Théorie des perturbations de la cavité – Wikipedia wiki

En mathématiques et en électronique, Théorie de la perturbation des caves Décrit les méthodes de dérivation des formules de perturbation pour les changements de performance d’un résonateur de cavité.

Ces changements de performance sont supposés être causés soit par l’introduction d’un petit objet étranger dans la cavité, soit par une petite déformation de sa frontière. Diverses méthodes mathématiques peuvent être utilisées pour étudier les caractéristiques des cavités, qui sont importantes dans le domaine des systèmes micro-ondes, et plus généralement dans le domaine de l’électro magnétisme.

Il existe de nombreuses applications industrielles pour les résonateurs de cavité, y compris les fours à micro-ondes, les systèmes de communication micro-ondes et les systèmes d’imagerie à distance utilisant des ondes électro magnétiques. La fonctionnalité d’une cavité résonante peut affecter la quantité d’énergie nécessaire pour la résonner, ou la stabilité ou l’instabilité relative du système.

Introduction [ modifier ]]

Lorsqu’une cavité résonante est perturbée, par ex. En introduisant un objet étranger avec des propriétés de matériau distinctes dans la cavité ou lorsque la forme de la cavité est légèrement modifiée, les champs électromagnétiques à l’intérieur de la cavité changent en conséquence. Cela signifie que tous les modes de résonance (c’est-à-dire le mode quasinormal) de la cavité non perturbée changent légèrement.
Prédire analytiquement comment la perturbation modifie la réponse optique est un problème classique dans l’électromagnétique, avec des implications importantes s’étendant du domaine radio-fréquence aux nano-optiques actuelles. L’hypothèse sous-jacente de la théorie de la perturbation de la cavité est que les champs électromagnétiques à l’intérieur de la cavité après le changement diffèrent d’une très petite quantité des champs avant le changement. Ensuite, les équations de Maxwell pour les cavités originales et perturbées peuvent être utilisées pour dériver des expressions analytiques pour le décalage de fréquence de résonance résultant et le changement de largeur de ligne (ou le changement de facteur Q) en se référant uniquement au mode non perturbé d’origine (pas le perturbé).

Théorie générale [ modifier ]]

Il est pratique de désigner les fréquences de cavité avec un nombre complexe

${DisplayStyle {Tilde {Omega}} = Omega -igamma / 2}$

, où

${DisplayStyle omega = re ({Tilde {{}})}$

est la fréquence résonante angulaire et

${DisplayStyle gamma = 2im ({Tilde {Omega}})}$

est l’inverse de la durée de vie du mode. La théorie des perturbations de la cavité a été initialement proposée par Bethe-Schwinger en optique ^[d’abord] et Waldron dans le domaine radiofréquence. ^[2] Ces approches initiales reposent sur des formules qui considèrent l’énergie stockée

${displaystyle {frac {{tilde {omega }}-{tilde {omega }}_{0}}{{tilde {omega }}_{0}}}thickapprox -{frac {iiint _{V}(mu _{0}|H_{0}|^{2}+Delta epsilon |E_{0}|^{2})dv}{iiint _{V}(mu _{0}|H_{0}|^{2}+epsilon |E_{0}|^{2})dv}},}$

( d’abord )

où

${displayStyle {Tilde {Omega}}}$

et

${displayStyle {Tilde {Omega}} _ {0}}$

sont les fréquences complexes des modes de cavité perturbés et non perturbés, et

${displayStyle h_ {0}}$

et

${displayStyle e_ {0}}$

sont les champs électromagnétiques du mode non perturbé (le changement de perméabilité n’est pas pris en compte pour la simplicité). Expression ( d’abord ) s’appuie sur des considérations énergétiques stockées. Ces derniers sont intuitifs car le bon sens dicte que le changement maximal de la fréquence de résonance se produit lorsque la perturbation est placée au maximum d’intensité du mode cavité. Cependant, la considération énergétique dans l’électromagnétisme n’est valable que pour les systèmes hermitiens pour lesquels l’énergie est conservée. Pour les cavités, l’énergie n’est conservée que dans la limite de très petites fuites (Q infinies), de sorte que l’expression ( d’abord ) n’est valable que dans cette limite. Par exemple, il est évident que l’expression ( d’abord ) prédit un changement du facteur Q (

${DisplayStyle im ({Tilde {Omega}} – {Tilde {Omega}} _ {0})}$

) seulement si

${Delta de Delta Epsilon}$

est complexe, c’est-à-dire uniquement si le perturber est absorbant. De toute évidence, ce n’est pas le cas et il est bien connu qu’une perturbation diélectrique peut soit augmenter, soit diminuer le facteur Q.

Les problèmes découlent du fait qu’une cavité est un système non-hermien ouvert avec des fuites et une absorption. La théorie des systèmes électromagnétiques non hémititiennes abandonne l’énergie, c’est-à-dire.

${displayStyle | e.e |}$

produits, et se concentre plutôt sur

${displaystyle e.e}$

des produits ^[3] Ce sont des quantités complexes, la partie imaginaire étant liée à la fuite. Pour souligner la différence entre les modes normaux des systèmes hermitiens et les modes de résonance des systèmes qui fuites, les modes de résonance sont souvent appelés mode quasiormal. Dans ce cadre, le décalage de fréquence et le changement Q sont prédits par

${displaystyle {frac {{tilde {omega }}-{tilde {omega }}_{0}}{{tilde {omega }}_{0}}}thickapprox -{frac {iiint _{V}(mu _{0}H_{0}^{2}+Delta epsilon E_{0}^{2})dv}{iiint _{V}(mu _{0}H_{0}^{2}+epsilon E_{0}^{2})dv}},}$

( 2 )

La précision de l’équation séminale 2 a été vérifié dans une variété de géométries compliquées. Pour les cavités à faible Q, comme les nanoresonateurs plasmoniques qui sont utilisés pour la détection, l’équation 2 Il a été démontré que prévu à la fois le changement et l’élargissement de la résonance avec une grande précision, tandis que l’équation d’abord prédit de manière inexacte les deux. ^[4] Pour les cavités photoniques à Q à Q, comme les cavités cristallines photoniques ou les micro-micro, des expériences ont mis en évidence que l’équation 2 prédit avec précision le changement et le changement Q, tandis que l’équation d’abord ne prédit que le changement. ^[5] Ce qui suit est écrit avec

${displayStyle | e.e |}$

produits, mais serait mieux compris avec

${displaystyle e.e}$

Produits de la théorie du mode quasinormal.

Perturbation matérielle [ modifier ]]

Lorsqu’un matériau dans une cavité est modifié (permittivité et / ou perméabilité), un changement correspondant de la fréquence de résonance peut être approximé comme suit: ^[6]

${displaystyle {frac {omega -omega _{0}}{omega _{0}}}thickapprox -{frac {iiint _{V}(Delta mu |H_{0}|^{2}+Delta epsilon |E_{0}|^{2})dv}{iiint _{V}(mu |H_{0}|^{2}+epsilon |E_{0}|^{2})dv}},}$

( 3 )

où

${displayStyle Omega}$

est la fréquence résonante angulaire de la cavité perturbée,

${displayStyle Omega _ {0}}$

est la fréquence résonante de la cavité d’origine,

${displayStyle e_ {0}}$

et

${displayStyle h_ {0}}$

représenter respectivement le champ électrique et magnétique d’origine,

${displaystyle mu}$

et

${displaystyle epsilon}$

sont respectivement la perméabilité et la permittivité originales, tandis que

${DisplayStyle Delta Mu}$

et

${Delta de Delta Epsilon}$

sont des changements dans la perméabilité et la permittivité originales introduites par le changement matériel.

Expression ( 3 ) peut être réécrit en termes d’énergies stockées comme: ^[7]

${displaystyle {frac {omega -omega _{0}}{omega _{0}}}thickapprox -{frac {1}{W}}iiint _{V}({frac {Delta epsilon }{epsilon }}cdot {bar {w_{e}}}+{frac {Delta mu }{mu }}cdot {bar {w_{m}}})dv,}$

( 4 )

où w est l’énergie totale stockée dans la cavité d’origine et

${displayStyle {bar {w_ {e}}}}$

et

${displayStyle {bar {w_ {m}}}}$

sont respectivement les densités d’énergie électrique et magnétique.

Perturbation de la forme [ modifier ]]

Lorsqu’une forme générale d’une cavité résonante est modifiée, un changement correspondant de fréquence de résonance peut être approximé comme suit: ^[6]

${displaystyle {frac {omega -omega _{0}}{omega _{0}}}thickapprox {frac {iiint _{Delta V}(mu |H_{0}|^{2}-epsilon |E_{0}|^{2})dv}{iiint _{V}(mu |H_{0}|^{2}+epsilon |E_{0}|^{2})dv}},}$

( 5 )

Expression ( 5 ) Pour le changement de fréquence de résonance, peut en outre être écrit en termes d’énergies stockées dans le temps comme: ^[6]

${displaystyle {frac {omega -omega _{0}}{omega _{0}}}thickapprox {frac {Delta W_{m}-Delta W_{e}}{W_{m}+W_{e}}},}$

( 6 )

où

${displaystyle delta w_ {m}}$

et

${displaystyle delta w_ {e}}$

représenter les énergies électriques et magnétiques à la moyenne dans le temps contenues dans

${DisplayStyle Delta V}$

.

Cette expression peut également être écrite en termes de densités d’énergie ^[7] comme:

${displaystyle {frac {omega -omega _{0}}{omega _{0}}}thickapprox {frac {({bar {w_{m}}}-{bar {w_{e}}})cdot Delta V}{W}},}$

( 7 )

Améliorations de précision considérables de la force prédictive de l’équation ( 5 ) peut être obtenu en incorporant des corrections locales sur le terrain, ^[4] qui résulte simplement des conditions d’interface pour les champs électromagnétiques qui sont différents pour les vecteurs de champ de déplacement et de champ électrique aux limites de forme.

Applications [ modifier ]]

Les techniques de mesure des micro-ondes basées sur la théorie de la perturbation de la cavité sont généralement utilisées pour déterminer les paramètres diélectriques et magnétiques des matériaux et divers composants de circuit tels que les résonateurs diélectriques. Étant donné que la connaissance ex-. Deux exemples de ces cavités résonnantes standard sont les cavités rectangulaires et les guides d’ondes circulaires et les résonateurs de câbles coaxiaux. Les techniques de mesure de la perturbation de la cavité pour la caractérisation des matériaux sont utilisées dans de nombreux domaines allant de la physique et de la science des matériaux à la médecine et à la biologie. ^{[8] [9] [dix] [11] [douzième] [13]}

Exemples [ modifier ]]

${displayStyle te_ {10n}}$

cavité de guide d’onde rectangulaire [

${displayStyle te_ {10n}}$

cavité de guide d’onde rectangulaire “> modifier ]]

Pour la cavité de guide d’onde rectangulaire, distribution sur le terrain de dominant

${displayStyle te_ {10n}}$

Le mode est bien connu. Idéalement, le matériau à mesurer est introduit dans la cavité en position de champ électrique ou magnétique maximal. Lorsque le matériau est introduit en position de champ électrique maximal, la contribution du champ magnétique au décalage de fréquence perturbé est très faible et peut être ignorée. Dans ce cas, nous pouvons utiliser la théorie des perturbations pour dériver des expressions pour des composantes réelles et imaginaires de la permittivité matérielle complexe

$}$

comme: ^[7]

${displaystyle epsilon _{r}’-1={frac {f_{c}-f_{s}}{2f_{s}}}{frac {V_{c}}{V_{s}}},}$

( 8 )

${displaystyle epsilon _{r}”={frac {V_{c}}{4V_{s}}}{frac {Q_{c}-Q_{s}}{Q_{c}Q_{s}}},}$

( 9 )

où

${displayStyle f_ {c}}$

et

${displayStyle f_ {s}}$

représentent respectivement les fréquences résonantes de cavité d’origine et de cavité perturbée,

${displayStyle v_ {c}}$

et

${displayStyle v_ {s}}$

représentent respectivement des volumes de cavité et d’échantillon de matériau d’origine,

${displayStyle q_ {c}}$

et

${displayStyle q_ {s}}$

représentent respectivement des facteurs de qualité des cavités originales et perturbées.

Une fois la permittivité complexe du matériau connu, nous pouvons facilement calculer sa conductivité efficace

${displayStyle Sigma _ {e}}$

et perte diélectrique tangente

${DisplayStyle Tan Delta}$

comme: ^[7]

${displaystyle sigma _{e}=omega epsilon ”=2pi fepsilon _{0}epsilon _{r}”,}$

( dix )

${displaystyle tandelta ={frac {epsilon _{r}”}{epsilon _{r}’}},}$

( 11 )

où f est la fréquence d’intérêt et

${displayStyle Epsilon _ {0}}$

est la permittivité de l’espace libre.

De même, si le matériau est introduit dans la cavité à la position du champ magnétique maximal, la contribution du champ électrique au décalage de fréquence perturbé est très petite et peut être ignorée. Dans ce cas, nous pouvons utiliser la théorie de la perturbation pour dériver des expressions pour une perméabilité matériale complexe

${displayStyle mu _ {r} = mu _ {r} ‘+ jmu _ {r}’ ‘}$

comme: ^[7]

${displaystyle mu _{r}’-1=({frac {lambda _{g}^{2}+4a^{2}}{8a^{2}}})({frac {f_{c}-f_{s}}{f_{s}}})({frac {V_{c}}{V_{s}}}),}$

( douzième )

${displaystyle mu _{r}”=({frac {lambda _{g}^{2}+4a^{2}}{16a^{2}}})({frac {V_{c}}{V_{s}}})({frac {Q_{c}-Q_{s}}{Q_{c}Q_{s}}}),}$

( 13 )

où

${displaystyle lambda _ {g}}$

est la longueur d’onde guide (calculée comme

${displayStyle lambda _ {g} = {frac {2l} {n}}}$

).

Les références [ modifier ]]