique des groupes réels P-adic”, dans Moore, Calvin C. (éd.), Analyse harmonique sur les espaces homogènes (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. Xxvi, Williams Coll., Williamstown, Mass., 1972) , Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXVI, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 167–192, ISBN 978-0-8218-1426-0 , M 0340486
• Matsumoto, Hideya (1969), “Fonctions sphériques sur un groupe semi-simple p-adique”, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, Série A et B , 269 : A829-A832, ISSN 0151-0509 , M 0263977
• Shalika, J. A. (1970), “Sur l’espace des formes de cuspide d’un groupe de Chevalley P-adic”, Annales de mathématiques , Deuxième série, 92 (2): 262-278, doi: 10 2307/1970837 , Issn 0003-486x , Jstor 1970837 , M 0265514
• Steinberg, Robert (2001) [1994], “Module Steinberg” , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press
• Steinberg, Robert (1951), “Une approche géométrique des représentations du groupe linéaire complet sur un champ Galois”, Transactions de l’American Mathematical Society , 71 (2): 274–282, doi: 10.1090 / s0002-9947-1951-0043784-0 , Issn 0002-9947 , Jstor 1990691 , M 0043784
• Steinberg, Robert (1956), “Prime Power Représentations des groupes linéaires finis” , Journal canadien des mathématiques , 8 : 580–591, doi: 10.4153 / CJM-1956-063-3 , Issn 0008-414X , M 0080669
• Steinberg, R. (1957), “Prime Power Représentations des groupes linéaires finis II”, Peut. J. Math. , 9 : 347–351, doi: 10.4153 / CJM-1957-041-1
• R. Steinberg, Documents collectés , Amer. Mathématiques. Soc. (1997) ISBN 0-8218-0576-2 pp. 580-586
• Humphreys, J.E. (1987), “La représentation de Steinberg” , Taureau. Amer. Mathématiques. Soc. (N.S.) , 16 (2): 237–263, doi: 10.1090 / s0273-0979-1987-15512-1 , M 0876960