[{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BlogPosting","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/es\/wiki01\/2017\/06\/28\/coordenadas-cilindricas-wikipedia-la-enciclopedia-libre\/#BlogPosting","mainEntityOfPage":"https:\/\/wiki.edu.vn\/es\/wiki01\/2017\/06\/28\/coordenadas-cilindricas-wikipedia-la-enciclopedia-libre\/","headline":"Coordenadas cil\u00edndricas – Wikipedia, la enciclopedia libre","name":"Coordenadas cil\u00edndricas – Wikipedia, la enciclopedia libre","description":"El sistema de coordenadas cil\u00edndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetr\u00eda de","datePublished":"2017-06-28","dateModified":"2023-02-25","author":{"@type":"Person","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/es\/wiki01\/author\/lordneo\/#Person","name":"lordneo","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/es\/wiki01\/author\/lordneo\/","image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/c9645c498c9701c88b89b8537773dd7c?s=96&d=mm&r=g","url":"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/c9645c498c9701c88b89b8537773dd7c?s=96&d=mm&r=g","height":96,"width":96}},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Enzyklop\u00e4die","logo":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/wiki4\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/download.jpg","width":600,"height":60}},"image":{"@type":"ImageObject","@id":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a","url":"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a","height":"","width":""},"url":"https:\/\/wiki.edu.vn\/es\/wiki01\/2017\/06\/28\/coordenadas-cilindricas-wikipedia-la-enciclopedia-libre\/","wordCount":8958,"articleBody":"El sistema de coordenadas cil\u00edndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetr\u00eda de tipo cil\u00edndrico o azimutal. Se trata de una versi\u00f3n en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometr\u00eda anal\u00edtica plana.  Un punto P{displaystyle P} en coordenadas cil\u00edndricas se representa por (\u03c1,\u03c6,z){displaystyle (rho ,varphi ,z)} donde:  Los rangos de variaci\u00f3n de las tres coordenadas son0\u2264\u03c1\u03c6\u221e{displaystyle varphi } se hace variar en ocasiones desde   \u2212\u03c0{displaystyle -pi } a \u03c0{displaystyle pi }. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de \u03c1{displaystyle rho } llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ah\u00ed, \u03c1{displaystyle rho } vuelve a aumentar, pero \u03c6{displaystyle varphi } aumenta o disminuye en \u03c0{displaystyle pi } radianes.Table of ContentsRelaci\u00f3n con otros sistemas de coordenadas[editar]Relaci\u00f3n con las coordenadas cartesianas[editar]L\u00edneas y superficies coordenadas[editar]Base coordenada[editar]Diferenciales de l\u00ednea, superficie y volumen[editar]Diferencial de l\u00ednea[editar]Diferenciales de superficie[editar]Diferencial de volumen[editar]Operadores diferenciales en coordenadas cil\u00edndricas[editar]V\u00e9ase tambi\u00e9n[editar]Relaci\u00f3n con otros sistemas de coordenadas[editar]Relaci\u00f3n con las coordenadas cartesianas[editar]  Coordenadas cil\u00edndricas y ejes cartesianos relacionados.Teniendo en cuenta la definici\u00f3n del \u00e1ngulo \u03c6{displaystyle varphi }, obtenemos las siguientes relaciones entre las coordenadas cil\u00edndricas y las cartesianas:x=\u03c1cos\u2061\u03c6,y=\u03c1sin\u2061\u03c6,z=z{displaystyle x=rho cos varphi ,qquad y=rho sin varphi ,qquad z=z}L\u00edneas y superficies coordenadas[editar]Las l\u00edneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas cil\u00edndricas, \u00e9stas son:L\u00edneas coordenadas \u03c1: Semirrectas horizontales partiendo del eje Z{displaystyle Z}.L\u00edneas coordenadas \u03c6{displaystyle varphi }: Circunferencias horizontales.L\u00edneas coordenadas z{displaystyle z}: Rectas verticales.Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:Superficies \u03c1=cte.: Cilindros rectos verticales.Superficies \u03c6{displaystyle varphi }=cte.: Semiplanos verticales.Superficies z{displaystyle z}=cte.: Planos horizontales.Las l\u00edneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, \u00e9ste es un sistema ortogonal.Base coordenada[editar]A partir del sistema de coordenadas cil\u00edndricas se puede definir una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las l\u00edneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones\u03c1^=cos\u2061\u03c6x^+sen\u03c6y^{displaystyle {hat {rho }}=cos varphi ,{hat {x}}+{rm {sen}},varphi ,{hat {y}}}\u03c6^=\u2212sen\u03c6x^+cos\u03c6y^{displaystyle {hat {varphi }}=-{rm {sen}}varphi ,{hat {x}}+cos ,varphi ,{hat {y}}}z^=z^{displaystyle {hat {z}}={hat {z}}}e inversamentex^=cos\u2061\u03c6\u03c1^\u2212sen\u03c6\u03c6^{displaystyle {hat {x}}=cos varphi ,{hat {rho }}-{rm {sen}},varphi ,{hat {varphi }}}y^=sen\u03c6\u03c1^+cos\u03c6\u03c6^{displaystyle {hat {y}}={rm {sen}}varphi ,{hat {rho }}+cos ,varphi ,{hat {varphi }}}z^=z^{displaystyle {hat {z}}={hat {z}}}En el c\u00e1lculo de esta base se obtienen los factores de escalah\u03c1=1h\u03c6=\u03c1hz=1{displaystyle h_{rho }=1qquad h_{varphi }=rho qquad h_{z}=1}Disponiendo de la base de coordenadas cil\u00edndricas se obtiene que la expresi\u00f3n del vector de posici\u00f3n en estas coordenadas esr\u2192=\u03c1\u03c1^+zz^{displaystyle {vec {r}}=rho ,{hat {rho }}+z,{hat {z}}}N\u00f3tese que no aparece un t\u00e9rmino \u03c6\u03c6^{displaystyle varphi ,{hat {varphi }}}. La dependencia en esta coordenada est\u00e1 oculta en los vectores de la base.Efectivamente:r\u2192=x\u0131^+y\u0237^+zk^\u00a0=\u03c1cos\u2061\u03c6\u00a0\u0131^+\u03c1sin\u2061\u03c6\u00a0\u0237^+zk^\u00a0=\u03c1(cos\u2061\u03c6\u00a0\u0131^+sin\u2061\u03c6\u00a0\u0237^)+zk^\u00a0=\u03c1\u03c1^+zz^{displaystyle {begin{array}{rcl}{vec {r}}&=&x{hat {imath }}+y{hat {jmath }}+z{hat {k}}\\ &=&rho cos varphi  {hat {imath }}+rho sin varphi  {hat {jmath }}+z{hat {k}}\\ &=&rho (cos varphi  {hat {imath }}+sin varphi  {hat {jmath }})+z{hat {k}}\\ &=&rho {hat {rho }}+z{hat {z}}end{array}}}Diferenciales de l\u00ednea, superficie y volumen[editar]Diferencial de l\u00ednea[editar]Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cil\u00edndricas, viene dado pordr\u2192=h\u03c1d\u03c1\u03c1^+h\u03c6d\u03c6\u03c6^+hzdzz^=d\u03c1\u03c1^+\u03c1d\u03c6\u03c6^+dzz^{displaystyle d{vec {r}}=h_{rho },drho ,{hat {rho }}+h_{varphi },dvarphi ,{hat {varphi }}+h_{z},dz,{hat {z}}=drho ,{hat {rho }}+rho ,dvarphi ,{hat {varphi }}+dz,{hat {z}}}Diferenciales de superficie[editar]La expresi\u00f3n general de un diferencial de superficie en coordenadas curvil\u00edneas es complicada.Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, q3=cte.{displaystyle q_{3}={rm {cte.}}} el resultado esdS\u2192q3=cte=h1h2dq1dq2q^3{displaystyle d{vec {S}}_{q_{3}={rm {cte}}}=h_{1},h_{2},dq_{1},dq_{2},{hat {q}}_{3}}y expresiones an\u00e1logas para las otras dos superficies coordenadas.En el caso particular de las coordenadas cil\u00edndricas, los diferenciales de superficie son\u03c1=cte: dS\u2192\u03c1=cte=\u03c1d\u03c6dz\u03c1^{displaystyle d{vec {S}}_{rho ={rm {cte}}}=rho ,dvarphi ,dz,{hat {rho }}}\u03c6=cte: dS\u2192\u03c6=cte=d\u03c1dz\u03c6^{displaystyle d{vec {S}}_{varphi ={rm {cte}}}=drho ,dz,{hat {varphi }}}z=cte: dS\u2192z=cte=\u03c1d\u03c1d\u03c6z^{displaystyle d{vec {S}}_{z={rm {cte}}}=rho ,drho ,dvarphi ,{hat {z}}}Diferencial de volumen[editar]El volumen de un elemento en coordenadas curvil\u00edneas equivale al producto del jacobiano de la transformaci\u00f3n, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo quedV=h1h2h3dq1dq2dq3{displaystyle dV=h_{1},h_{2},h_{3},dq_{1},dq_{2},dq_{3}}que para coordenadas cil\u00edndricas dadV=\u03c1d\u03c1d\u03c6dz{displaystyle dV=rho ,drho ,dvarphi ,dz}Operadores diferenciales en coordenadas cil\u00edndricas[editar]El  gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas cil\u00edndricas. Estas son:\u2207\u03d5=\u2202\u03d5\u2202\u03c1\u03c1^+1\u03c1\u2202\u03d5\u2202\u03c6\u03c6^+\u2202\u03d5\u2202zz^{displaystyle nabla phi ={frac {partial phi }{partial rho }}{hat {rho }}+{frac {1}{rho }}{frac {partial phi }{partial varphi }}{hat {varphi }}+{frac {partial phi }{partial z}}{hat {z}}}\u2207\u22c5F\u2192=1\u03c1\u2202(\u03c1F\u03c1)\u2202\u03c1+1\u03c1\u2202F\u03c6\u2202\u03c6+\u2202Fz\u2202z{displaystyle nabla cdot {vec {F}}={frac {1}{rho }}{frac {partial (rho F_{rho })}{partial rho }}+{frac {1}{rho }}{frac {partial F_{varphi }}{partial varphi }}+{frac {partial F_{z}}{partial z}}}\u2207\u00d7F\u2192=1\u03c1|\u03c1^\u03c1\u03c6^z^\u2202\u2202\u03c1\u2202\u2202\u03c6\u2202\u2202zF\u03c1\u03c1F\u03c6Fz|=\u03c1^(1\u03c1\u2202Fz\u2202\u03c6\u2212\u2202F\u03c6\u2202z)+\u03c6^(\u2202F\u03c1\u2202z\u2212\u2202Fz\u2202\u03c1)+z^[1\u03c1\u2202(\u03c1F\u03c6)\u2202\u03c1\u22121\u03c1\u2202F\u03c1\u2202\u03c6]{displaystyle nabla times {vec {F}}={frac {1}{rho }}left|{begin{matrix}{hat {rho }}&rho ,{hat {varphi }}&{hat {z}}\\&&\\{frac {partial }{partial rho }}&{frac {partial }{partial varphi }}&{frac {partial }{partial z}}\\&&\\F_{rho }&,rho F_{varphi }&F_{z}end{matrix}}right|={hat {rho }}left({frac {1}{rho }}{frac {partial F_{z}}{partial varphi }}-{frac {partial F_{varphi }}{partial z}}right)+{hat {varphi }}left({frac {partial F_{rho }}{partial z}}-{frac {partial F_{z}}{partial rho }}right)+{hat {z}}left[{frac {1}{rho }}{frac {partial (rho F_{varphi })}{partial rho }}-{frac {1}{rho }}{frac {partial F_{rho }}{partial varphi }}right]}\u22072\u03d5=1\u03c1\u2202\u2202\u03c1(\u03c1\u2202\u03d5\u2202\u03c1)+1\u03c12\u22022\u03d5\u2202\u03c62+\u22022\u03d5\u2202z2{displaystyle nabla ^{2}phi ={frac {1}{rho }}{frac {partial }{partial rho }}left(rho {frac {partial phi }{partial rho }}right)+{frac {1}{rho ^{2}}}{frac {partial ^{2}phi }{partial varphi ^{2}}}+{frac {partial ^{2}phi }{partial z^{2}}}}V\u00e9ase tambi\u00e9n[editar]"},{"@context":"http:\/\/schema.org\/","@type":"BreadcrumbList","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/es\/wiki01\/#breadcrumbitem","name":"Enzyklop\u00e4die"}},{"@type":"ListItem","position":2,"item":{"@id":"https:\/\/wiki.edu.vn\/es\/wiki01\/2017\/06\/28\/coordenadas-cilindricas-wikipedia-la-enciclopedia-libre\/#breadcrumbitem","name":"Coordenadas cil\u00edndricas – Wikipedia, la enciclopedia libre"}}]}]