[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/serie-hypergeometrique-de-base-wikipedia\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/serie-hypergeometrique-de-base-wikipedia\/","headline":"S\u00e9rie hyperg\u00e9om\u00e9trique de base – Wikipedia wiki","name":"S\u00e9rie hyperg\u00e9om\u00e9trique de base – Wikipedia wiki","description":"before-content-x4 Un article de Wikip\u00e9dia, l’encyclop\u00e9die libre after-content-x4 Q-analog des s\u00e9ries hyperg\u00e9om\u00e9triques En math\u00e9matiques, S\u00e9rie hyperg\u00e9om\u00e9trique de base , ou","datePublished":"2020-03-22","dateModified":"2020-03-22","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/c9645c498c9701c88b89b8537773dd7c?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/c9645c498c9701c88b89b8537773dd7c?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/f7199506e1bcc6bf6f18862b4a76595a433c4a16","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/f7199506e1bcc6bf6f18862b4a76595a433c4a16","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/serie-hypergeometrique-de-base-wikipedia\/","wordCount":12400,"articleBody":" (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});before-content-x4Un article de Wikip\u00e9dia, l’encyclop\u00e9die libre (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4Q-analog des s\u00e9ries hyperg\u00e9om\u00e9triques En math\u00e9matiques, S\u00e9rie hyperg\u00e9om\u00e9trique de base , ou q -Ir s\u00e9rie d’hypergeom\u00e9trie , sont q -Les g\u00e9n\u00e9ralisations analogiques des s\u00e9ries hyperg\u00e9om\u00e9triques g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9es, et sont \u00e0 leur tour g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9es par des s\u00e9ries hyperg\u00e9om\u00e9triques elliptiques.Une s\u00e9rie X n est appel\u00e9 hyperg\u00e9om\u00e9trique si le rapport des termes successifs X n +1 \/ \/ X n est une fonction rationnelle de n . Si le rapport des termes successifs est une fonction rationnelle de q n , alors la s\u00e9rie est appel\u00e9e une s\u00e9rie hyperg\u00e9om\u00e9trique de base. Le nombre q est appel\u00e9 la base. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4La s\u00e9rie hyperg\u00e9om\u00e9trique de base 2\u03d5 1( q \u03b1, q \u03b2; q \u03b3; q , X ) {displayStyle {} _ {2} phi _ {1} (q ^ {alpha}, q ^ {b\u00eata}; q ^ {gamma}; q, x)} a d’abord \u00e9t\u00e9 consid\u00e9r\u00e9 par Eduard Heine (1846). Cela devient la s\u00e9rie hyperg\u00e9om\u00e9trique F ( un , b ; c ; X ) {DisplayStyle f (alpha, b\u00eata; gamma; x)} dans la limite lorsque la base q = d’abord {displayStyle q = 1} . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4 Table of ContentsD\u00e9finition [ modifier ]] S\u00e9ries simples [ modifier ]] Le q – Th\u00e9or\u00e8me de l’office [ modifier ]] Th\u00e9or\u00e8me binomial de Cauchy [ modifier ]] L’identit\u00e9 de Ramanujan [ modifier ]] Le contour int\u00e9gral de Watson [ modifier ]] Version matricielle [ modifier ]] Voir \u00e9galement [ modifier ]] Liens externes [ modifier ]] Les r\u00e9f\u00e9rences [ modifier ]] D\u00e9finition [ modifier ]] Il existe deux formes de s\u00e9rie hyperg\u00e9om\u00e9trique de base, la S\u00e9rie hyperg\u00e9om\u00e9trique de base unilat\u00e9rale \u03c6, et le plus g\u00e9n\u00e9ral S\u00e9rie hyperg\u00e9om\u00e9trique de base bilat\u00e9rale \u03c8.Le S\u00e9rie hyperg\u00e9om\u00e9trique de base unilat\u00e9rale est d\u00e9fini comme j\u03d5k[a1a2\u2026ajb1b2\u2026bk;q,z]= \u2211n=0\u221e(a1,a2,\u2026,aj;q)n(b1,b2,\u2026,bk,q;q)n((\u22121)nq(n2))1+k\u2212jzn{displayStyle; _ {j} phi _ {k} gauche [{begin {matrix} a_ {1} & a_ {2} & ldots & a_ {j} \\ b_ {1} & b_ {2} & ldots & b_ {k} end {matrix} }; q, zRight] = sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {(a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {j}; q) _ {n}} {(b_ { 1}, b_ {2}, ldots, b_ {k}, q; q) _ {n}}} gauche ((- 1) ^ {n} q ^ {n Choisissez 2} \u00e0 droite) ^ {1 + k-j} z ^ {n}} o\u00f9 ( a1, a2, … , am; q )n= ( a1; q )n( a2; q )n… ( am; q )n{displayStyle (a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {m}; q) _ {n} = (a_ {1}; q) _ {n} (a_ {2}; q) _ {n } ldots (a_ {m}; q) _ {n}} et ( un ; q )n= \u220fk=0n\u22121( d’abord – un qk) = ( d’abord – un ) ( d’abord – un q ) ( d’abord – un q2) \u22ef ( d’abord – un qn\u22121) {displayStyle (a; q) _ {n} = prod _ {k = 0} ^ {n-1} (1-aq ^ {k}) = (1-a) (1-aq) (1-aq ^ {2}) cdots (1-aq ^ {n-1})} est le q -Shifted factorial.Le cas sp\u00e9cial le plus important est quand J = k + 1, quand il devient k+1\u03d5k[a1a2\u2026akak+1b1b2\u2026bk;q,z]= \u2211n=0\u221e(a1,a2,\u2026,ak+1;q)n(b1,b2,\u2026,bk,q;q)nzn. {displayStyle; _ {k + 1} phi _ {k} Left [{begin {matrix} a_ {1} & a_ {2} & ldots & a_ {k} & a_ {k + 1} \\ b_ {1} & b_ {2} & ldots & b_ {k} end {matrix}}; q, zRight] = sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {(a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {k + 1}; ) _ {n}} {(b_ {1}, b_ {2}, ldots, b_ {k}, q; q) _ {n}}} z ^ {n}.} Cette s\u00e9rie s’appelle \u00e9quilibr\u00e9 si un d’abord … un k + 1 = b d’abord … b k q .Cette s\u00e9rie s’appelle bien en \u00e9quilibre si un d’abord q = un 2 b d’abord = … = un k + 1 b k , et Tr\u00e8s bien pr\u00eat si en plus un 2 = – un 3 = QA d’abord 1\/2 .La s\u00e9rie hyperg\u00e9om\u00e9trique unilat\u00e9rale de base est un Q-analog de la s\u00e9rie hyperg\u00e9om\u00e9trique depuis limq\u21921j\u03d5k[qa1qa2\u2026qajqb1qb2\u2026qbk;q,(q\u22121)1+k\u2212jz]= jFk[a1a2\u2026ajb1b2\u2026bk;z]{displayStyle lim _ {qto 1}; _ {j} phi _ {k} gauche [{begin {matrix} q ^ {a_ {1}} & q ^ {a_ {2}} & ldots & q ^ {a_ {j}}} \\ q ^ {b_ {1}} & q ^ {b_ {2}} & ldots & q ^ {b_ {k}} end {matrix}}; q, (q-1) ^ {1 + k-j} zRight] =; _ {j} f_ {k} Left [{begin {matrix} a_ {1} & a_ {2} & ldots & a_ {j} \\ b_ {1} & b_ {2} & ldots & b_ {k} end {matrix}}; zright]} Holds (Koekoek et Swarttouw (1996)). Le S\u00e9rie hyperg\u00e9om\u00e9trique de base bilat\u00e9rale , correspondant \u00e0 la s\u00e9rie hyperg\u00e9om\u00e9trique bilat\u00e9rale, est d\u00e9fini comme j\u03c8k[a1a2\u2026ajb1b2\u2026bk;q,z]= \u2211n=\u2212\u221e\u221e(a1,a2,\u2026,aj;q)n(b1,b2,\u2026,bk;q)n((\u22121)nq(n2))k\u2212jzn. {displayStyle; _ {j} psi _ {k} gauche [{begin {matrix} a_ {1} & a_ {2} & ldots & a_ {j} \\ b_ {1} & b_ {2} & ldots & b_ {k} end {matrix} }; q, zRight] = sum _ {n = -infty} ^ {infty} {frac {(a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {j}; q) _ {n}} {(b_ Gens n}.} Le cas sp\u00e9cial le plus important est quand J = k , quand il devient k\u03c8k[a1a2\u2026akb1b2\u2026bk;q,z]= \u2211n=\u2212\u221e\u221e(a1,a2,\u2026,ak;q)n(b1,b2,\u2026,bk;q)nzn. {displayStyle; _ {k} psi _ {k} gauche [{begin {matrix} a_ {1} & a_ {2} & ldots & a_ {k} \\ b_ {1} & b_ {2} & ldots & b_ {k} end {matrix} }; q, zRight] = sum _ {n = -infty} ^ {infty} {frac {(a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {k}; q) _ {n}} {(b_ {1}, b_ {2}, ldots, b_ {k}; q) _ {n}}} z ^ {n}.} La s\u00e9rie unilat\u00e9rale peut \u00eatre obtenue comme un cas sp\u00e9cial de celui bilat\u00e9ral en d\u00e9finissant l’un des b variables \u00e9gales \u00e0 q , au moins quand aucun des un Les variables sont un pouvoir de q , comme tous les termes avec n 1[qqq2;q,z]= z1\u2212q+ z21\u2212q2+ z31\u2212q3+ … {displayStyle {frac {z} {1-q}}; _ {2} phi _ {1} Left [{begin {matrix} q; q \\ q ^ {2} end {matrix}} ;; q, zright] = {frac {z} {1-q}} + {frac {z ^ {2}} {1-q ^ {2}}} + {frac {z ^ {3}} {1-q ^ {3} }} + ldots} et z1\u2212q1\/22\u03d51[qq1\/2q3\/2;q,z]= z1\u2212q1\/2+ z21\u2212q3\/2+ z31\u2212q5\/2+ … {displayStyle {frac {z} {1-q ^ {1\/2}}}; _ {2} phi _ {1} Left [{begin {matrix} q; q ^ {1\/2} \\ q ^ {3 \/ 2} end {matrix}} ;; q, zRight] = {frac {z} {1-q ^ {1\/2}}} + {frac {z ^ {2}} {1-q ^ {3 \/ 2}}} + {frac {z ^ {3}} {1-Q ^ {5\/2}}} + ldots} et 2\u03d51[q\u22121\u2212q;q,z]= d’abord + 2z1+q+ 2z21+q2+ 2z31+q3+ … . {displayStyle; _ {2} phi _ {1} Left [{begin {matrix} q; -1 \\ -qend {matrix}} ;; q, zRight] = 1 + {frac {2z} {1 + q}} + {frac {2z ^ {2}} {1 + q ^ {2}}} + {frac {2z ^ {3}} {1 + q ^ {3}}} + ldots.} Le q – Th\u00e9or\u00e8me de l’office [ modifier ]] Le q -Th\u00e9or\u00e8me de la Binomial (publi\u00e9 pour la premi\u00e8re fois en 1811 par Heinrich August Rothe) [d’abord] [2] stipule que 1\u03d50( un ; q , Avec ) = (az;q)\u221e(z;q)\u221e= \u220fn=0\u221e1\u2212aqnz1\u2212qnz{DisplayStyle; _ {1} phi _ {0} (a; q, z) = {frac {(az; q) _ {infty}} {(z; q) _ {infty}}} = prod _ {n = 0} ^ {infty} {frac {1-aq ^ {n} z} {1-q ^ {n} z}}}} qui suit en appliquant \u00e0 plusieurs reprises l’identit\u00e9 1\u03d50( un ; q , Avec ) = 1\u2212az1\u2212z1\u03d50( un ; q , q Avec ) . {DisplayStyle; _ {1} phi _ {0} (a; q, z) = {frac {1-az}}}}}}}; _ {1} phi _ {0} (a; q, qz) .} Le cas sp\u00e9cial de un = 0 est \u00e9troitement li\u00e9 \u00e0 la Q-exponentielle. Th\u00e9or\u00e8me binomial de Cauchy [ modifier ]] Le th\u00e9or\u00e8me binomial de Cauchy est un cas particulier du th\u00e9or\u00e8me du binomial Q. [3] \u2211n=0Nynqn(n+1)\/2[Nn]q= \u220fk=1N(1+yqk)( |q |< d’abord ) {displayStyle sum _ {n = 0} ^ {n} y ^ {n} q ^ {n (n + 1) \/ 2} {begin {bmatrix} n \\ nend {bMatrix}} _ {q} = prod _ { k = 1} ^ {n} gauche (1 + yq ^ {k} droite) qquad (| q | n=\u2212\u221e\u221e(a;q)n(b;q)nzn= (b\/a,q,q\/az,az;q)\u221e(b,b\/az,q\/a,z;q)\u221e{displayStyle; _ {1} psi _ {1} gauche [{begin {matrix} a \\ bend {matrix}}; q, zRight] = sum _ {n = -infty} ^ {infty} {frac {(a; q) _ {n}} {(b; q) _ {n}}} z ^ {n} = {frac {(b \/ a, q, q \/ az, az; q) _ {infty}} {((az b, b \/ az, q \/ a, z; q) _ {infty}}}} Valable pour | q | n=\u2212\u221e\u221eqn(n+1)\/2zn= ( q ; q )\u221e( – d’abord \/Avec ; q )\u221e( – Avec q ; q )\u221e. {displayStyle sum _ {n = -infty} ^ {infty} q ^ {n (n + 1) \/ 2} z ^ {n} = (q; q) _ {infty}; (- 1 \/ z; q) _ {infty}; (- zq; q) _ {infty}.} Ken Ono donne une s\u00e9rie de puissance formelle connexe [4] UN ( Avec ; q ) =def11+z\u2211n=0\u221e(z;q)n(\u2212zq;q)nzn= \u2211n=0\u221e( – d’abord )nz2nqn2. {displayStyle a (z; q) {stackrel {rm {def}} {=}} {frac {1} {1 + z}} sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {(z; q) _ {n}} {(- zq; q) _ {n}}} z ^ {n} = sum _ {n = 0} ^ {infty} (- 1) ^ {n} z ^ {2n} q ^ {n ^ {2}}.} Le contour int\u00e9gral de Watson [ modifier ]] En tant que analogue de l’int\u00e9grale de Barnes pour la s\u00e9rie hyperg\u00e9om\u00e9trique, Watson a montr\u00e9 que 2\u03d51( un , b ; c ; q , Avec ) = \u221212\u03c0i(a,b;q)\u221e(q,c;q)\u221e\u222b\u2212i\u221ei\u221e(qqs,cqs;q)\u221e(aqs,bqs;q)\u221e\u03c0(\u2212z)ssin\u2061\u03c0sd s gens } {(q, c; q) _ {infty}}} int _ {- iinfty} ^ {iinfty} {frac {(qq ^ {s}, cq ^ {s}; q) _ {infty}} {( aq ^ {s}, bq ^ {s}; q) _ {infty}}} {frac {pi (-z) ^ {s}} {sin pi s}} ds} o\u00f9 les p\u00f4les de ( un q s, b q s; q ) \u221e{displayStyle (aq ^ {s}, bq ^ {s}; q) _ {infty}} mentir \u00e0 gauche du contour et les p\u00f4les restants mentent \u00e0 droite. Il existe une int\u00e9grale de contour similaire pour r +1 Phi r . Cette int\u00e9grale de contour donne une continuation analytique de la fonction hyperg\u00e9om\u00e9trique de base dans Avec . Version matricielle [ modifier ]] La fonction de matrice hyperg\u00e9om\u00e9trique de base peut \u00eatre d\u00e9finie comme suit: 2\u03d51( UN , B ; C ; q , Avec ) : = \u2211n=0\u221e(A;q)n(B;q)n(C;q)n(q;q)nzn, ( UN ; q )0: = d’abord , ( UN ; q )n: = \u220fk=0n\u22121( d’abord – UN qk) . {displayStyle {} _ {2} phi _ {1} (a, b; c; q, z): = sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {(a; q) _ {n} ( B; q) _ {n}} {(c; q) _ {n} (q; q) _ {n}}} z ^ {n}, quad (a; q) _ {0}: = 1, quad (a; q) _ {n}: = prod _ {k = 0} ^ {n-1} (1-aq ^ {k}).} Le test de rapport montre que cette fonction matricielle est absolument convergente. [5] Voir \u00e9galement [ modifier ]] ^ Bressoud, D. M. (1981), “Certaines identit\u00e9s de fin q -s\u00e9rie”, Actes math\u00e9matiques de la Cambridge Philosophical Society , 89 (2): 211\u2013223, Bibcode: 1981MPCPS..89..211B , est ce que je: 10.1017 \/ s0305004100058114 , M 0600238 . ^ Benaoum, H. B. (1998), ” H -analogue de la formule binomiale de Newton “, Journal of Physics A: Math\u00e9matique et G\u00e9n\u00e9ral , trente et un (46): L751 – L754, Arxiv: Math-Ph \/ 9812011 , Bibcode: 1998jpha … 31L.751b , est ce que je: 10.1088 \/ 0305-4470 \/ 31\/46\/2001 , S2cid 119697596 . ^ Wolfram Mathworld: Th\u00e9or\u00e8me binomial de Cauchy ^ Gwynneth H. Coogan et Ken Ono, Une identit\u00e9 de la s\u00e9rie Q et l’arithm\u00e9tique de Hurwitz Zeta fonctionne , (2003) Actes de l’American Mathematical Society 131 , pp. 719\u2013724 ^ Ahmed Salem (2014) La fonction de matrice hyperg\u00e9om\u00e9trique de base Gausset son \u00e9quation de diff\u00e9rence Q matrice, alg\u00e8bre lin\u00e9aire et multilin\u00e9aire, 62: 3, 347-361, doi:10.1080 \/ 03081087.2013.777437 Liens externes [ modifier ]] Les r\u00e9f\u00e9rences [ modifier ]] Andrews, G. E. (2010), “Q-hyperg\u00e9om\u00e9trique et fonctions connexes” , \u00e0 Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (\u00e9d.), NIST manuel des fonctions math\u00e9matiques , Cambridge University Press, ISBN 978-0-0-521-19225-5 , M 2723248 W.N. Bailey, S\u00e9rie hyperg\u00e9om\u00e9trique g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9e , (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge. William Y. C. Chen et Amy Fu, Formes semi-finites de s\u00e9ries hyperg\u00e9om\u00e9triques de base bilat\u00e9rales (2004) Exton, H. (1983), Fonctions et applications Q-hyperg\u00e9om\u00e9triques , New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538 Sylvie Corteel et Jeremy Lovejoy, Les partitions de Frobenius et la combinatoire de Ramanujan 1\u03c81{displayStyle, _ {1} psi _ {1}} Addition Fine, Nathan J. (1988), S\u00e9rie et applications hyperg\u00e9om\u00e9triques de base , Enqu\u00eates math\u00e9matiques et monographies, vol. 27, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1524-3 , M 0956465 Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), S\u00e9rie hyperg\u00e9om\u00e9trique de base , Encyclop\u00e9die des math\u00e9matiques et ses applications, vol. 96 (2e \u00e9d.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83357-8 , M 2128719 Heine, Eduard (1846), “\u00c0 propos de la s\u00e9rie 1+(q\u03b1\u22121)(q\u03b2\u22121)(q\u22121)(q\u03b3\u22121)x+(q\u03b1\u22121)(q\u03b1+1\u22121)(q\u03b2\u22121)(q\u03b2+1\u22121)(q\u22121)(q2\u22121)(q\u03b3\u22121)(q\u03b3+1\u22121)x2+\u22ef{displayStyle 1+ {frac {(q ^ {alpha} -1) (q ^ {b\u00eata} -1)} {(q-1) (q ^ {gamma} -1)}} x + {frac {(q ^ {alpha} -1) (q ^ {alpha +1} -1) (q ^ {b\u00eata} -1) (q ^ {beta +1} -1)} {(q-1) (q ^ {2} -1) (q ^ {gamma} -1) (q ^ {gamma +1} -1)}} x ^ {2} + cdots} ” , Journal pour les math\u00e9matiques pures et appliqu\u00e9es , 32 : 210\u2013212 Victor Kac, Pokman Cheung, calcul quantique , Universitext, Springer-Verlag, 2002. ISBN 0-387-95341-8 Coucoo, Roelof; Swart Tub, Ren\u00e9 F. (1996). Le sch\u00e9ma ASKEY des polyn\u00f4mes orthogonaux et ses Q-analogues (Rapport). Universit\u00e9 technique Delft. Non. 98-17. . Section 0.2 Andrews, G. E., Askey, R. et Roy, R. (1999). Fonctions sp\u00e9ciales, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, Volume 71, Cambridge University Press. Eduard Heine, Th\u00e9orie des fonctions de bouilloire , (1878) d’abord , pp 97\u2013125. Eduard Heine, Manuel des fonctions de bouilloire. Th\u00e9orie et application (1898) Springer, Berlin. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});after-content-x4"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/en2fr\/wiki28\/serie-hypergeometrique-de-base-wikipedia\/#breadcrumbitem","name":"S\u00e9rie hyperg\u00e9om\u00e9trique de base – Wikipedia wiki"}}]}]