Théorie de l’indice de Conley – Wikipedia wiki

Dans la théorie des systèmes dynamiques, Théorie de l’indice de Conley , du nom de Charles Conley, analyse la structure topologique des ensembles invariants de diffomorphismes et des flux lisses. Il s’agit d’une généralisation profonde du théorème de l’indice Hopf qui prédit l’existence de points fixes d’un flux à l’intérieur d’une région plane en termes d’informations sur son comportement sur la frontière. La théorie de Conley est liée à la théorie de Morse, qui décrit la structure topologique d’un collecteur fermé au moyen d’un champ vecteur de gradient non dégénéré. Il propose une énorme gamme d’applications à l’étude de la dynamique, notamment l’existence d’orbites périodiques dans les systèmes hamiltoniens et les solutions d’ondes itinéraires pour des équations différentielles partielles, la structure des attracteurs mondiaux pour les équations de réaction-diffusion et le retard d’équations différentielles, la preuve du comportement chaotique dans la dynamique Systèmes et théorie de la bifurcation. La théorie de l’indice de Conley a constitué la base du développement de l’homologie des Floer.

Brève description [ modifier ]]

Un rôle clé dans la théorie est joué par les notions d’isolement du quartier

${displaystyle n}$

et ensemble invariant isolé

${DisplayStyle S}$

. Le Index de Conley

${displayStyle h (s)}$

est le type d’homotopie d’un espace construit à partir d’une certaine paire

${displaystyle (N_{1},N_{2})}$

d’ensembles compacts appelés un paire d’index pour

${DisplayStyle S}$

. Charles Conley a montré qu’il existe des paires d’index et que l’indice de

${DisplayStyle S}$

est indépendant du choix de la paire d’index. Dans le cas spécial du flux de gradient négatif d’une fonction fluide, l’indice de Conley d’un point critique non dégénéré (MORSE)

${displaystyle n}$

est le type d’homotopie pointu du k -sphère S ^k .

Un théorème profond dû aux affirmations de Conley Invariance de continuation : L’indice de Conley est invariant sous certaines déformations du système dynamique. Le calcul de l’indice peut donc être réduit dans le cas du diffeomorphisme ou d’un champ vectoriel dont les ensembles invariants sont bien compris.

Si l’indice est non trivial, l’ensemble invariant S est non vide. Ce principe peut être amplifié pour établir l’existence de points fixes et d’orbites périodiques à l’intérieur N .

Construction [ modifier ]]

Nous construisons l’index Conley à partir du concept d’une paire d’index.

Étant donné un ensemble invariant isolé

${DisplayStyle S}$

dans un flux

${displaystyle phi}$

, un paire d’index pour

${DisplayStyle S}$

est une paire d’ensembles compacts

${displaystyle (N_{1},N_{2})}$

, avec

${displayStyle n_ {2} sous-ensemble n_ {1}}$

, satisfaisant

• 
  ${DisplayStyle s = {text {inv}} (n_ {1} / n_ {2})}$

  et

  ${displaystyle N_{1}/N_{2}}$

  est un quartier de

  ${DisplayStyle S}$

  ;

• Pour tous
  ${DisplayStyle s’il vous plaît n_ {2}}$

  et

  ${displayStyle t> 0}$

  

  ${displayStyle phi ([0, t], x) sous-ensemble n_ {1} rightarrow phi ([0, t], x) sous-ensemble n_ {2}}$

  ;

• Pour tous
  ${DisplayStyle s’il vous plaît n_ {1}}$

  et

  ${displayStyle t> 0}$

  

  ${displaystyle phi (t, x) pas dans n_ {1} droite existant t’in [0, t]}$

  tel que

  ${DisplayStyle phi (t ‘, x) dans n_ {2}}$

  .

Conley montre que chaque ensemble invariant isolant admet une paire d’index. Pour un ensemble invariant isolé

${DisplayStyle S}$

, nous choisissons une paire d’index

${displaystyle (N_{1},N_{2})}$

de

${DisplayStyle S}$

Et le nous définissons donc, le Index Homotopy Conley de

${DisplayStyle S}$

comme

${DisplayStyle h (s, phi): = [(n_ {1} / n_ {2}, [n_ {2}])]}$

,

le type d’homotopie de l’espace quotient

${displaystyle (N_{1}/N_{2},[N_{2}])}$

, considéré comme un espace pointu topologique.

De manière analogue, le (CO) Indice de conley homologie de

${DisplayStyle S}$

est le complexe de chaîne

${displayStyle ch_ {bullet} (s, phi) = h_ {bullet} (n_ {1} / n_ {2}, [n_ {2}])}$

.

Nous remarquons que Conley a également montré que l’indice Conley est indépendant du choix d’une paire d’index, de sorte que l’indice est bien défini.

Propriétés [ modifier ]]

Certaines des propriétés les plus importantes de l’indice sont les conséquences directes de sa définition, héritant des propriétés de l’homologie et de l’homotopie. Certains d’entre eux incluent les éléments suivants:

• Si
  ${displayStyle h (s) neq 0}$

  , alors

  ${displayStyle sneq videset}$

  ;

• Si
  ${displayStyle s = Cup _ {i = 1} ^ {n} m_ {i}}$

  , où chacun

  ${displaystyle m_ {i}}$

  est un ensemble invariant isolé, alors

  ${DisplayStyle ch_ {k} (s) = oplus _ {i = 1} ^ {n} ch_ {k} (m_ {i})}$

  ;

• L’indice Conley est invariant de l’homotopie.

Notez que, un ensemble Morse est un ensemble invariant isolé, de sorte que l’indice Conley est défini pour cela.

Les références [ modifier ]]

• Charles Conley, Ensembles invariants isolés et l’indice Morse . CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 38. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1978 ISBN 0-8218-1688-8
• Thomas Bartsch (2001) [1994], “Index Conley” , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press
• John Franks, Michal Misiurewicz, Méthodes topologiques en dynamique . Chapitre 7 dans Manuel de systèmes dynamiques , Vol 1, partie 1, pp 547–598, Elsevier 2002 ISBN 978-0-444-82669-5
• Jürgen Jost, Systèmes dynamiques. Exemples de comportement complexe . Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2005 ISBN 978-3-540-22908-7
• Konstantin Mischaikow, Marian Mrozek, Index de Conley . Chapitre 9 dans Manuel de systèmes dynamiques , Vol 2, pp 393–460, Elsevier 2002 ISBN 978-0-444-50168-4
• M. R. Razvan, Sur le théorème fondamental de Conley des systèmes dynamiques , 2002.

Liens externes [ modifier ]]