Trapèze tangentiel – wikipedia wiki

Trapézoïde dont les côtés sont tous tangents au même cercle

En géométrie euclidienne, un trapézoïde tangentiel , également appelé un trapèzoïde circonscrit , est un trapézoïde dont les quatre côtés sont tous tangents à un cercle dans le trapèzoïde: l’incircle ou cercle inscrit . C’est le cas particulier d’un quadrilatère tangentiel dans lequel au moins une paire de côtés opposés est parallèle. Quant aux autres trapézoïdes, les côtés parallèles sont appelés les bases et les deux autres côtés jambes . Les jambes peuvent être égales (voir le trapèze tangentiel isocèle ci-dessous), mais ils ne doivent pas l’être.

Cas spéciaux [ modifier ]]

Des exemples de trapèzes tangentiels sont les Rhombi et les carrés.

Caractérisation [ modifier ]]

Si l’incircle est tangente sur les côtés UN B et CD à DANS et ET respectivement, puis un quadrilatère tangentiel A B C D est également un trapèze avec des côtés parallèles UN B et CD si et seulement si ^{[d’abord] : Thm. 2}

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et PUBLICITÉ et avant JC sont les côtés parallèles d’un trapézoïde si et seulement si

${displayStyle {overline {aw}} cdot {overline {bw}} = {overline {cy}} cdot {overline {dy}}.}$

La formule de la zone d’un trapèze peut être simplifiée à l’aide du théorème de Pitot pour obtenir une formule pour la zone d’un trapèzoïde tangentiel. Si les bases ont des longueurs un B , et l’un des deux autres parties a une longueur c , alors la zone K est donné par la formule ^[2] (Cette formule ne peut être utilisée que dans les cas où les bases sont parallèles.)

${displayStyle k = {frac {a + b} {| b-a |}} {sqrt {ab (a-c) (c-b)}}.}$

La zone peut être exprimée en termes de longueurs tangentes E f g h comme ^{[3] : P.129}

${displayStyle k = {sqrt [{4}] {efgh}} (e + f + g + h).}$

Inradius [ modifier ]]

En utilisant les mêmes notations que pour la zone, le rayon de l’incircle est ^[2]

${displayStyle r = {frac {k} {a + b}} = {frac {sqrt {ab (a-c) (c-b)}} {| b-a |}}.}$

Le diamètre de l’incircle est égal à la hauteur du trapèze tangentiel.

L’inradius peut également être exprimé en termes de longueurs tangentes comme ^{[3] : P.129}

${displayStyle r = {sqrt [{4}] {efgh}}.}$

De plus, si les longueurs tangentes E f g h émane respectivement des sommets A B C D et UN B est parallèle à Dc , alors ^[d’abord]

${displayStyle r = {sqrt {eh}} = {sqrt {fg}}.}$

Propriétés de l’intestin [ modifier ]]

Si l’incircle est tangente aux bases à Q, Q , alors P, i, q sont colinéaires, où je est l’incenteur. ^[4]

Les angles ∠ AIDE et ∠ Bic dans un trapèzoïde tangentiel A B C D , avec des bases UN B et Dc , sont des angles droits. ^[4]

L’intestin réside sur la médiane (également appelée le segment médian; c’est-à-dire le segment reliant les points médians des jambes). ^[4]

Autres propriétés [ modifier ]]

La médiane (segment médian) d’un trapèzoïde tangentien équivaut à un quatrième du périmètre du trapèze. Il équivaut également à la moitié de la somme des bases, comme dans tous les trapézoïdes.

Si deux cercles sont dessinés, chacun avec un diamètre coïncidant avec les jambes d’un trapèzoïde tangentiel, ces deux cercles sont tangents l’un à l’autre. ^[5]

Trapèze tangentiel droit [ modifier ]]

UN trapèze tangentiel droit est un trapèze tangentiel où deux angles adjacents sont des angles droits. Si les bases ont des longueurs un B , alors l’Inradius est ^[6]

${displayStyle r = {frac {ab} {a + b}}.}$

Ainsi, le diamètre de l’incircle est la moyenne harmonique des bases.

Le trapèze tangentiel droit a la zone ^[6]

${displayStyle DisplayStyle k = ab}$

et son périmètre P est ^[6]

${displayStyle DisplayStyle p = 2 (a + b).}$

Trapézoïde tangentiel isocèle [ modifier ]]

Un trapézoïde tangentiel isocèle est un trapèze tangentiel où les jambes sont égales. Étant donné qu’un trapèze isocèle est cyclique, un trapèzoïde tangentiel isocèle est un quadrilatère bicentrique. Autrement dit, il a à la fois une incircle et un cercle circonscripteur.

Si les bases sont un B alors l’Inradius est donné par ^[7]

${displayStyle r = {tfrac {1} {2}} {sqrt {ab}}.}$

Dériver cette formule était un simple problème de Sangaku du Japon. Du théorème de Pitot, il s’ensuit que les longueurs des jambes sont la moitié de la somme des bases. Étant donné que le diamètre de l’incircle est la racine carrée du produit des bases, un trapèze tangentiel isoscèle donne une belle interprétation géométrique de la moyenne arithmétique et géométrique des bases comme la longueur d’une jambe et le diamètre de l’incircle respectivement.

La zone K d’un trapèze tangentiel isocèle avec des bases un B est donné par ^[8]

${displayStyle k = {tfrac {1} {2}} {sqrt {ab}} (a + b).}$

Les références [ modifier ]]