Série hypergéométrique de base – Wikipedia wiki

Q-analog des séries hypergéométriques

En mathématiques, Série hypergéométrique de base , ou q -Ir série d’hypergeométrie , sont q -Les généralisations analogiques des séries hypergéométriques généralisées, et sont à leur tour généralisées par des séries hypergéométriques elliptiques.
Une série X _n est appelé hypergéométrique si le rapport des termes successifs X _{n +1} / / X _n est une fonction rationnelle de n . Si le rapport des termes successifs est une fonction rationnelle de q ⁿ , alors la série est appelée une série hypergéométrique de base. Le nombre q est appelé la base.

La série hypergéométrique de base

${displayStyle {} _ {2} phi _ {1} (q ^ {alpha}, q ^ {bêta}; q ^ {gamma}; q, x)}$

a d’abord été considéré par Eduard Heine (1846). Cela devient la série hypergéométrique

${DisplayStyle f (alpha, bêta; gamma; x)}$

dans la limite lorsque la base

${displayStyle q = 1}$

.

Définition [ modifier ]]

Il existe deux formes de série hypergéométrique de base, la Série hypergéométrique de base unilatérale φ, et le plus général Série hypergéométrique de base bilatérale ψ.
Le Série hypergéométrique de base unilatérale est défini comme

${displayStyle; _ {j} phi _ {k} gauche [{begin {matrix} a_ {1} & a_ {2} & ldots & a_ {j} \ b_ {1} & b_ {2} & ldots & b_ {k} end {matrix} }; q, zRight] = sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {(a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {j}; q) _ {n}} {(b_ { 1}, b_ {2}, ldots, b_ {k}, q; q) _ {n}}} gauche ((- 1) ^ {n} q ^ {n Choisissez 2} à droite) ^ {1 + k-j} z ^ {n}}$

où

${displayStyle (a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {m}; q) _ {n} = (a_ {1}; q) _ {n} (a_ {2}; q) _ {n } ldots (a_ {m}; q) _ {n}}$

et

${displayStyle (a; q) _ {n} = prod _ {k = 0} ^ {n-1} (1-aq ^ {k}) = (1-a) (1-aq) (1-aq ^ {2}) cdots (1-aq ^ {n-1})}$

est le q -Shifted factorial.
Le cas spécial le plus important est quand J = k + 1, quand il devient

${displayStyle; _ {k + 1} phi _ {k} Left [{begin {matrix} a_ {1} & a_ {2} & ldots & a_ {k} & a_ {k + 1} \ b_ {1} & b_ {2} & ldots & b_ {k} end {matrix}}; q, zRight] = sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {(a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {k + 1}; ) _ {n}} {(b_ {1}, b_ {2}, ldots, b_ {k}, q; q) _ {n}}} z ^ {n}.}$

Cette série s’appelle équilibré si un _d’abord … un _{k + 1} = b _d’abord … b _k q .
Cette série s’appelle bien en équilibre si un _d’abord q = un ₂ b _d’abord = … = un _{k + 1} b _k , et Très bien prêt si en plus un ₂ = – un ₃ = QA _d’abord ^1/2 .
La série hypergéométrique unilatérale de base est un Q-analog de la série hypergéométrique depuis

${displayStyle lim _ {qto 1}; _ {j} phi _ {k} gauche [{begin {matrix} q ^ {a_ {1}} & q ^ {a_ {2}} & ldots & q ^ {a_ {j}}} \ q ^ {b_ {1}} & q ^ {b_ {2}} & ldots & q ^ {b_ {k}} end {matrix}}; q, (q-1) ^ {1 + k-j} zRight] =; _ {j} f_ {k} Left [{begin {matrix} a_ {1} & a_ {2} & ldots & a_ {j} \ b_ {1} & b_ {2} & ldots & b_ {k} end {matrix}}; zright]}$

Holds (Koekoek et Swarttouw (1996)).
Le Série hypergéométrique de base bilatérale , correspondant à la série hypergéométrique bilatérale, est défini comme

${displayStyle; _ {j} psi _ {k} gauche [{begin {matrix} a_ {1} & a_ {2} & ldots & a_ {j} \ b_ {1} & b_ {2} & ldots & b_ {k} end {matrix} }; q, zRight] = sum _ {n = -infty} ^ {infty} {frac {(a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {j}; q) _ {n}} {(b_ Gens n}.}$

Le cas spécial le plus important est quand J = k , quand il devient

${displayStyle; _ {k} psi _ {k} gauche [{begin {matrix} a_ {1} & a_ {2} & ldots & a_ {k} \ b_ {1} & b_ {2} & ldots & b_ {k} end {matrix} }; q, zRight] = sum _ {n = -infty} ^ {infty} {frac {(a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {k}; q) _ {n}} {(b_ {1}, b_ {2}, ldots, b_ {k}; q) _ {n}}} z ^ {n}.}$

La série unilatérale peut être obtenue comme un cas spécial de celui bilatéral en définissant l’un des b variables égales à q , au moins quand aucun des un Les variables sont un pouvoir de q , comme tous les termes avec n <0 alors disparaître.

Séries simples [ modifier ]]

Certaines expressions de séries simples incluent

${displayStyle {frac {z} {1-q}}; _ {2} phi _ {1} Left [{begin {matrix} q; q \ q ^ {2} end {matrix}} ;; q, zright] = {frac {z} {1-q}} + {frac {z ^ {2}} {1-q ^ {2}}} + {frac {z ^ {3}} {1-q ^ {3} }} + ldots}$

et

${displayStyle {frac {z} {1-q ^ {1/2}}}; _ {2} phi _ {1} Left [{begin {matrix} q; q ^ {1/2} \ q ^ {3 / 2} end {matrix}} ;; q, zRight] = {frac {z} {1-q ^ {1/2}}} + {frac {z ^ {2}} {1-q ^ {3 / 2}}} + {frac {z ^ {3}} {1-Q ^ {5/2}}} + ldots}$

et

${displayStyle; _ {2} phi _ {1} Left [{begin {matrix} q; -1 \ -qend {matrix}} ;; q, zRight] = 1 + {frac {2z} {1 + q}} + {frac {2z ^ {2}} {1 + q ^ {2}}} + {frac {2z ^ {3}} {1 + q ^ {3}}} + ldots.}$

Le q – Théorème de l’office [ modifier ]]

Le q -Théorème de la Binomial (publié pour la première fois en 1811 par Heinrich August Rothe) ^{[d’abord] [2]} stipule que

${DisplayStyle; _ {1} phi _ {0} (a; q, z) = {frac {(az; q) _ {infty}} {(z; q) _ {infty}}} = prod _ {n = 0} ^ {infty} {frac {1-aq ^ {n} z} {1-q ^ {n} z}}}}$

qui suit en appliquant à plusieurs reprises l’identité

${DisplayStyle; _ {1} phi _ {0} (a; q, z) = {frac {1-az}}}}}}}; _ {1} phi _ {0} (a; q, qz) .}$

Le cas spécial de un = 0 est étroitement lié à la Q-exponentielle.

Théorème binomial de Cauchy [ modifier ]]

Le théorème binomial de Cauchy est un cas particulier du théorème du binomial Q. ^[3]

${displayStyle sum _ {n = 0} ^ {n} y ^ {n} q ^ {n (n + 1) / 2} {begin {bmatrix} n \ nend {bMatrix}} _ {q} = prod _ { k = 1} ^ {n} gauche (1 + yq ^ {k} droite) qquad (| q | <1)}$

L’identité de Ramanujan [ modifier ]]

Srinivasa Ramanujan a donné l’identité

${displayStyle; _ {1} psi _ {1} gauche [{begin {matrix} a \ bend {matrix}}; q, zRight] = sum _ {n = -infty} ^ {infty} {frac {(a; q) _ {n}} {(b; q) _ {n}}} z ^ {n} = {frac {(b / a, q, q / az, az; q) _ {infty}} {((az b, b / az, q / a, z; q) _ {infty}}}}$

Valable pour | q | <1 et | b / / un | <| Avec | <1 identité similaire pour

${displayStyle; _ {6} psi _ {6}}$

ont été donnés par Bailey. Une telle identité peut être comprise comme des généralisations du théorème de produit triple Jacobi, qui peut être écrit à l’aide de la série Q comme

${displayStyle sum _ {n = -infty} ^ {infty} q ^ {n (n + 1) / 2} z ^ {n} = (q; q) _ {infty}; (- 1 / z; q) _ {infty}; (- zq; q) _ {infty}.}$

Ken Ono donne une série de puissance formelle connexe ^[4]

${displayStyle a (z; q) {stackrel {rm {def}} {=}} {frac {1} {1 + z}} sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {(z; q) _ {n}} {(- zq; q) _ {n}}} z ^ {n} = sum _ {n = 0} ^ {infty} (- 1) ^ {n} z ^ {2n} q ^ {n ^ {2}}.}$

Le contour intégral de Watson [ modifier ]]

En tant que analogue de l’intégrale de Barnes pour la série hypergéométrique, Watson a montré que

$gens } {(q, c; q) _ {infty}}} int _ {- iinfty} ^ {iinfty} {frac {(qq ^ {s}, cq ^ {s}; q) _ {infty}} {( aq ^ {s}, bq ^ {s}; q) _ {infty}}} {frac {pi (-z) ^ {s}} {sin pi s}} ds}$

où les pôles de

${displayStyle (aq ^ {s}, bq ^ {s}; q) _ {infty}}$

mentir à gauche du contour et les pôles restants mentent à droite. Il existe une intégrale de contour similaire pour _{r +1} Phi _r . Cette intégrale de contour donne une continuation analytique de la fonction hypergéométrique de base dans Avec .

Version matricielle [ modifier ]]

La fonction de matrice hypergéométrique de base peut être définie comme suit:

${displayStyle {} _ {2} phi _ {1} (a, b; c; q, z): = sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {(a; q) _ {n} ( B; q) _ {n}} {(c; q) _ {n} (q; q) _ {n}}} z ^ {n}, quad (a; q) _ {0}: = 1, quad (a; q) _ {n}: = prod _ {k = 0} ^ {n-1} (1-aq ^ {k}).}$

Le test de rapport montre que cette fonction matricielle est absolument convergente. ^[5]

Voir également [ modifier ]]

Liens externes [ modifier ]]

Les références [ modifier ]]

• Andrews, G. E. (2010), “Q-hypergéométrique et fonctions connexes” , à Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (éd.), NIST manuel des fonctions mathématiques , Cambridge University Press, ISBN 978-0-0-521-19225-5 , M 2723248
• W.N. Bailey, Série hypergéométrique généralisée , (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge.
• William Y. C. Chen et Amy Fu, Formes semi-finites de séries hypergéométriques de base bilatérales (2004)
• Exton, H. (1983), Fonctions et applications Q-hypergéométriques , New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538
• Sylvie Corteel et Jeremy Lovejoy, Les partitions de Frobenius et la combinatoire de Ramanujan
  ${displayStyle, _ {1} psi _ {1}}$

  Addition

• Fine, Nathan J. (1988), Série et applications hypergéométriques de base , Enquêtes mathématiques et monographies, vol. 27, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1524-3 , M 0956465
• Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Série hypergéométrique de base , Encyclopédie des mathématiques et ses applications, vol. 96 (2e éd.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83357-8 , M 2128719
• Heine, Eduard (1846), “À propos de la série
  ${displayStyle 1+ {frac {(q ^ {alpha} -1) (q ^ {bêta} -1)} {(q-1) (q ^ {gamma} -1)}} x + {frac {(q ^ {alpha} -1) (q ^ {alpha +1} -1) (q ^ {bêta} -1) (q ^ {beta +1} -1)} {(q-1) (q ^ {2} -1) (q ^ {gamma} -1) (q ^ {gamma +1} -1)}} x ^ {2} + cdots}$

  ” , Journal pour les mathématiques pures et appliquées , 32 : 210–212

• Victor Kac, Pokman Cheung, calcul quantique , Universitext, Springer-Verlag, 2002. ISBN 0-387-95341-8
• Coucoo, Roelof; Swart Tub, René F. (1996). Le schéma ASKEY des polynômes orthogonaux et ses Q-analogues (Rapport). Université technique Delft. Non. 98-17. . Section 0.2
• Andrews, G. E., Askey, R. et Roy, R. (1999). Fonctions spéciales, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, Volume 71, Cambridge University Press.
• Eduard Heine, Théorie des fonctions de bouilloire , (1878) d’abord , pp 97–125.
• Eduard Heine, Manuel des fonctions de bouilloire. Théorie et application (1898) Springer, Berlin.