Coordenadas cilíndricas – Wikipedia, la enciclopedia libre

El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o azimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.

Un punto

P{displaystyle P}

en coordenadas cilíndricas se representa por

(ρ,φ,z){displaystyle (rho ,varphi ,z)}

donde:

Los rangos de variación de las tres coordenadas son

0≤ρ<∞0≤φ<2π−∞<z<∞{displaystyle 0leq rho

La coordenada azimutal

φ{displaystyle varphi }

se hace variar en ocasiones desde

−π{displaystyle -pi }

a

π{displaystyle pi }

. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de

ρ{displaystyle rho }

llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí,

ρ{displaystyle rho }

vuelve a aumentar, pero

φ{displaystyle varphi }

aumenta o disminuye en

π{displaystyle pi }

radianes.

Relación con otros sistemas de coordenadas[editar]

Relación con las coordenadas cartesianas[editar]

Teniendo en cuenta la definición del ángulo

φ{displaystyle varphi }

, obtenemos las siguientes relaciones entre las coordenadas cilíndricas y las cartesianas:

x=ρcos⁡φ,y=ρsin⁡φ,z=z{displaystyle x=rho cos varphi ,qquad y=rho sin varphi ,qquad z=z}

Líneas y superficies coordenadas[editar]

Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas cilíndricas, éstas son:

• Líneas coordenadas ρ: Semirrectas horizontales partiendo del eje
  Z{displaystyle Z}
  .
• Líneas coordenadas
  φ{displaystyle varphi }
  : Circunferencias horizontales.
• Líneas coordenadas
  z{displaystyle z}
  : Rectas verticales.

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:

• Superficies ρ=cte.: Cilindros rectos verticales.
• Superficies
  φ{displaystyle varphi }
  =cte.: Semiplanos verticales.
• Superficies
  z{displaystyle z}
  =cte.: Planos horizontales.

Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.

Base coordenada[editar]

A partir del sistema de coordenadas cilíndricas se puede definir una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones

ρ^=cos⁡φx^+senφy^{displaystyle {hat {rho }}=cos varphi ,{hat {x}}+{rm {sen}},varphi ,{hat {y}}}

φ^=−senφx^+cosφy^{displaystyle {hat {varphi }}=-{rm {sen}}varphi ,{hat {x}}+cos ,varphi ,{hat {y}}}

z^=z^{displaystyle {hat {z}}={hat {z}}}

e inversamente

x^=cos⁡φρ^−senφφ^{displaystyle {hat {x}}=cos varphi ,{hat {rho }}-{rm {sen}},varphi ,{hat {varphi }}}

y^=senφρ^+cosφφ^{displaystyle {hat {y}}={rm {sen}}varphi ,{hat {rho }}+cos ,varphi ,{hat {varphi }}}

z^=z^{displaystyle {hat {z}}={hat {z}}}

En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala

hρ=1hφ=ρhz=1{displaystyle h_{rho }=1qquad h_{varphi }=rho qquad h_{z}=1}

Disponiendo de la base de coordenadas cilíndricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es

r→=ρρ^+zz^{displaystyle {vec {r}}=rho ,{hat {rho }}+z,{hat {z}}}

Nótese que no aparece un término

φφ^{displaystyle varphi ,{hat {varphi }}}

. La dependencia en esta coordenada está oculta en los vectores de la base.

Efectivamente:

r→=xı^+yȷ^+zk^ =ρcos⁡φ ı^+ρsin⁡φ ȷ^+zk^ =ρ(cos⁡φ ı^+sin⁡φ ȷ^)+zk^ =ρρ^+zz^{displaystyle {begin{array}{rcl}{vec {r}}&=&x{hat {imath }}+y{hat {jmath }}+z{hat {k}}\ &=&rho cos varphi {hat {imath }}+rho sin varphi {hat {jmath }}+z{hat {k}}\ &=&rho (cos varphi {hat {imath }}+sin varphi {hat {jmath }})+z{hat {k}}\ &=&rho {hat {rho }}+z{hat {z}}end{array}}}

Diferenciales de línea, superficie y volumen[editar]

Diferencial de línea[editar]

Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilíndricas, viene dado por

dr→=hρdρρ^+hφdφφ^+hzdzz^=dρρ^+ρdφφ^+dzz^{displaystyle d{vec {r}}=h_{rho },drho ,{hat {rho }}+h_{varphi },dvarphi ,{hat {varphi }}+h_{z},dz,{hat {z}}=drho ,{hat {rho }}+rho ,dvarphi ,{hat {varphi }}+dz,{hat {z}}}

Diferenciales de superficie[editar]

La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada.

Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada,

q3=cte.{displaystyle q_{3}={rm {cte.}}}

el resultado es

dS→q3=cte=h1h2dq1dq2q^3{displaystyle d{vec {S}}_{q_{3}={rm {cte}}}=h_{1},h_{2},dq_{1},dq_{2},{hat {q}}_{3}}

y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.

En el caso particular de las coordenadas cilíndricas, los diferenciales de superficie son

• ρ=cte:
  dS→ρ=cte=ρdφdzρ^{displaystyle d{vec {S}}_{rho ={rm {cte}}}=rho ,dvarphi ,dz,{hat {rho }}}
  
• φ=cte:
  dS→φ=cte=dρdzφ^{displaystyle d{vec {S}}_{varphi ={rm {cte}}}=drho ,dz,{hat {varphi }}}
  
• z=cte:
  dS→z=cte=ρdρdφz^{displaystyle d{vec {S}}_{z={rm {cte}}}=rho ,drho ,dvarphi ,{hat {z}}}
  

Diferencial de volumen[editar]

El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que

dV=h1h2h3dq1dq2dq3{displaystyle dV=h_{1},h_{2},h_{3},dq_{1},dq_{2},dq_{3}}

que para coordenadas cilíndricas da

dV=ρdρdφdz{displaystyle dV=rho ,drho ,dvarphi ,dz}

Operadores diferenciales en coordenadas cilíndricas[editar]

El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas cilíndricas. Estas son:

∇ϕ=∂ϕ∂ρρ^+1ρ∂ϕ∂φφ^+∂ϕ∂zz^{displaystyle nabla phi ={frac {partial phi }{partial rho }}{hat {rho }}+{frac {1}{rho }}{frac {partial phi }{partial varphi }}{hat {varphi }}+{frac {partial phi }{partial z}}{hat {z}}}

∇⋅F→=1ρ∂(ρFρ)∂ρ+1ρ∂Fφ∂φ+∂Fz∂z{displaystyle nabla cdot {vec {F}}={frac {1}{rho }}{frac {partial (rho F_{rho })}{partial rho }}+{frac {1}{rho }}{frac {partial F_{varphi }}{partial varphi }}+{frac {partial F_{z}}{partial z}}}

∇×F→=1ρ|ρ^ρφ^z^∂∂ρ∂∂φ∂∂zFρρFφFz|=ρ^(1ρ∂Fz∂φ−∂Fφ∂z)+φ^(∂Fρ∂z−∂Fz∂ρ)+z^[1ρ∂(ρFφ)∂ρ−1ρ∂Fρ∂φ]{displaystyle nabla times {vec {F}}={frac {1}{rho }}left|{begin{matrix}{hat {rho }}&rho ,{hat {varphi }}&{hat {z}}\&&\{frac {partial }{partial rho }}&{frac {partial }{partial varphi }}&{frac {partial }{partial z}}\&&\F_{rho }&,rho F_{varphi }&F_{z}end{matrix}}right|={hat {rho }}left({frac {1}{rho }}{frac {partial F_{z}}{partial varphi }}-{frac {partial F_{varphi }}{partial z}}right)+{hat {varphi }}left({frac {partial F_{rho }}{partial z}}-{frac {partial F_{z}}{partial rho }}right)+{hat {z}}left[{frac {1}{rho }}{frac {partial (rho F_{varphi })}{partial rho }}-{frac {1}{rho }}{frac {partial F_{rho }}{partial varphi }}right]}

∇2ϕ=1ρ∂∂ρ(ρ∂ϕ∂ρ)+1ρ2∂2ϕ∂φ2+∂2ϕ∂z2{displaystyle nabla ^{2}phi ={frac {1}{rho }}{frac {partial }{partial rho }}left(rho {frac {partial phi }{partial rho }}right)+{frac {1}{rho ^{2}}}{frac {partial ^{2}phi }{partial varphi ^{2}}}+{frac {partial ^{2}phi }{partial z^{2}}}}

Véase también[editar]