Coeficientes Clebsch—Gordan – Wikipedia, la enciclopedia libre

Para los coeficientes vea el Anexo:Tabla de coeficientes de Clebsch-Gordan.

En física, los coeficientes de Clebsch-Gordan o coeficientes CG son el conjunto de números que aparecen al acoplar momentos angulares en mecánica cuántica. El nombre deriva de los matemáticos alemanes Alfred Clebsch (1833-1872) y Paul Gordan (1837-1912), que resolvieron un problema equivalente en la teoría de invariantes.

En términos matemáticos, los coeficientes de CG se utilizan en teoría de grupos, en particular en los grupos de Lie para calcular un producto tensorial de representaciones irreducibles como suma directa de la descomposión del mismo en las distintas representaciones irreducibles.

La física emplea esta peculiaridad para descomponer un determinado estado con una determinada base del espacio de Hilbert y una determinada representación en una suma de estados en otra representación que pueda ser más útil, especialmente en el caso de estados en una determinada representación irreducible de SO(3) de rotaciones. En el artículo se utiliza la notación de Dirac.

Definición formal[editar]

Sea

V1{displaystyle V_{1}}

un espacio vectorial con

2j1+1{displaystyle 2j_{1}+1}

dimensiones representado por los estados

|j1m1⟩,{m1=−j1,−j1+1,…j1}{displaystyle |j_{1}m_{1}rangle ,{m_{1}=-j_{1},-j_{1}+1,ldots j_{1}}}

y

V2{displaystyle V_{2}}

otro espacio vectorial con

2j2+1{displaystyle 2j_{2}+1}

dimensiones, igualmente representado por los estados

|j2m2⟩,{m2=−j2,−j2+1,…j2}.{displaystyle |j_{2}m_{2}rangle ,{m_{2}=-j_{2},-j_{2}+1,ldots j_{2}}.}

El producto tensorial de estos espacios,

V12≡V1⊗V2{displaystyle V_{12}equiv V_{1}otimes V_{2}}

, tiene

(2j1+1)(2j2+1){displaystyle (2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}

dimensiones. Este espacio se representa con la denominada base desacoplada:

|j1j2m1m2⟩≡|j1m1⟩⊗|j2m2⟩.{displaystyle |j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}rangle equiv |j_{1}m_{1}rangle otimes |j_{2}m_{2}rangle .}

Puede ser más útil emplear un espacio vectorial suma

V3=V1⊕V2{displaystyle V_{3}=V_{1}oplus V_{2}}

(con

j3=|j1−j2|,…,j1+j2{displaystyle j_{3}=|j_{1}-j_{2}|,ldots ,j_{1}+j_{2}}

,

m3=−j3,−j3+1,…j3{displaystyle m_{3}=-j_{3},-j_{3}+1,ldots j_{3}}

y

2j3+1{displaystyle 2j_{3}+1}

dimensiones) y utilizar una nueva base, denominada base acoplada, de forma que:

|j1j2j3m3⟩=∑m1,m2|j1j2m1m2⟩⟨j1j2m1m2|j3m3⟩=∑m1,m2|j1m1⟩⊗|j2m2⟩Cj3m3m1m2.{displaystyle |j_{1}j_{2}j_{3}m_{3}rangle =sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}rangle langle j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}|j_{3}m_{3}rangle =sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}m_{1}rangle otimes |j_{2}m_{2}rangle C_{j_{3}m_{3}}^{m_{1}m_{2}}.}

Los coeficientes del desarrollo

Cj3m3m1m2=⟨j1j2m1m2|j3m3⟩{displaystyle C_{j_{3}m_{3}}^{m_{1}m_{2}}=langle j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}|j_{3}m_{3}rangle }

se denominan coeficientes de Clebsch–Gordan.

Notación en física nuclear[editar]

Utilizando una determinada representación, por ejemplo la representación de posiciones, y utilizando la notación de Einstein, podemos escribir:^[1]​

ψm3j1j2j3(r→)=⟨r→|j1j2j3m3⟩=Cm1m2m3j1j2j3φm1j1φm2j2=Cm1m2m3j1j2j3ϕm1,m2j1j2(r→).{displaystyle psi _{m_{3}}^{j_{1}j_{2}j_{3}}({vec {r}})=langle {vec {r}}|j_{1}j_{2}j_{3}m_{3}rangle =C_{m_{1}m_{2}m_{3}}^{j_{1}j_{2}j_{3}}varphi _{m_{1}}^{j_{1}}varphi _{m_{2}}^{j_{2}}=C_{m_{1}m_{2}m_{3}}^{j_{1}j_{2}j_{3}}phi _{m_{1},m_{2}}^{j_{1}j_{2}}({vec {r}}).}

También se suele utilizar emplear la siguiente notación:

[ϕ[j1]⊗ϕ[j2]][j3]=∑m1,m2Cm1,m2,m3j1,j2,j3ϕj1,m1ϕj2,m2.{displaystyle left[phi ^{[j_{1}]}otimes phi ^{[j_{2}]}right]^{[j_{3}]}=sum _{m_{1},m_{2}}{C_{m_{1},m_{2},m_{3}}^{j_{1},j_{2},j_{3}}phi _{j_{1},m_{1}}phi _{j_{2},m_{2}}}.}

Ejemplo de uso: acoplamiento de momentos angulares[editar]

Propiedades[editar]

Ortogonalidad[editar]

La primera de las relaciones de ortogonalidad es:

∑j3,m3⟨m1m2|j3m3⟩⟨j3m3|m1′m2′⟩=Cj3m3m1m2Cm1′m2′j3m3=δm1′m1δm2′m2,{displaystyle sum _{j_{3},m_{3}}{langle m_{1}m_{2}|j_{3}m_{3}rangle langle j_{3}m_{3}|m’_{1}m’_{2}rangle }=C_{j_{3}m_{3}}^{m_{1}m_{2}}C_{m’_{1}m’_{2}}^{j_{3}m_{3}}=delta _{m’_{1}}^{m_{1}}delta _{m’_{2}}^{m_{2}},}

y la segunda:

∑m1,m2⟨j3m3|m1m2⟩⟨m1m2|j3′m3′⟩=Cm1m2j3m3Cj3′m3′m1m2=δj3′j3δm3′m3.{displaystyle sum _{m_{1},m_{2}}{langle j_{3}m_{3}|m_{1}m_{2}rangle langle m_{1}m_{2}|j’_{3}m’_{3}rangle }=C_{m_{1}m_{2}}^{j_{3}m_{3}}C_{j’_{3}m’_{3}}^{m_{1}m_{2}}=delta _{j’_{3}}^{j_{3}}delta _{m’_{3}}^{m_{3}}.}

Simetría[editar]

Cm1,m2,m3j1,j2,j3==(−1)j1+j2−j3C−m1,−m2,−m3j1,j2,j3=(−1)j1+j2−j3Cm2,m1,m3j2,j1,j3=(−1)j1−m12j3+12j2+1Cm1,−m3,−m2j1,j3,j2=(−1)j2+m22j3+12j1+1C−m3,m2,−m1j3,j2,j1=(−1)j1−m12j3+12j2+1Cm3,−m1,m2j3,j1,j2=(−1)j2+m22j3+12j1+1C−m2,m3,m1j2,j3,j1{displaystyle {begin{aligned}C_{m_{1},m_{2},m_{3}}^{j_{1},j_{2},j_{3}}=\&=(-1)^{j_{1}+j_{2}-j_{3}}C_{-m_{1},-m_{2},-m_{3}}^{j_{1},j_{2},j_{3}}\&=(-1)^{j_{1}+j_{2}-j_{3}}C_{m_{2},m_{1},m_{3}}^{j_{2},j_{1},j_{3}}\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{sqrt {frac {2j_{3}+1}{2j_{2}+1}}}C_{m_{1},-m_{3},-m_{2}}^{j_{1},j_{3},j_{2}}\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{sqrt {frac {2j_{3}+1}{2j_{1}+1}}}C_{-m_{3},m_{2},-m_{1}}^{j_{3},j_{2},j_{1}}\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{sqrt {frac {2j_{3}+1}{2j_{2}+1}}}C_{m_{3},-m_{1},m_{2}}^{j_{3},j_{1},j_{2}}\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{sqrt {frac {2j_{3}+1}{2j_{1}+1}}}C_{-m_{2},m_{3},m_{1}}^{j_{2},j_{3},j_{1}}end{aligned}}}

Casos especiales[editar]

Véase[editar]

Referencias[editar]

Notas[editar]

Bibliografía[editar]

Véase también[editar]