Satake Diagramme – Wikipedia wiki

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Dans l’étude mathématique des algèbres de mensonge et des groupes de mensonges, un Diagramme de satake est une généralisation d’un diagramme Dynkin introduit par Satake (1960, p.109) dont les configurations classent les algèbres de mensonge simples sur le domaine des nombres réels. Les diagrammes de Satake associés à un diagramme de dynkin classent les formes réelles de l’algèbre de mensonge complexe correspondant au diagramme de dynkin.

Plus généralement, le Index des seins ou Diagramme de Satake-Tits Un groupe algébrique réducteur sur un champ est une généralisation du diagramme de Satake aux champs arbitraires, introduits par Tits (1966), qui réduit la classification des groupes algébriques réducteurs à celui des groupes algébriques réducteurs anisotropes.

Les diagrammes de Satake ne sont pas les mêmes que les diagrammes de vogan d’un groupe de mensonges, bien qu’ils ressemblent.

Définition [ modifier ]]

Un diagramme de Satake est obtenu à partir d’un diagramme Dynkin en noircissant certains sommets et en reliant d’autres sommets par paires par des flèches, selon certaines règles.

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Supposer que g est un groupe algébrique défini sur un champ k , comme les réels. Nous laissons S être un tore divisé maximal dans g , et prend T être un tore maximal contenant S défini sur la fermeture algébrique séparable K de k . Alors g ( K ) a un diagramme dynkin par rapport à un choix de racines positives T . Ce diagramme Dynkin a une action naturelle du groupe Galois de K / / k . Aussi certaines des racines simples disparaissent S . Le Diagramme de Satake-Tits est donné par le diagramme Dynkin D , avec l’action du groupe Galois, avec les racines simples qui disparaissent S noir coloré. Dans le cas où k est le domaine des nombres réels, le groupe Galois absolu a l’ordre 2 et son action sur D est représenté en dessinant des points conjugués du diagramme Dynkin les uns des autres, et le diagramme Satake – Tits est appelé diagramme de Satake.

Exemples [ modifier ]]

Différences entre les diagrammes Satake et Vogan [ modifier ]]

Les diagrammes Satake et Vogan sont utilisés pour classer les groupes de mensonges semi-impimpinés ou les algèbres (ou les groupes algébriques) sur les réels et les deux se composent de diagrammes de dynkin enrichis par un sous-ensemble noirci des nœuds et reliant certaines paires de sommets par des flèches. Les diagrammes de Satake, cependant, peuvent être généralisés à n’importe quel champ (voir ci-dessus) et tomber sous le paradigme général de la cohomologie des galois, tandis que les diagrammes de vogan sont définis spécifiquement par rapport aux réels. D’une manière générale, la structure d’une véritable algèbre de mensonge semi-simples est codée d’une manière plus transparente dans son diagramme de satake, mais les diagrammes de vogan sont plus simples à classer.

La différence essentielle est que le diagramme Satake d’une véritable algèbre de mensonge semi-chimique

g{displayStyle {mathfrak {g}}}

avec l’involution de Cartan e et paire de cartan associée

g= k⊕ p{displayStyle {Mathfrak {g}} = {Mathfrak {k}} oplus {Mathfrak {p}}}

(les espaces propres +1 et -1 de e ) est défini en commençant à partir d’un maximum non obligé e -Sable Cartan Subalgebra

h{displayStyle {mathfrak {h}}}

, c’est-à-dire un pour lequel

e ( h) = h{displayStyle theta ({mathfrak {h}}) = {mathfrak {h}}}

et

h∩ k{DisplayStyle {mathfrak {h}} cap {mathfrak {k}}}

est aussi petit que possible (dans la présentation ci-dessus,

h{displayStyle {mathfrak {h}}}

apparaît comme l’algèbre de mensonge du tore divisé maximal S ), tandis que les diagrammes de vogan sont définis à partir d’un maximum compact e -Sable Cartan Subalgebra, c’est-à-dire un pour lequel

e ( h) = h{displayStyle theta ({mathfrak {h}}) = {mathfrak {h}}}

et

h∩ k{DisplayStyle {mathfrak {h}} cap {mathfrak {k}}}

est aussi grand que possible.

Le diagramme de dynkin non orné (c’est-à-dire qu’avec uniquement des nœuds blancs et pas de flèches), lorsqu’il est interprété comme un diagramme de satake, représente la forme réelle divisée de l’algèbre de mensonge, alors qu’elle représente la forme compacte lorsqu’elle est interprétée comme un diagramme de vogan.

Voir également [ modifier ]]

Les références [ modifier ]]

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